Compendiaria matheseos institutio: quam in usum auditorum philosophiae

281쪽

455. COROLL. a. Idem radii quadratum aequatur facto e cosinu, ac secanis item facto ex tangente , et orangente. Nam ob similia

456. COROLL. 3. Si ergo duo quivis eiusdem circuli arcus sumantur erunt facta ex tangente et colangenis in utroquoaequalia quadrato radii, adeoque etiam inter se. Soluendo igitur ambo facta in aproportio in patebit, tangentes duorum quorumvis, um in m ratione reciproca colangentium so ) 457. Conon 4. Cum sit CT -- M.AT' 433 , palam est quadratum secantis aequa 'ri'u dratis radii simul, et tangentis. 458. CORO . s. In quovis arcu A est OD seu BI BD-CA AT seu cosinus adfinum, Vt radius ad tangentam. Item BD BC-AT: C. seu sinus ad radium ut tangens ad Mantem. 459 COROLL. . si radius A Vtcunquainutetur, functiones omnes arcuum similivi vel aequalium angulorum in eadem ratione mutantur, adeoque mutuam ad se inuicem rationem retinent. Nam utcunque aucto , vel diminuto radio Atriangula omnia eosdem retinebunt angulo , et uine ratio radii, et functionum non turbabitupi

282쪽

gulo ABC si hypotenus sumatur pro radio, seusnu toto miliuis cathetorum erit sinus anguli sibi oppositi, et cosinus adiacentis acuti nimirum fi radio ACχεχribantur arcus m et r. erit sinus angui C. cosinus anguli A BC mus anguli M. cosinus anguli C. Quare sinus meus o ad sinum alterutrius anguli acuti, ut hypotenus ad latus eidem angulo oppositum retinus totus est ad cosinum anguli acuti utriuslibet, ut hypotenus ad latus eidem angulo

adiacens. 46 i. COROLL. . sin autem alteruter Cathreus sumatur pro radio, seu sinu toto, altereathetus fit tangens hypotenus secans anguli acuti radio adiacentis nimirum si radio CB d scribatur ari ust ΒΜ, erit AB tangens, AC means arcus ΒΜ, seu anguli C 3os ): si vero radio AB descr batur arcus in erit C tangens, AC se ans arcus BN, heu anguli A. Est adeo sinus totus ad tangentem unius anguli acuti, ut latus eidem angulo adiacens ad oppositum et sinus totus ad secantem unius ex angulis acutis , ut latus eidem adiscens ad hypo

tenusam.

46 a Tnaon ΕΜΑ. In inviis si gulo latera sint visim anguis- iis Ἀπο orum DB notis TR. Potest enim cuivis triangulo eircumscribi cireuius a a ), et tunc latera suadunt chordae Ribtendentes arcus duplos eorum,

qui metiuntur angulos oppositos 3 sy quare lateris cuiusuis dimidium erit sinus anguli oppositi Aso); eum ergo dimidia sint vii tota

283쪽

aio), patet latera sors, finus angulorum oppositorum. 463. Conon L. Si angulus quispiam Fis. o. lusus fuerit in triangulo ABC, ductis BD MCD angulus D erit supplementum anguli A a 6 . adeoque ambo eundem habent sinum est autemper demonstr. BC sinus anguli D igitur etiam est sinus anguli A. 464. THEOREAEA N innis triangulo AB F.

Amma daeorum uoramuis lateram AC-- AB es ad eorumdem disserentiam AC-ΑBisti ens semisum. -ae angulorum B et C iisdem oppositorum iri μι- semidisseremiae eo urim. Di nos feta . Latere minore A B tanquama dio centro describatur circulum, utus vero alterum CAproducatur, dum occurrat periphinriae in D . ducaturque per punctam et B rem indefinita DF, cui occurrat in F rem CF cho

dae E parallela: erit angulus DBE 3 51.

adeoque etiam angultis DFC rectus so . Hisce positis erit C - Α - A Da CD summa laterum C - Αου-CA-AW-CE differentia eorundem ahgulus ο -- ternus erit summa angulorum ABC, ACB 367x

erit eorundem semisumma quia ero angulus

ACB Q ABC 368 . constabit AC ex sem, remma demta semidifferentiair 68 ex s) ia qui constat εκ ACU BCF, et ACF est misis mat ergo BCF est semidisserentia. Igitur si CF fumatur pro radio, erit FD tangens semisummae DCF , et B tangens semidifferentiae BCF

