Compendiaria matheseos institutio: quam in usum auditorum philosophiae

251쪽

36s. Conon L. 5 Secangulo quopiam Fig. 7. demittatur in latus oppositum BC perpendicularis, ea cadet intra triangulum si anguli met eidem 1ateri adhaerentes acuti fuerint. Sitonis, si fieri possit, perpendicularis me tra triangulum, erit in triangulo ADC angulus D rectus, angulus DC obtusus, cum eius contiguus iupponatur acutus a87o atqui hoc ab-mrdum est 36r i ergo nequit perpendicularis

cadere extra triangulum. 366. COROLL. . Si ero alteruter eorum vis mangulorum, . g. C, obtusus fuerit, perpendicularis extra triangulum cadet. Si enim intra caderet e g. in AD, in triangulo ADC angulus D rectus foret, C obtusus, quod absurdum 367. THEORRHA. iis triaurusi an is ABC d. latus unam BC producatus, angulus exteram ACD aequabitur Misae isternis uminis A et B simia sumus. DEMONSTR. Nam circumscripto circulo 3 a 4 angulorum A, B mensura erit arcus ἔBC ino a s); quae eadem est etiam mensura anguli ACD ass). 368. THEORRHA. In quovis tria in anguli

maiori maius, nori iam latur oppomtura et

eontra.

ago fit B A. erit arcus AC ἰBC 34s , et hinc AC AEC ergo et chorda sinlatus AC BC aao . Sit vicissim latus AC BC, erit etiam arcus AC ac si v) et

252쪽

hinc ψ AC BC adeoque angulus B A a s .

369. Rocn. . Si ergo in triangulo quo, silam duo anguli aequales sint, etiam latera iisdem opposita equesta sunt, et contra. Nam circumscripto circulo sit Βαα , erit arcus ἔAC- Αν 34a , et hinc Az- AB. adeoque etiam latus Az- fas et contra. 37 P. CORO*r . . Quar in triangulo aequitatem omnes tres anguli aequales sunt, comtinetque quilibet 6o' s6o . et contra. Item si in triangulo quopiam duo anguli aequales sunt, illud est isosceles. F. s. 373. PROBLEMA. Avit inem aues

ope mmbrae metiri.

RaesoLVT. Observetur Mnientum, quo sesympra horia tem ad altitudinem 4s sublatus est, noteturque eo momento cuspis inumbras BC in plano horizontali, erit longitudo umbrae BC aequalis altitudini quaesitae AB.DBΜoNse R. Cum enim angulus mox natu.

ra altitudinis rectus sit et C ex hypothesi 4s erit stiam A s' ass), et hinc AB αα BC

37s. COROLL. . Siquis in turris fastigio positus unum quadrantis aenei in suos gradus diuis radium statuat perpendiculariter iuxta ab titudinem AB, altero abscindat arcumras', iuxta aius ductum notet. in terra punctum C. erit, ut ante, AB BC. 373 COROLL. a. Si radio mobili quadran eis abscindatur arcus 4s'. tum vorsus Cita semita recedatur, ut radio fixo, ac horizonti γ'

253쪽

rallelo conspiciatur puninim B. radio vero mobili punctui in erit rursus AB EBC. Scuo tiron Altitudo solis 45 etiam obsereari potest describendo in plano horizontali circulum, inque eius centro erigendo perpendiculariter stylum aequalem radio. Nam quum Vmbra styli huius praecise attigerit circuli periph riam erit tunc vi s supra horimntem elatus. Cum enim tunc stylus AB umbrae niae BC

aequalis sit a86 . etiam anguli iisdem opposset A et C aequales erunt 369 , ac proindo

374. THBORBΜΑ. Si in duobus triangulis ABC, is so. abc duo istera rem angulo intercepto aequalia fuerint, e g. BC-M, BA-ba, et anga HB- b, tota triangula aemali. t. DB NSTR. Si enim trianguli ab vertex bconcipiatur ita imponi alterius vertici B, ut Iatus be cadat supra B duo haec latera propter aequalitatem congruent adeoques cadente in Prai r cadet supra, cumque anguli Det Baequales ponantur, etiam latus ba cadet supra BA, et propter aequalitatem cum eodem con, gruet, et hinc vertex a cadet supra A; congruent ergo tum anguli tum latera omnia, tum denique triangula ipsa, ac proinde aequalia simi. 37s. Roa vana muri distantiam δε-- is. r. locorum A et B. quisum interuallum permeari haud potest. Rasonvet. Eligatur statio alicubi in C, -- de ambo loca videri, et accedi possint; tum

mensurentur ope catenae distantiae AC et BC a

254쪽

ac producantur in directum ita utcb fiat -AC: et a - CB, erit hoc ipso etiam ab - AB 374) quare meniurata recta ab innotestit interuallum AB.376 COROLL. Si spatii angustia non sinat produci latera AC et BC quantum satis est, fiate. g. O-4 CB, et Cβα-ἐCA, erit etiam αβα et propter similitudinem triangviorum ABC, UC, Mi adparebit in sequentibus.

