Compendiaria matheseos institutio: quam in usum auditorum philosophiae

311쪽

GBorin YRTAR. sorhoc est, area in primo casu altitudinum . in secundo basium rationem habent. 5O6. COROLL. . Cum dimidia snt viamin aio , triangula autem sint dimidia para1-lelogrammorum easdem bases, et altitudines hahentium 38 s), praesens theorema una Cum Prascedonte corollario etiam in triangulis obibnet. Cons. n. 387.

5o7. OROLL. s. st duo parallelogramma, vel triangula aequalia sint, erit A, B - ακ b, et hinc A bt B ao hoc est . altitudines habent basibus reciproce proportionales.

Et vicissim si fuerit A a - , B erit A, B-Ἀκ sos . id est parallelogramma, Vel

triangula aequalia iunt. 5Oq. THEOREΜA. Areae parallelogran orti as ABCD . a b c d similium sunt ut quadrata quorum vir laterum h-ologorum, seu I iliter ultor . DEMON situ. Demissis enim examualibus an

gulis A et a perpetndiculis AR, me, sitas erunt triangula ABE, ab ob angulos ad E et e rectos. et o B - propior figurarum similitudinem f

rarum similitudinem AB ab in BC: e quare AE aeram BC die; stini autem para1lelogramma in ratione composita ex AE . me, et BC: besso seu ex BC be et BC: orto ut BC ibe 1οα ves cum sit BC berem AB a bina AD ad-DC: de sunt ut AB' velut AD , P, vel ut DC' de' at a).so9. COROLL. Cum similia triangula spectari possint tanquam similium paraue1ogrammo

312쪽

ram simili- ABCDE, bc de iis quadrata quorumvis laterum homologor- DEHONsTR. Ductis enim per aequales angulos A et a diagonalibiis, similia erunt triangula ABC et abe, CD et aed. - et ade 438λ est autem triangulum AB r abc a ' ab LACD aed-CD' ed' Β' ab'; ADE: ade-AM: ae AB': by 5OQ; ergo omnia triangula sunt in eadem rationes 'tad' quare etiam summae omnium triangulorum, seu areae polygonorum sunt ut AB r a b in BCyrbe' etc. a 4)5 COROLL. I. Cum latera polygonorum regularium similium homologa sint ut radii circulorum iisdem circumscriptorum 44 erunt quadrata laterum homologorum ut quadrata diorum s et a i cum ergo eorum areae sint ut quadrata laterum homologorum fro), runt etiam ut quadrata radiorum circulorum iisdem

circumscriptorum.

5Ia COROLL. . Atqui circuli sunt polygona regularia infinitorum laterum 44sy, et quidem similia 439); ergo eorundem areae sunt, quadrata radiorum vel cum radii sint ut diametri a io . ut quadrata diametrorum Ia)., 4. si a COROLL 3. Ωsupra sintula trianguli rectanguli ABC latera describantur figurae similes , ea , quae construetur supra hypotenu iam BC, exaequabit reliquas duas simul sumtas.

313쪽

514. Conon L. . Si supra usdem trian Fig. s. guli rectanguli latera describantur semicirculi, lanulae ΜΗ- aequabuntur triangulo ABC. Nam semicirculus BAC aequabitur semicirculis

que ab aequalibus tollendo segmenta Ο -- P, restabit triangulus ABC-Μ - κsis PROBLEMA. Datis quot Mae figuris I milibus nam aequalem, ac sem msseruere. RasoLVT. Iungantur ad angulum rectum dua Fis. 4.rum latera homologa. AB M BC, vel diametri. si figurae datae fuerint circuli ducta hypotenus AC erit latus homologum figurae , quae sola aequabit duas illas, quarum latera sunt AB et BC aut si figurae circuli fuerint, erit C diameter circuli aequantis ambos simul circulos, quorum diametri sunt Amet BC si a). Rursus huic hypotenulae iungatur ad angulum re ctum latus homologum tertiae figuram, aut diameter tertii circuli et sic porro, quemadmindum alibi de quadratis diximus 435 . Latere inuento construatur figura uni datarum similis 4433. 516. PROBLEMA. Datis duabus ruris milibus e fruere tertiam item, quaest aequalis earumdem disserentiae. RasoLVT. Super lateste figurae, vel dialae Fig. 3.tro circuli maioris AC describatur semicirculus, et in eo pro chorda adplicetur latus homola

314쪽

gum figurae, aut diameter circuli minoris AB; erit altera chordam latus homologum figurae, aut diameter circuli petiti. Nam sigura latens, vel diametri AC aequalis est figuris laterum vel diametrorum A et BC simul sumtis sis . ergo figura lateris, vel diametri BC aequatur differentiae datarum figurarum inuento igitur latere BC construatur digura uti datarum simi

De Mario seu et concursibus Hariorum. s6. 37. Qi-AB, cui altera N perpendi.

