Compendiaria matheseos institutio: quam in usum auditorum philosophiae

261쪽

a Si dilusio facienda st per lineas ex Hi 3s.

quo latere e g. AB ductas , diuidatur latus iblud in totidem aequales partes , . . in f, deinde ex primo diuisionis puncto P ducatur

recta PC, erit PCB pars quinta trianguli ACB aget i dividatur deinde latus AC in partes aequales nauauciores , e. g. in nostro casu in q, ac ducantur rectae PD PE. F. erit divisum totum triangulum in partes s : nam triangulum se continet ex BAC ε partesu ergo quaevis pars, e g. APF , continebit eiusdem partem.

a S demum diuisio facienda sit ex aliquo is a

puncto intra triangulum posto, dividantur duo lateram et Boin tutidem partes aequales e. g. in s , et per prima diuisionum punctam et Educantur rectae Dd Ee parallelae lateribus BC et ΒΑ, quarum intersectio P si iungatur cum angulis A, B, et , erit triangulum APB quinta pars totius ABC. Est enim BAE quinta eius

modo patet triangulum BP esse quintam partem. Quare si reliquum PAC in tres partes diuidatur per rectas PF et PG, erit totum triangulum ABC diuisum in quinque partes aequales. 394. PROBLEMA. Datum postgonum ABCDEi partes quot que aequales diuidere. RarsoLVT. Transformetur primum polygo vis M.

num datum in aequale triangulum AFS sui . cuius basis FG diuidatur in tot aequales potes, in quo polygonum diuidi debet, e g. in , ductisque rectis AH AK AI ad singula puncta diuisionum, erunt triangula FΑΗ, ΗΛK, KALRP. Mais Ma thes R

262쪽

IAG singula quarta pars trianguli FAS sos .

adeoque etiam polygoni dati Quia vero aliqua triangula extra Polygonum exeunt, hoc pacto reducenda erunt. Cum aequentur triangula C. ABC 388 . si utrique addatur trianguium ACH, erit trapezium ABCH aequale triangulo AFH, ac proinde quarta pars polygoni. Ex avera parte ducta I ad AD parallela et ducta recta AR aequabuntur triangula ARD.

Am cit., item trianeula MD AGD cit.): si ergo uia ab his subtrahantur, restabunt AER, AGI aequalia atqui hoc est quarta pars Polygoni igitur et illud. Quare polygonum datum in caequales partes ABCH. ΗΚ, ARDR

ARE diuisum est. y aos. Tnno Rama. is inuis postgom mominum auulorum D aequaturbis tot restis, quo, ni latera , demtis quatuor. DamoNsTR. Nam si e puncto quouis mintra polygonum assumto ducantur rectae ad singulos angulos, patet polygonum resolui in totti iangula , quot sunt latera quare cum quodvis triangulum contineat duos rectos a6o . omnia simul continebunt bis tot rectos, quot sunt triangula, seu latera. Verum anguli triangulorum circa punctum P, qui essiciunt simul rectos opi), ad polygoni angulos non pertinent his ergo ablatis remanent anguli Polygoni aequales bis tot redus, quot sunt latera

demtis quatuor. riv. a. 396. THBOREOA. Cuiuis postram regulari

ABCDEF potest eis Meris eireatas transiens per

innium an lorum vertices.

263쪽

DRMONsTR. Si enim anguli proximi A et B bisecentur recta bisecantes AG BG concudirent alicubi in ta , cum dimidii anguli A et Bacuti sint , et constituent triangulum QReles AGO, in quo ob angulos ad A, et B aequale est a mn 369). Ducatur ex G a s quentem angulum recta GC. erit ob AB C. BG a BG, et ob Ugulos ad Bier construct. Vtrinque aequales , triangulum AGB - BGC 374), et hinc βατα GC et angulus o xx; atquiis est dimidium totius A per construct seu totius C ergo etiam x est dimidium eiusdem , et hinc παυ. Ducatur porro recta GD ad sequentem angulum erit o BC-CD, CG-CG, erra , triangulum BCG4 CGDicit , et hinc B - GD. Habemus ergo G -GB-GCα GD ac eodem modo demonstrantur his esse aequales E, et GF datur itaque intra po-1ygonum punctum quoddam G, ex quo tanquam centro si radio GAdestribatur circulus, is trans εat per omnia puncta A, B, C etc.

