장음표시 사용
231쪽
sso. COROLL. 3. Si duo quivis anguli contigui in partos quotcunque dividantur, perspicuum est, omnes ili': sinu continere 8o'; semper enim claudi poterunt, atque adeo memsurabuntur semiperipheria circuli.
n. qui circa idem punctum fieri possunt, simuIContinent 36o , seu aequivalent quatuor rectis; semper enim claudi poterunt, atque adeo memsurabuntur integra peripheria circuli. a 92. THBORRHA. Si recta, alteram AB secet, anguli enicales o et, item, et n
αα1 8o' a 87 ergo etiam o--- --; quare tollendo ab aequalibus idem, erit o x. Eodem modo ostenditur esse miram. Ω93. COROLL. Si ergo e quatuor illis angulis nus quispiam innotescat ceteri eo ipso innotescunt. E. g. si notus sit angulus, notus hoc ipso erit eiusdem verticalis x et moa rio tollatur, innotescet angulus, et eius verticalis .m 94. THEOREMA Si recta AC sta inseme, Fi s. teri GF , et duo eiusdein puncta quaecunque Mes. C aequaliter distent a duobus alterius panctis G et Rerit hoc AC ad GF perpendiciuaris. DEMONSTR. Nam ex hypothesi puncta Aet C aequaliter distant a punctis G, et F in duo puncta determinant situm totius rectae AC
37s, orso tota recta AC seu omnia eius Puncta indidem aequaliter distant, ac proinde a
232쪽
est adeo perpendicularis s/4,ass. COROLL. 1. Quoniam anguli me a secti sint scit.), erunt etiam anguli, et cise
m ageth: ergo ain pars produm C erit ad GF perpendicularis a74 .s96. COROLL. a. Et quia angaei m et , item n et C recti sunt; si recta AE est perpem dicularis ad GF erit haec vicissim perpendicularis ad Micit. .s 97. HaoRaαA. Si recta AE per viii iaris sis ad GF. et habeat, deunque a m aequaliter, an es Mus alterius punctis Beti, omnia arus Oncta indidem Me i hae alite di ab i. DBMores TR. Si enim aliquod eius punctume. g. A non aequaliter distaret a punctis B. et D recta AC in loco A non haberet eandem inclinationem versus B et , quam habet in loco C ac proinde contra hypothes non esset perpendicularis di ergo si est perpendictitaris, et habeat etc. 298. Trino Raria. De puncto A ad νε-- daeantur quotmque lineae AG, AB, AC et es AC F perpendi daris, erit ea ominae illaru breui a. DBriores TR Producatur AC in E ita ut
CE G - AC, Dducantur rectae Eo, B. Cum o hypothesi A sit porpendicularis ad GF vicissimis est ad A perpendi laru s96 , habetque ex constr punctum C aequa' liter distans a punctis Aue E ergo omnia eius
puncta . adeoque etiam punctam et B indidem aequaliter distant αργ), seu AGα Eo, et
233쪽
uissima. 299. COROLL. 1. Igitur e dato puncto A ad eando rectam GF nonnisi Unica perpendi- eularis duci potest, cum repugnet plures duci breuissimas. 3oo COROLL a. Si recta AC suoru breuissima omnium rectarum quae ex puncto A ad eandem rectam G duci possunt . est hoc ipso perpendicularis alias duci posset alia quae piam perpendicularis s. g. AB, quae etiam esset reuissima a98), et hinc duas possent duci breuissimae, nempe AC et AB quod a nudum est. 3OI COROLL. 3. Cum distantia puncti Aa data rectam debeat esse fixa et determi nata, eam legitime malimur ops perpendicularis AC, quae emps est unica am), adeo-
quo fixa.3oa.. Rour. . . Si feta EF in nie git. . puncto A occurrat periphoriae circuli, et omnia cetera puncta habeat extra peripherrum, seu si circulum tangat, erit radius A ad eam Hrpendicularis. Si enim recta EF tangit cidiculum in unico puncto A, unicum illud pum
234쪽
ctum habet in peripheria circuli, et cetera omnia eius puncta B, D etc. sunt e tra circuli peripheriam ergo punetii A est omnium eius punctorum centro C vicinissimum, seu minimain habet a centro C distantiam, quas est Ar ergo recta C est omnium B, CD etc. breuissima, adeoque perpendicularis 3oo) 3O3. COROLL. 5. Et vicissim, si radiusCA ad rectam EF perpendicularis sit, tangit EF circulum in A. Nam ex hypothesi C est perpendicularis ergo est omnium CB, GD etc.