O culariter insistat, manente eodem situ. circa semetipsam conuerti concipiatur, recta CNmotu suo describet lanam quamdam superficiem, quae 'uspiam eminebit, aut dehiscet, et quam imposita linea recta omnibus suis punctis comtinget. Porro recta AC, quae omnibus rectis in

eodem plano per punctum C ductis perpendicu laris est, dicitur plano ipsi perpendicularis , quia hoc ipso in nullam plani partem magis incli

natur.

5 18. COROLL. T. Linea ergo recta Per unum plani punctum ducta, vel congruit tota cum plano, Vel tota recedit ab eodem, nec possunt duo eius puncta in plano esse , quin omnia in eodem sint: secus linea curuaretur ubi planum deserpret, et hinc contra hypothesim non esset re-

315쪽

. Quare nequit Pars rectae es in plano, pars supra illud eminere , aut infra illud do-

519. COROLL. s. Duae rectae nonnisi in unico puncto se intersecant. Si enim se inibris punctis secarent, segmentum inter duo illa puncta comprehensum esset trique commune, possetque per illud duci planum, in quo sit pars rectae, Pars extra ipsum. Cons. n. 7 .sao COROLL. . Communis duorum planorum intersectio est linea recta. Cum enim sin gula intersectionis puncta debeant utrique plano esse communis, tota linea intersectionis de-het osse in troque plano; sed nisi recta sit. non erit iniboque: nam Vbi curuaretur, uidenter alteriitrum planum desereret. sax eo. OLL. 4. Nequit pars una plani congruere cum altero plano , Pars ab eodem divergere sepus pars rectae in uno plano ductae esset in altero plano, pars non esset; quod

saa. COROLL. s. Nequit Pars una trian iguli esse in plano, pars altera supra ulu em,nere, vel infra dehisceres secus pars duorum

latorum D in eodem illo plano , pars extra illud , quod absurdum est cit.). Hinc a puncta non in directum sita, per quae semperduci potest triangulum, determinant plani, in

quo mi, positionem. 5a3. COROLL. . Duae reistae sese inter Fig. 31. secantes sunt in eodem plano. Si enim in utraque recta, et a praeter punctum commune

intersectionis Cissumantur singula puncta α et β,

316쪽

triangulum Cαβ erit totum in eodem plano sis a); ergo et segmenta C et C 'rectarum Ab et Ba. et hinc ipsae rectae totae 548 .

86. 5s4. THEOREMA. Si recta AC perpendi laris fit duabus rectis D ti in drin ptim per eius extremum C ductis, hoc ipsi perpendieuiaris eris euiuis asterii per idem undium C in eodem plam ductae. DEMONsTR. Fiant enim CGO CH-CF- CD, et concipiantur duci rectae AH, M.

AD AG punctum A aequaliter distabit a pumctis G, H, F, D uoeth: ergo si triangulum AC incirca latus immotum A conuerti conci. piatur , describet punctumi peripheriam cliculi per puncta F, D, et G rLseuntis, item per duo puncta rectae ΜΝ e. g. per Μ et Niet hinc ΑΗ congrue cum A et ΑΜ, ac Η cum C et Μ puncta ergo A et C aequaliter distabunt a punctis Μ et Ν, ac proinde mcta AC est perpendicularis ad ΜΝ a 94 .ss5 COROLL. 1. Quare si recta quaepiam Perpendicularis sit ad duas rectas in plano quo-Piam per eius extremum ductas, erit 'oc ipso perpendicularis etiam ad planum ipsum si et .

5a 6 COROLL. a. iuncto extra planum

posito nonnisi unica perpendiculari potest affplanum demitti si enim duae possent demittie. g. AC et AH, ambae deberent esse perpendiculares ad eandem rectam mearum extrema coniungentem si r), quod repugnat sus . Hinc puncti a plano distantiam metitur perpe dicularis ex eodem ad planum demissa. Cons

317쪽

GEOMNTRx an fra sa7. COROLL. 3. Similiter ex eodem pla. Tu puncto o. g. nequit erigi, nisi unica pedipendicularis secus ex eodem re erumper id punctum transeuntis puncto possent erigi plures perpendiculares, quod absurdum est quam iis enim cum ea recta faceret angulum rectum adeoque pars foret aequalis toti Cons. n. a 85.5s8. THRORE ΜΛ. Si ex eodem puncto A e-m AF erigantur tres perpendiculares AB, AC, AD, 'arum omisi unica potes esse in eodem plam eam recta AF Oa 8s λ, erint omnes illae in m '