Fig. o. 377 THRORBΜΑ. Si in duobus trianguilis ABC. ab is anxia eam latere interrepto aequale uerint,e. g. - b, - c, BC-bc, et reliqua tu ra, et tota triangula aequalia sum. DR MONSTR. Nam latus M lateri aequali BC impositum cum eodem congruet adeoque Pumctora cadente supra B, cadet in C et ob amgulos ν- B, α C latus ba cadet supra A, et ea supra A facile autem patet etiam Pumctum eorum extremum cadere in A quocumque enim alio cadere cogitemus, necessario m tabitur aequalitas angulorum4 et B velis et Ccontra hypothesim quare tota triangula congruent, et hinc aequalia sunt ac ab - .

RE sotu T. Electa alicubi statione in E fiat ex Bope quadrantisc ineatio in Aeta, timnotescat angulus BA, tum distantia Mox Atransferatur in C ita ut baculus in C defixus sit in eadem recta cum E et B: deiud in C fiat collineatio sub eodem angulo EB versus Ree

D, ita ut angulus C fiat aequalis angulo A;

255쪽

denique per lineam CD tamdiu procedatur, donec baculus alicubi in Ddsfixus in eadem recta sit cum E et A, erit CD AB. Nam si triangula ABE, CED sibi rite imponerentur, DCum AB congrueret 377)Sorion ION. Distantias quascunque, et altitudines dimetiendi methodi complures occurrent in sequentibus has idcirco duntaxat hic insinuauimus, ut tirones, qui horum theorematum usus praeclarissimos nondum sentiunt, facilius indiicant in animum harum veritatum fructus vltra ieiunam contemplationem omnino perib

nere.

s79. THEORBΜA. Si indusit tria usis onmis Fig. o. latera aequalia Derint, nempe e SC, M-BA. a m Α, etiam aetuli et tota triangula aequalia sunt.. DBΜONSTR. Describantur enim centris B et C, item Det e radiis A et CA acua et ea circuli sese intersecantes in verticibus triangulorum A et a deinde cogitetur triangulum cauna cum suis circulis triangu1 BC ita imponi, ut latusue cum latere BC aequali congruat.

seu ut punctum p cadat in B, e in C; comouent hoc ipso circuli minores aequalec et B. item maiores, et , adeoque latus D terminabitur alicubi in periphoria circulii, et latus ea in peripheria circuli C; cum ergo ea latera ambo desinant in idem punctum a debet hoc punctum haerere in triusque circuli peripheria, seu cadere in communem eorum intersectionem Ar quare latus ba cum ΒΑ, ea cum

256쪽

CA, congruet, o hinc tota triangula aequalia

sunt.

38. COROLL. Si in triangulo lsos ii ducta recta quapiam ex angulo aequalibus lateribus intercepto adfuerit unum ex hisco tribus, et

quod angulus in vertice secetur bifariam a quod basis seu latus angula illi oppositum ac tur bifariam, a quod eadem secetur ad angvilas rectos. semper aderunt reliqua duo; nam semper diuidetur id triangulum in duo aequalia. secumque congruentia triangula et quidem in primo casti, et secundo per n. 374. in tertio Per n. 74. Vel 377. Item si in quopiam triangulo duo ex his adfuerint, erit id isos Iesi iterum enim in duo aequalia, et secum congruentia r agula diuidetur. Fis. r. 383. THRORBAE A. Si da triangula ABC, ahe inter se Imitia su aequiangula, ac inaequalia fuerint minasque maiori e imponatur, ut avia a cum aequali A congruente latera ab et a cadant supra homo ga Ame AC, tertianae erit tertio BCI-- l lum.

DEHONset R. Est enim ex hypothesi angulus a B ergo rectae is et B parallelae sunt 38 a. COROLL. Si angulus , imponeretur angulo B, parallela fierent latera ac et AC in angulus, imponeretur angulo C, parallela fi rent latera ab et AB Ut patet consideranti. 38 3. Tetragonum habens latera oppositat rallela dicitur paralelogrammam, et speciatim rectauulum, si anguli omnes recti sint. Factarum

vero si instipe etiam latera omnia aequaba

257쪽

sint. Si vero latera aequalia, at anguli l ω quales hierint, istas si neque latera, neque anguli fuerint aequales, rhomboides adpellatur. Reliquae figurae quadruaterae quae non sunt paralles ramma trapeata vocantur. 384. THRORarea Iu uauis stura quadrila sit a sera xys Aura an ta fuerint parallela, erunt eadem aqualia. I Si aequalia fueriat, erum eadem parallela a Si tua oppo is quasi et parallela Derius aiam alia bina aequalia et para a erunt. Da noNsTR. Ducta enim ad angulos oppositos recta AD, quae diam si dicitur. ysi latera opposita AB et D it m BD et M parallela fuerint, erit angulus o tax, m-u 31r . latus --ΑD ergo triangula ABD, CD sbi imposita congruunt caret . et hinc ABCD, BD-AC. . Si merit Minae CD, BD- AC cum etiam fit --ΑD. triangula eadem rursus sibi imposita congimunt 379); et hinc angu usO-x, αππη, adeoque latera AB M CD, BDat AC parallela sunt 33s .s Si denique latera AB et CD aequalia. et

parallela fuerint, erit angulus α asa , cumque sit -- AD, iterum eadem triangu

Ia sibi imposita congruunt arvi et hinc BD-AC, angulus ura m Vnde BD et AC insu. per parallela sunt cara . 385. Conon L. 1. Diagonalis diuidit parablelogrammum in duo tria ut aequalia et hinc triangulum est dimidium parallelog ammi eam dem basim et altitudinem habentis, vel quod