breuissima a Q. ergo punctum A est omnitam
B, D etc centro C vicinissimum atqui punctum A utpote extremum radii C est in peripheria circuli ergo cetera omnia B, D etc. cum sint a centro C remotiora sunt extras ripheriam hinc rectae EF unicum punctum Aest in peripheria, cetera sunt extra ergo idiculum in A tangit. 7. a 4. PROBLEMA. Rectam'ita ΑΒ in daas aequales partes perpendiei lariter secare. RESOLUM AE punctis extremis A et B tamquam centris describantur arcus in C et D sese intersecantes ac eorum intersectiones iungantur recta CD haec datam rectam bisariam et Perpendipulariter secabit in puncto T. DBno NsTR. Cum enim ex constructione ducta rectae CB, A, B, A ruit radii aequalium circulorum . sunt aequales inter se
s81), adeoque rectae, duo puncta C et Daequaliter distant a punctis A et B set λ est ergo recta CD ad AB perpendicularis 29M , et omnia eius puncta a 97 , adeoque etiam Pun
235쪽
stuma aequaliter distat a punctis A et B, hoc
est, ΑΙ-IB. sos. non na. E dare rasa - I is a. perpendi larem erigere. REsotivae Capiantur circino ex puncto Isegmenta IO IE aequalia deinde contris ostE apertur circini ultra I describantur arcuis se in puncto C intersecantes, unde ad I ducta secta in erit quaesita parpendicularis. Daemoris TR. Nam ex Conis punctuma a qualiter distat a punctis o et E et ob radios OC et Eoaequalium circulorum aequales, etiam punctum C indidem aequaliter distat ergo mcta I ad AD perpendicularis ex a94)
3 6. PROBLam A. E dato extra remm AD panes C rependi lare ad eandem demisere. Rasolvet. Posito crure circini in dato puncto C describatur arcus OE secans datam rectam in punctis o et Edi tum lex iis tanquam centris circino ultra dimidium rectae OE aperto ducantur arcus sese intersecantes in puncto F, erit
recta I per puncta C et F ducta quaesita perpendicularis. Duno NsTR. Patet enim, ut ante puncta et maequaliter distare a punctis O et E. ScΗoLION. In campo circini loco adhiberishlet catena, vel furiis circa clauum fixum mo-hilis, et altero extremo stylo ferreo instructus, qui ad funem tensum debet esse perpendicularis. Ne vero funis humore imbutus inaequaliter tendatur, funiculi. e quibus consit, mhent contorqueri in gyros contrarios funis au-
236쪽
tem ipse oleo villant Immergi, et quum e siccatus fuerit, per liquatam ceram traduci. Fit 3 7. Rectae Amet CD, quae a se ubiquo aequaliter distant, etiamsi infinite producantu .
parasiolae vocamur.3O8. COROLL. Quare perpendicula intor duas parallelas interrepta inim se aequam sant: metiuntur enim earum inter se distantias sor) 3 9. THEOREMA. Siravia parallatis AB. CD seet resis uaepiam EF moli, internusmo externus .. ea ades 1ximis aquais Iliaee. DEMONsTR. Concipiatur vim primum recta CD recta AC imposita esse, ita ut angulix et o congruant tum ceteris immotis eadem CD situ constanter paralles istam descendere; euidens est eundem angulum, qui ante cum angulo, eongruebat, pensa lineam EF descensurum esse, ac proinia angulo, ubique aequa Iem fors. Nam sicubi angulus, malor, aut minor fieret, ibi necesse esset rectam CD ad AB inclinari et proindes situ parallelo deste ctere. Eodem modo patet esse o-r, - ,
3IO COROLL. . Si ergo angulus orinus est, rectum etiam esse oportebit angulum, quare recta uni parallesarum perpendicitaris, est alteri quoquo perpandicularis a84), 3II. COROLL. a. Quoniam o- 3 op), et idem α- sos . erit x et x id est, duae parallelas a tertia recta secentur, anguli
hemi aequales stini. Eodem modo Pasu iis
237쪽
e CD parallelae δεα.DanoMsTR. Sit enim r)--x si ABnon esset parallela rectae CD, posset eidem per punctum duci alia quaepiam parallela', et tunc esset sosy sed etiam ponituro-x ergo esset ἡ-r-o, quod absurdum est. Eadem est demonstratio si recta ab alium quemcunque situm habeat. Ergo nulla alia prae
te ΑΒ potest duci per punctum o parallela rectae D. ac proinde AB parallela est. s Si ponatura a x, cum etiam sit ν - Τ soa erit ο-x, et hinc per demonstrata AB est paralles rectae D. 3 6 Ponatur m --x-xao . cum sit etiam ηι--o auara 8o' a 87 erit x-o, hinc ursiis AB, CD ut ante, Parallelae sunt.
