장음표시 사용
211쪽
ais, cuius numerator minor es denominatore. RusoLVT. Logarissimus numeratoris subtrahatur a togarithmo denominatoris, residuum praefixo signo erit togarithmus quaesitusia Cum enim fractio se quotus e diuisione numeratoris per denominatorem oriundus 6s), eius Iogarithmus habetur, si togarithmus denominatoris subtrahatur a togarithmo numeratoris . ix seu si mutato sino eidem addatur, quo in casu differentia euadit negatiua 37) E. g. si quaeratur togarissimus fractionisψologarissimo denominatoris, qui estis,so 3o9OP,
subtrahendus est logarithmus numeratoris . 69897Oo, ac residuum -- , so4Iao omismo erit iugarithmus quaesitus. 252. COROLL. . Cum ergo logarithmus unitatis meris eris constet omnes stactiones. quarum numerator est v, habent pro togarithmo denominatoris narissimum, sed cum si
a 53 COROLL. a. Si numerator fractionis maior fuerit denominatore, eius logarithmus
positiuus erit obtinetur enim, si a togarithmo numeratoris maiore iubtrahatur togarithmus -- nor denominatoris a r).s 54. COROLL. 3. Si integro adhaereat fractio, potest totus numerus reduci ad fractionem
impropriam 78 , atque ita eius logarithmus
212쪽
a55. COROLL. 4. Dato togarithmo negati uo facile inuenitur hamo respondens, si quam ratur numerus eiusdem logarithmi positivi, Et hic tanquam denominator unitati subscribatur a sa). E.g si detur togarithmus - 1, 8a6O748, stactio eidem respondens erit et .a56. COROLL. 5. Idem obtinebitur, si datori arithmo negatim addatur Iogarit ius vltimus in tabulis respondens numero ooOO, autiooooo seu si ille ab hoc rubtrahatur, et residuo r pondens numerus quaeratur 246 teritanis ille numerus fractionis quaesitae numera
tor , ac IOoo , vel 1 oooo denominator.
Nam sit illa fractio - numerator a denominator donumerus residuo illi respondens x, cum stactio fit quotus e diuisione numeratoris Per denominatorem oriundus 65 , erit unitas ad eam ut denominator ad numeratorem, seu 1 f ad c 5 a); atqui cum ea Iogarissimorum additione hactio quaesita multiplicetur per OODO. Vel pero oo ooO, a O), erit vitas ad eandem stactionem, io ooo, vel Eoo ooo ad numerum residuo togarithmo respondentem se x: - 1 oooor x 4r ergo : n
213쪽
De Seriebus. os et veris est ordo quantitatum certa all- si qua, et constanti lege sese excipientium. E. g. Progressiones arithmeticae, et se metricae sunt series: nam terminkearum Cou- stanter iuxta eandem differentiam. aut exponentem progrediuntur.
as 8. Series Imita dicitur, si numerus terminorum finitus is ita . si hic infinitus est. a 59 COROLL. I. Si in serie infinita occurrat terminus quispiam infinite magnus qualis in progressione arithmetica est a -- d. in geometrica mari ceteri termini infinitam habuites magnitudinem cum eo collati euanelaunt, ac proinde nihilo aequales poni possunt. E. g.
26O COROLL. a. Similiter ipsi tormini Im1ihil magis collati cum infinities infinite magnis, et hi ipsi collati cum infinities infinitiis infinite magnis, seu generatim omnis magnum do infinita inferioris ordinis collata cum magnitudine infinita superioris ordinis evanescit, a que adeo nihilo aequalis poni potest. E Da 61. COROLL. 3. Eodem modo terminiim finite parui collati eum finitis evanescunt. E. g. sa au est enim stactio habens nume-
214쪽
26 a. COROLL. 4. Iino etiam quantitas infi nities infinite parua respectu infinite paruae, Et quantitas infinities infinities infinite parua respectu infinities infinite paruam, seu generatim omnis paruitas infinita superioris ordinis evanescit respectu paruitatis 4nfinitae inferioris ordi-
Sc HOLION. Innumerabiles haberi possunt rierum qincies. Nos hic de iis tantum agemus, quarum sus in sequentibus erit necessarius. Quare series numerorum figuratorum, et poly gonorum Praetermittemus series contra potiem tiarum pertractabimus. 263. PROBLEΜA. Inuenire summam fractionum infinitarum , quarum numerator constans es, denominatores autem eraseunt in progressione geometrica.RBsoLVT. Quivis numerator constans potest adpellari , et qua uis progressio geometrica crescens bine repraesentatur hac formula, Mn. h. b. - bm 23 a) ergo quaeuis eiusmodi fractionum series repraesentari pot-
um cum in his fractionibus manente. eodem numeratore denominatores crescant in progressione geometrica fractiones decrescunt in progressione geometrica ro) ergo ut cre-
215쪽
Rant, debent inuerti hoc modo r
progressione summa ν-- ias) medi
go pro si ponatur terminus ultimus et edi minus primus a se negligaturi sor .