284쪽

a DF BF. Fig. a. 465. Tullo REMA. Si in trianguis quovis ABC in latus maximis c d ittatur ex avuls opposito A perpendieularis in quae semper intra trianguis cadetis 6s), erit istas maximum BC ad si nam reliquorum ΒΑ--AB, ut eomniavidisserentia A-AB ad disseremiam serae Dram baseos Μc-ΜB. Dareo usTR. Centro A latere missimo AB describatur circulus, erit producto , Ut ante, latere A summa laterum CD, differentia

C praetere ΜB- ΜΝ sas , et hinc CΜ -- - Μ - ΜΝ - CN, seu Nerit differentia segmentorum baseo. Est oro

466. ORO . . Segmentum baseos maius

laterum

Scuo QON. Ex hiae theorem iis fluit trian sutorum resolutio, ac functionum omnium in. uestigatio. Verum ut hae functiones in promtu semper essent, arcubusque et angulis substitui pos&nt, necesse fuit concinnare tabulas quasdam . in quibus iunctionesingulorum graduum, atque

285쪽

minutorum stltem primorum continerentur, quaeta alae disrutam, vel em effunctionum adpellantur. Satis autem in tabulas id genus construere seque ad arcum, aut angulum es nam post hunc, ut vidimus, eaedem iterum functiones redeunt. In his concinnandis radius, seu sinus totus ponitur adiectis septem, vel pluribus raris eum in finem, vi mones infractioni-hus decimalibus eo accuratius determinari pos e qumnadmodun ximus de togarithmorum constructione. Quare functiones inuestigare aliud non est, quam inuenire, quotnam eiusnodi particulas iunctio unaquaeque habeat, in quas radius diuisus eoncipitur: at quia radius quiuis siue maior, siue minor in eundem partium aequa-1ium numerum diuiditur uti peripheria circuli uuiuniis in eundem graduum numerum, Patet Partiςulas maioris radii maiores ene quam minoris. Hinc tabulae finuum, in quibus exhibetur, quoinam ex illis radii particulis functio quaelibet contineat, non exhibent absolutam, sed tantum comparatium earum magnitudinem, siue solam ad radium proportionem, quae suffcit ad resolutiones triangulorum uti adparebit in sequentibus. Quota functistes computatae sint Pro a adio in partes plures diuiso, eaedam lacile ruentur pro quouis alio radio in partes pauciores diuub 4ssy: g. datis uni donibus proatadio ocoooo inuenientur eaedem pro radio Eooooo, si e datis illis duae postrem e notae ' utentur est enim primus ille radius ad hunc, ut illae datae functiones ad easdem duabus pinstremis oti multatas, sicuti perspicuum siet

286쪽

proportiones ipsas instituenti Tabulae huiusmodi compluribus methodis confieri potant. 6 iani confectae prostant e nos viam computandi compendiariam cum Bostouichio hiseo problematis complectentur.

468. PROBLEna mi tangemini mire 'eantem, et u . RasoLVT E summa quadratorum radii et tangentis extracta radix quadrata dabit secantem

454 et quia est secans tangentem ut radius ad sinum 458) sinus innotescit.

Fig. r. 469. PROBLana. Datis tangentibus ψαμώο- arcuum B quadrante minorum imaenise tangent secareus A intilis aris ne ire proportionalis. RasoLVT. Datis tangentibus A et se in

datur datae tangenti minori - , obtinebula tangens quaesita Ax.Α7 . COROLL. si punctum D abeat in A, erit V αο, exv-CA, va TA; adeoque prior proportio abibit in hane i T--CΑ: Α-AT AX, quae continet solutionem problematis, tu quo data tangent alicuius arcus quaeratur tangens dimidii eiussiem; nam tunc punctum E erit in medio arcus AB.471. COROLL. a. Si punctum Babeatu H. Cret V euadent infinitae, hinc T-CVma TV , seu TX XW: ergo in Proportiona

287쪽

m. 46 etiam Verae XV hinc fi secans arcus minoris CV addatur tangenti minori datae An habebitur tangeh quaesita M. 47. Conon L. 3. Si et Babeat, Η, et D in M, orit arcus medius proportionalis ΑΗ - 45' , adeoque eius tangens AX - CA

473. PROBLEMA. meis frinionibus ἀων--mum, quorum disseremia perquam eximast, me a re auctionem aretis minois intermedii. REsoLvT Fiat haec proportior ut differentia arcuum datorum ad disserentiam arcus minoris et intermedii, ita differentia latarem functionum ad differentiam, quae est inter functionem arcus mimris, et intermedii; inuenta haec differentis addatur hinctioni arcus minoris si stre entibus a cubus functio crescit, id est, si functio sit sinus. tangens , aut secans dematur, si decrescit. id est, si functio sit cosinus, colangens bel

Damori sua. Referant enim rectas AB M Fit 6 . AD datos duos arcus . ac perpendiculares BN et D in casu i exprimant functiones crescentibus arcubus crescontes , in casti a decrescentes, sitque arcus intermedius ΑΕ eius functio quaesita EΜ. Erunt extrema functionum Crs Rontium, vel decrementium puncta L, Μ, Nan linea quapiam continua, quae si curua sit,

arcus exiguus in pro recta haberi poterit; hinc ducta in parallela ad AB erit mi I, seu DB DEα-- ΜΙ, hoc est, differentiae arcuum erunt ut differentiae functionum.