3x4. COROLL. 1. Demonstratione praesentis theorematis id quoque euidenter efficitur, el-dem rectae CD per idem punctuniis non posse duci nisi unicam parauelam. 335. COROLL. a. Exadem patent diuersimodi datae rectae per datum tinctum Parali
238쪽
si s. COROLI Si rectae AB, CD parallelae fuerint eidem tertiae GH, erit απου et x - 3ος , ac hinc et x ademtis ea dem rectae etiam inter se Parallelae erunt 333,
CAPUT BLDe lineis rectis ad circulum relatis.
maiores inter β. Fig. II. DBΜoNsTR. Cogitetur totus sector Amcirca centrum C tamdiu conuerti . donee isti
da AB cadat supra ab congruo illis chorda AB cum sibi aequali ab , et hinc congruἀ-- trema puncta A et a B et Dareuinc item arcuum Abin et is, quare M aininus. Congruent: hinc arcus B erit arcus AbaBaza aBAbia, a)4 chordas et. -- quales arcus aequalos iubtendunt 3I8. COROL. L. I. Quia perpendi in m Congruet, seu eade' ori cum Eo agmtiturque distantiam chorda a centro sos Patet chordas aequalas in eo m circino M Duo aeque distare.
239쪽
s I9. Conon L. st Chordae ergo me uales in eodem circulo subtendunt inaequales arcus, et inaequaliter distant a centro nimirum maioribus chordis maior arcus et minor distantia
respondet. 32O. COROLL. 3. Vicissim arcubus aequalibus aequales chomae maioribus maiores iminoribus minores respondent. Et chordae a centro aeque distantes aequales magis distantes minores; minus distantes maiores sunt adeoque diameter chordarum omnium maxima est,
et periphoriam bifariam diuidit. 32I COROLL. . Quoniam duo circuli as- quales sibi impositi congruunt, et instar unius
haberi possunt praesens theorema cum suis corollariis etiam ad circulos aequales pertinetisa a. THEO RENA. Si per hqrdam AB dia Fie. a. mens minorem daeata racta GD, et adfui duo quaeuis ex hisce quisque, et quod inia GD per centrum transeat, a quod ad hordam perpeadisularis sis quod eandem in E bifariam flere 4 quod adicum ADB in D, aut s angulum ACB bifariam
feret, semper aderum reliqua tria. DBMONsTR. I Transeat recta Di r centrum, et sit ad chordam perpendicularis, ha,
he hoc ipsi unum punctum C a punctis A et B aequaliter distans a8o ergo etiam puncta E et D indidem aequalita distant aur); hinc - - EB. et chorda AD, DB, adeoque arcus AD - DB aret, et angulus m s Sit GD ad chordam perpendicularis, eam que in Elisariam secet, erit ut ante arcus AD
240쪽
et consequenter per centrum transitis Transeat recta D per centrum, et bifariam secet chordam, Vel arcum, es angu-aum C. habebit in quovis casu duo puncta aequaliter distantia ab A. et B. Vnde cetera omnia sponte consequuntur. Eodem modo patentae tera, si recta GD chordam, et arcum, vel a gulum bifariam secet.
puncta A, B, D non in dise ista. Raso vae Iungantur data puncta rinis AB e BD, quae bifariam secentur per rectas EF et Ii perpendiculares so4 , earum Communis intersectio C erit centrum cuculi per data tria puncta transeuntis. DB MONSTR. Cum mim rectae A et BD sint chordae quaesiti circuli caro , perpendiculares EF et GH ambae per eius centrum transeunt 3 as); atqui solum punctum C est, per quod ambae transtunt s76 ergo punctum est centrum. Idem ostendi potest etiam ex eo,
quod punctum C aequaliter distet a punctis A,
3s4. COROLL. I. Eodem res redit, si datus arcus ΑΒ contilauandus, vel dati circuli centrum inueniendum, vel dato triangula circulus circumscribendus sit.