- etc. Deinde colligantur in ovi animam omnes termini primi, omnes secimvi, omnes terti etc. adeoque scribantur in una serie omneso a
216쪽
axa numn NTA termini primi, in altera omnes secunda, in te tia omnes tertii etc. nascentur inde hae seri Particulares:
-- etc. citi)Perspicuum vero est has summas particulares. excepta prima, constituere seriem fractionum infinitarum quarum numerator est constans, denominatore autem crescunt in progressione geometrica, Cuius exponens est, erit ergo huius seriei summa , id est summa omnium termino rum secundorum , tertiorum quartorum etc. Aamae series, is omnium terminorum
217쪽
erit facta ad eundem denominatorem
reductiones quod fiet multiplicando posterioris
fractionis terminos per m-r summa totius ει'. am' - --γώ ne propositae - m - abis Ja65. PROBLEMA Invenire theoremata generalia pro quavis potentia termini illimi numerorum a saralium seriem festam eonstituentium. RasOLVT. Numeri naturales quotcunque ne repraesentantur per . . . , , qui quoniam unitate inter se differunt, erit modd-e-r; αα,-r; - a ele uatis ergo his terminis ad potentias ordine sese excipientes erit
Quodsi iam in valore potentiarum termini Itimi e , , e aequalibus aequalia libstituantur. nempe loco primi termini O, O, d ponatur series sequens eidem aequalis loco primi sequentis e tertia, loco primi tertia b OLquarta erit
218쪽
Hoc est a Quadratum termini ultimi constat
quadrato teri ini primu duplo omnium terminorum praecedentium , ac numer eorundem s)Cubus termini ultimi constat cubo termini primi, triplo quadrato terminorum praecedentium. triplo terminorum praecedentium, a numero eorundem a Potentia quarta constat potentia quarta termini primi, quadruplo cubo terminorum Praecedentium, sextuplo quadrato eorundem, quadruplo eor idem ac deniquem mero eorundem. Patet haec theoremat, ad quasvis potentia eadem rations extendi posse. a 66 COROLL. Si ergo in serie numerorum naturalium terminus primus sit rea Vltimus πω, summa seriei π s, erit summa terminorum ultimum praecedentium--, numerus eorundem a summa quadratorum e xundem sit . -- cuborum ρ - ω'; hinc Priora theoremata facta substitutione, et adhi
bita redu ne quentibus formulis eoibo,buaturi
219쪽
267. PROBLEMA Inumire summam potentia. ram numeroram naturalimn seriem tutatam constituem
s Denique inueniatur lamma cuborum nu. merorum naturalium seriem finitam constituentium, seu in larmula tertia quaeratur summa cuborum s , et pro , aco substituantur,alores iam reperti et 3. eritis αα ἱώ
220쪽
matari Summa numerorum naturalium seriem infinitam constituentium aequatur facto ex termino ultimo in numerum teri uinorum diuiso per
s Summa quadratorum aequatur facto ex quadrato termini Vltimi in numerum terminorum diuiso per . is summa cuborum aequatur facto ex cubo termini ultimi in numerum ternunorum diuiso per . 4 Generatim summa quarumvis pol tiarum aequatur facto ex eadem potentia termini vitiani in numerum termitiorum diuiso per expinnentem potentiarum unitate auctum.