288쪽

Porro in in casu primo addi debet ad LD. ut habeatur in in secundo demi.

ScΗonrori virum pro matumo functi ne omnium arcuum et angulorum inueniri

possunt determinato radio in particulis . . Iooooooo sumit autem eas comput o Vsque ad arcum 45' cum enim ceteri usque adio' sint horum complementa, functiones eorum facile .ruuntur Per n. 454 455 456, 458. In uentis functionibus reperiuntur earum logarithini Per ea, quae de Iogarithmis alibi tradidimus Tabulae porro, in quibus functiones eum suis Iogarithmis inscribuntur, in habere columnas lebent in quarum prima stribuntur gradus, et minuta prima in secunda sinus; in tertia tam gentes in quarta secantes correspondentes, in quinta iugarithmi sinuum in sexta togaristi tangentium. Secantium logarithmi non appo nuntur, nam elogarithmis sinuum nullam otio eliciuntur cum enim quadratum radii dicissim

percosnum exhibeat secantem 45s , satis erit duplo 1 arithmo assii a a)subtrahere togae

rithmum eosinus a i , secantis logarithmus obtineatur Arcus autem in paginis sinistris Dbula incipiunt a ' et descendendo continanter creshunt usque ad 4s' at in paginis Matris initium sumunt aio . et perpetuo decrescunt usque ad 4s' ita fit ut cuiuis arcui inscripto in una pagina respondeate rogione in altera eius eomplementum, adeoque etiam cosinus , o, angens, et cosecans. Sed iam ad usum Ularum tabularum venia us.

289쪽

densem.

Rusotivae ad Bl datus arcus quadrante, aut datus angulus recto malor non fuerit, solosque gradus, et minuta prima continuerit, quaeratur in prima columna paginae sinistrae , vel dextrae. aderit in eadem pagina elus in sinus, tangens,ao secans in altera e regione cosinus, cotan gens, et e secans. a S arcus quadrante , vel angulas recto maior fuerit, subtrahatur a 18o', et quaerantur, ut ante Mammones arcus vel anguli residui; eaedem erunt functiones etiam arcus, vel an

s S arcus vel angulus praeter gradus, et mDinita prima etiam secunda contineat quaeratur in tabulis functio arcus proxime maioris, et prinxime utinoris, capiaturque earum differentia, tum fiat, ut differentia duorum arcuum, vel angularum proximorum in tabulis, nempe i , seu 6o ad differentiam arcus vel anguli datiet proxime minoris in tabulis, seu ad minuta secunda quaa datus arcus Ves angulus continet, ita differentia sunmonum arcubus maiori et minori in tabulis respondentium ad differentiam functionum arcinhus dato et proxime minori in tabulis respondentium 473 uiuenta haec differentia addatur functioni arcus , aut anguli proxime -- noris, si finus, tangens, aut secans quavitur; dematur , si cotaus, colangens , aut co eam quaeritur, et istinebitu functio quaesita

290쪽

da est freta fiat ergo Oo s517 x, erit, is a quam proxime, quod additum sinu so'. s exhibebit sinum soraua respon' lantem angulo 3o Q . V.

soLvτ. x Si data functio reperiatur in tabulis, habebitur etiam e regione in columna prisma arcus Vel angulus eidem respondens. a Si non adsit in tabulis, capiatur differemeti stactionum proxime maioris et minoris in t hulis, tum fiat . ut differentia harum functismum ad differentiam, qua data functio superat prox, me minorem in tabulis, ita oo'. seu differentia

duorum arcuum vel angulorum proximorum in tabulis ad numerum minutorum secundorum addendorum arcui vel angulo respondenti functio ni minori, si ea sit sinus, tangens, aut secans vo demendorum , si sit cosinus, colangens vel osecans 473) arcus ita repertus, vel angulus , aut etiam eius supplementiun erit is, cui data functio respondet. E. g. quaeratur arcus, Vel angulus respondens sinu a 98s ii in tabulis haud comparenti. Sinus proxime maior in tabulis est a98763a r spondens arcui 17', as proxime minor esta9848s respondens arcu 17'. sa' fiat ergo.

in differentia horum sinuum s 776 ad 55s differentiam sinus dati et proxime minoris in tabulis