258쪽

idem est iupra eandem basim inter easdem parablelas constituti. 386. COROLL. Si duo parallelogrammasmilia, seu aequiangula sunt, etiam triangula eorum scilicet dimidia similia sunt quare duo triangula simula semper spectari posvint tanquam dimidia duorum similium parallelogrammorum. 387. THEOREMA. Si duo triantula ABC AC eandem habeant astitudinem, seu perpendientiae eiertis A in latus up tum demissum, erunt ea adsimulem, bases, seu mi BC: D. DE NONsTR. Nam triangulum ABC aequatur Mnmae infinitarum parallelarum BC, ΙΝ. ΗΜ, GL etc. et triangulum ACD summae infinitarum parallelarum CD, NR,MQ, Pisto quae a basi usque ad verticem duci possunt. Porro hae parallelae a vertice A incipiendo crescunt in pringressione arithmetica, secundum eandem scilicet differentiam e cum enim eaedem a se infinite parum, adeoque aequaliter distent, in triangulis P, P Q. Qin Rm aequantur perpendicula seu latera Op Pq, QR d item aequam tu anguli recti , , , d et anguli OD PQq. QRr Rox so9 ergo etiam aequantur anguli O, P, Q, R 364 , et hinc triangula haec sibi imposita congruunt 377 , ac proinde I P- ρε- να- d D. Eodem modo ostenditur esse Ἀ-ΗΛ-B-Bb item V - - -

Iam in triangulo ABC secunda parallela GLex- - - ι - , seu pro H ponendo

ere tollendo FK, differentia inter parallelas

259쪽

in et GL est Ἀ-LI; eodem modo differentia inter L et ΗΜ est Η - - inter ΗΜ et

m est D n etc. atqui hae differentiae aequales sunt, cum ubique ab aequalibus tollantur aequalia: ergo parallelae in triangulo ABC faciunt progressionem arithmeticam. Eodem modo patet in triangulo CD differentias parallelarum LI pr. - etc. esse aequales , adeoque et illic parallelas facere progressionem arithmeticam. Iam in his progressionibus parallelarum. in quibus numerus terminorum est perpendiculum AE tot enim esse possunt parallelae, quot habet puncta id perpendiculum , terminus primus, seu prima parallela in A est amo, termini ultimi sunt BC et CD quare summae harum progressionum , seu triangula ABC ACD sunt

388. THEOR Ena. Tria Ha ABC et ABD Fig. 36. super eadem basi ΑΒ inter easdem paralistis CD et EF consitura, aequalia sint. DEMONsTR. Habent enim ambo eandem altitudinem, cum perpendicula C et DF inter

duas parallelas intercepta sint aequalia so8): erunt ergo triangula, bases 387); sed bases ex hypothesi aequales sunt igitur etiam triangula aequalia sunt.

389. COROLL. I. Duo parallelogramma it. 36.

ABCE, et ABFD super eadem basi ΑΒ inter ψ- easdem parallelas AB, CD constituta , sunt dupla triangulorum ABC et ABD 385 quare haec triangula aequalia sint a M. , etiam illa par uelogramma aequalia sunt.

260쪽

Fig. 36. 'o COROLL. a. Si ergo duo paraueIo- νψ tramis ABCD et EFGH, vel duo triangula ABC o Em aequales habeant bases et altitudines, aequalia sunt: nam et supra eandem ba sint, et inter easdem parallelas constitui pos

Fin I9 . PROBLRMA Horam quamuis rectilinea ABCDEF in aequale triangi 'rat omare. Rusonu T. misi uno angulo B ducatur e

proximis angulis diagonalis A, o huic ollomissis angulo B parallela BG occurrens lateri FAproducto alicubi in G, et ducatur CG aequalia erunt triangula ACB, AC; apo); ergo pro triangulo ACB substituatur triangulum ACG. data figura mutabitur in aliam GFEDCG uno latere iam minus habentem. Idem prorsus fiat ex parte anguli M, et prior figura abibit in IDCG iam duobus lateribus pauciora habentem. In hac omisi angulo D ducatur, ut ante. diagonalis I, eique ex omissis angulo is 1allela DK occurrens lateri AF producto alis cubi in T, tum ducatur CK erit CK triam gulum petitum.

39a COROLL. Facile adparet hac arte minuendo successive laterum numerum omne pol gonum posse conuerti in aequale triangulum. 393. PROBLBαA. Dat- trian - is pariis quotemque aequiuis disia re.

Rasolvet a Si diuisio facienda sit per ID neas ex aliquo angulo ductas, diuidatur latus oppositum in totidem partes aequales rectacta singula diuisionum puncta ductae diuident triangulum in totidem Partes aequales 387,