397. COROLL. I. Ex praesentis theorematis demonstratione perspicuum est, per rectas e centro circuli cirςumscripti ductas diuidi bifariam angulos polygoni regularis illudque resolui in tot triangula aequalia, et isoscelia quot sunt polygoni latera. 398 COROLL. a. numquodque latus polygoni regularis circulo inscripti subtendit arcum tot gradus continentem, quot indicat quotus, qui prodit, ii 36o per numerum laterum

264쪽

399. COROLL. 3. Latus hexagoni regia eis aequatur radio circuli circumscripti. Nam si AB sit latus hexagoni in triangulo AGB angulus G est 6o' a 98 ergo anguli A' Baso 36c, et quia hi anguli inter se aequantur 397h, quilibet est 6o' quare AB-

per rectas AG et BG a g); erit in centrum circuli radio G circumscribendi s963

4 1. PROBLEna. Dato circado postgonam re-riuare inseribere. RE sonu T. Dividantur 6o per numerum

laterum polygoni inscribendi . tum capiantur in peripheria cireuli tot gradus , quot indicat quotus erit chorda eosdem subtendens latus polygoni 398 , quod proinde transferendum est ope circini in periphetiam . quoties fieri Potest. Scrionio M. Circuli eripheria geometrice, seu ope solius circini et regulas , diuidi potestino partes aequales per duas diametria sibi perpendiculares tum in partesis per radium in peripheria circumlatum so9 . adeoque etiam in partes x. alterna scilicet ditiissonum puncta omittem loci denique in partes s ope eorum, quae capite sequenti dicemus; et hinc etiam in partes is si enim e duabus quintis tollas tertiam peripheriae partem restabit nam τ' v-6---, . Possunt praeterea continua bisectione hae diuisiones in infinitum

265쪽

eontinimi unde iam intelligitur, quaenam P lygona regularia possint geometrice inscribi

circulo.

4Os. THEOREMA Cianis postgono regiam aes instris ei das aut omnia eius latera in medio tangat.

DEMONsTR. Cum enim latera polygoni regularis sint totidem chordae aequales in circulo circumscripto . aequaliter distant a centro G a 38b ergo si e centro G demittantur in eas perpendicula Gi , erunt ea inter se aequalia sor), consequenter circulus quoin perpendiculosi destriptus transibit per omnia puncta . quae erunt in mediis lateribus a sa), et circinius tanget in iisdem latera sos, 4o3. Roatia Maia Dat pol gono regulari eiramiam inscribere. RE sonu T. Ex inuento centro oo de mittatur ad latus quodcunque AB perpendicularis GL erit illa radius circuli inscribendi

4o4. PROBLEria. Dato circia postgomae prudare eis in cribere. REson vet. Dividantur 36o per numerum laterum polygoni circumstribendi , capiaturque arcus ab tot graduum, quot indicat quotus rehisecetur in puncto , per quod ducatur tam gens trinque occurrens radiis a et G pro

ductis in A et B asi); erit A latus polygoni circumscribendi Ἀos . Denique centro radio G describatur circulus ac in eo opecircini latus AB adplicetur, quotio potest.

266쪽

Se Hodio N. Rursus adparet circulo geometrice lacumscribi non posse, nisi triangulum aequilaterum quadratum pentagonum hexagonum, pentadecagonum, et in quibus numerus horum laterum credit continenter in duplum.

ferabit haec reliqua viantuli latera proportionaliteritatist AB AD - AC AE. DEMONsTR. Ductis enim rectis DC at Baequabuntur triangula BR DEC 388); quare addendo utrique triangulum ADE, aequalia orunt triangula AEB et ADC ac proinde ambo eandem habebunt rationem ad triangulum ADC est vero triangultim AR ad triangulum AED. sicut AB AD ; et triangulum ADC idem

MD, sicut AC AR agni ergo AB AD-AC AE. 4o6. OROLL. I. Erit ergo nibtrahenta iAD-CE Misos). Et generatim quotcunque parallelae ducantur lateri BC, erunt menta unius lateris mentis altorius proportiona lia eorum enim ratio semper erit eadem, quae laterum AB OLAC. 427. COROLL. s. Vicissim si sit AR, ADO AC AE erit E parallela lateri BC: si

267쪽

enim non esset, posset eidem per punctum D duci alia parallela e g. G. et tunc inae ABAD ααα AC AG 4os), et ex hypoth. AB rADα AC, AE et hinc AC AG-AC A ac altern AC AC, AG AE; sed AC AC ergo foret etiam ΑG-AR, quod abiudidum est. 4O8. COROLL. a. Si duo triangula fuerint Musa, siue aequiangula, latera homologa Ruaequalibus angulis opposita erunt proportion Iia. Nam si minus maiori debite imponatur. latus tertium tertio parallelum erit 381), ac proinde habebitur casus praesentis theorematis