DEAEONsTR. Ducto enim perissctas AC MAB plano N, si per rectas A et D planoMA ut ostendatin tertia perpendicularis AD esse in plano BN probari debet eandom esse communem planorum m et mintersectio. nem, id quod perspicuum est, secus planum OCcurreret plano B in aliqua recta AO infra. vel supra Amiacente essetque recta AF etiam rectae A perpondicularis os a ), et hinc ae quarentur anguli recti AO, FAD. hoc est, Pars et otiim, quod absurdum est. sa9. ΗRORRHA. Angulum iam , seu mutuam duorum planorum inclinationem metitu arcus i

ter Fama istereeptus euius eratrum es in ipse plan rum intersecti me communi, et cuius laxim es eidem interfectioni perpendi lare. DEMONsTR. Cogitetur enim planum quod vic sdam AB alter immobi1 BC impositum circa latus BD in plano immobili haerens conuerti, perspicuum est diuersas horum planorum inclinationes metiendas esse per numerum progres

318쪽

suum momentaneorum cuiusuis puncti e g. κa puncto alterius plani correspondente F quare mensura inclinationum est arcus a puncto Edecursus, cuius centrum inest in Coniniunt i tersectione BD. Quia vero idem centrum d

het esse in plano ipsius arcus, necesse est, aesit in recta Eo id planum generante atqui ea recta generans est rectae Bah, in communi intersectioni perpendicularis 517), alias planum

non generaret igitur centrum est in communi intersectione rectae perpendiculans Eo, et communis intersectionis BD , seu in illo rectae BD puncto, in quo incidunt quaelibet perpendiculares Eo, e quouis arcus puncto ad BD demissae quare planum arcus inclinationem metientis est perpendiculare communi Planorum intersectioni BD. 53O COROLL. . . Si ergo in duobus planis ad se inclinatis A et Bine quouis mutuae intersectionis puncto inerigantur duae perpendiculares E, et F, angulus rectilineus EOF, erit mensura inclinationi planorum 531. COROLL. a. Si Planum plano insistat, essicit angulos contiguos duobus recticaequales; nam arcus eosdem mclientes Complent semiperipheriam circuli. 53a COROLL. 3. Hinc si duo plana se intersecent, angulos ad verticem aequale Comprehendent, qui omnes simul continebunt 36o' claudi enim poterunt circuli peripheria.

533. ΗBOREM A. Si plana parallela A, B, C ferentur plano quopiam DELL, lineae intersectionis DE, FH, IL - inter se parathiae,

319쪽

S non BTRTAR. 31sDEMONsTR. Cum enim plana parallela πι- cunque producta semper a se aequaliter distenti etiam lineae illa intersectionum in iisdem sitae semper a se aequaliter distabunt ergo parablelae sunt. 534. THROREMA. Si duo plana me C dem rectae FI perpendicularia Derint, eriint ea inter, parallela. Darao NsTR. Nam ducta recta IL, ac perrectas m et I plano mΗF, anguli ades et F. recti erunt, et hinc rectae I et Η parallelas sis , Eadem est demonstratio de quibusvis rectis per puncta I et F ductis ergo nulla recta in uno plano ducta per punctum 1 concurret cum recta ducta in altero per punctum Fulgitur plana ipsa producta nunquam Concurrent atque adeo parallela sunt. 535. TABOR EmA. Rectas uni planorum ρο-rallelaram B perpendicularis, si alteri quoque lam perpendicularis. DEmo NsT., Ducto enim plano FΗLΙ, erunt

FH et I parallelae s sa); unde angulus

mi Cao9 cum ergo F rectus ponatur, erit etiam Irectus, idque valet de omnibus rectis Per puncta F et I in planis B et C ductis, ergo recta I plano C perpendicularis est 5 7).536. THEORBΜA. Si duas rectas De EL secent quotcunque plana paratula A, B, C, earum segmenta sunt proportionalia, nimirum ΕΗ Η - DF:

320쪽

SCHOLION. Quae in superioribus dicta sunt de angulis, quos emcit recta lineas parallelas secans, etiam ad plana parallela plano quopiam secta transferri posse facile quisque intelligit

De Solidorum genes, super te, σμίλ

ditate.

Fit so. 37 IUM; Mur facile concipitur, sis oci singulis polygoni cuiuspiam, aut

trianguli BCD ansulis ducantur rectae ad quod uis punctum A extra trianguli planum positum: nascetur enim in A angulus solidus, tot con- stans angulis planis BAC, AD DAC, quot sunt polygoni, aut trianguli latera. 538. ORO . . Tres minimum requiruntur anguli plant ad mim solidum generandum. Tot enim requiruntur anguli plani ad unum sinlidum generandum, quot sunt polygoni, cui tanquam basi insistit angulus solidus, utera at