4O9. COROLL. . Triangula Noscelias ilia sunt, adeoque latera homologa habent proportionalia, si angulum a lateribus aequalibus comprehensum, Vel angulum ad basim unum ni aequalem habuerint sunt enim hoc ipso in casu utroque aequiangula. Io COROLL. . Si singula mitis triangu F,c. 4 .li latera nerint singulis alterius parallela, erunt ea triangula similia. Si enim unius duo latera ea et e producantur, occurent lateri alterius

non parallelo AB producto erunt ergo anguli et cambo aequales angulo x 3o9), et anguli me ambo aequales angulo I cae) ergo erit Α-a B-b adeoque - 364), ac proinde triangula similia iuniis so)

4 II COROLL. 6. Si in triangulo quouis in LABC angulus A per rectam Ambifariam secetur, erit m DC BA AC mam prolu-cto latere A dum fiat AE AB ductaque

268쪽

Fig. 46. IAE COROLL. . Si duae recta Mot CD occurrant quibusvis parallelis ΜΝ, P. Roto secabuntur ab his proportionaliter. Si enim ducatur, parallela ad AB , erit ef:β-ine

ergo EF FGααHI , IK. 423. PROBLaria. Dati tribus lineis rectis inuenire, nam proportis dem. Fis. 43. RasoLVT. Iungantur duae reme indefinitae sub quouis angulo A , et in alterutra sumanturA . AD aequales datis duabus primis rectis, tertiae vero datae fiat aequalis AC; tum iungantur tincta B et C recta BC, et huic porpunctum D ducatur parallela DE s VI, erit recta AR quarta proportionalis quaesita. Nam AB AD-AC AE os).

414. Conon L. I. Si ad datas duas tertia Proportionalis petatur, secunda linea data, et in rectam se translata, transferatur etiam loco tertiae in AC cetera fiant ut ante. 415. COROLL. a. Si recta AC h partis quotcunque aequales, aut in data quacunquarations diuidenda sit, sumatur recta AB in ea, dem ratione iam ciuici, iungaturque ei stib quocunque angulo A . et extrema puncta B, C

connectantur linea BC, cui por singula rectas AB diuisionum puncta agantur parallelae diu, dent bao rectam AC in eadem illa ratione 4o ο).

269쪽

GBonu TR1An. 2654I6. Tuno Ruma. Si duo triangula ABO.ade rari aquais an vis A et a latera hiauerine poportionalis . emat eadem aequiangula. Damon sTR. Si enim angulus a ita imponatur angulo A . Vt latus id cadat supra AB e. g. Vsque in D, etiam latus ae propter a qualitatem scilicet angulorum a et M. cadet

napra AC e. g. Vsque in E eritque A mad. --ae, ac totum triangulum ADE - ade 374)i erit ergo ex hypothesi AB ADα AC AE; hinc rectae E et B parallelae sunt 4' ci quare angulus D seu dram B, amgulus E se eam Ciso9ὶ.417. THBORRMA. Si duorum trianguisisu ABC, ad omnia uina Derint proportionalia, erunt eadem aequia sis. DEHONsTR. mat enim AD ad ac per

CD Ih in incido is aequa intersecantium sint ec, soce proportionalia. DarioNsTR. Ductis enim chordiam si CB erit angulus o Mx. - 34M ac praetorea verticales ad cutrinque aequales a9a :

270쪽

419. COROLL. Erit ergo AEκEB-ECκ ao a) id est, factum ex unius chor Esegmentis aequatur facto ex alterius segmentis 48. 42 . THEORBAE A. rependiculari CE quovis peripheriae eiseia puncto ad diametrum demissa es taedia proportionalis intersegmema diametri AE EB DBno NSTR. Nam producta perpendiculariCEvsque ad peripheriam, erit AE: Η-ED

CE - CE EB. 421. PROBLEMA. Inte Mas datas rectas Ane Emimen e mediam geometris proportionali Rasonu T. Iungantur rectae dareae in unicam AB qua in I bisecta des ibatur semicirculus. ac e puncto iuncturae E erigatur perpendicularis EC , donec occurrat peripheriae sos 4 erit haec media proportionalis petita a ob Fig. 49. 4aa. THAORRH A. Si puncto quopiam A se eantur duae secantes Amet AD, erant segmenta AC et AE extra eireultimssa integris seeanubar reciprore proportionalia. DEΜoNsTR. Ductis enimchordis et BD. in triangulis ACE , ABD praeter communem angulum A erit angulus ACΕ-ΑDB ob eandem mensuram ψE et angulus MC-

Fig. O. 423. COROLL. . Si ex eodem puncto AVna secans, altera tangens ducatur, iterum a quiangula erunt triangula ACU ABT, Cum an