Compendiaria matheseos institutio: quam in usum auditorum philosophiae

301쪽

eentri quadrantis CD-ER habebitur tota ab titudo AB.

RasoLvi. mansiuae geometri e Col Pit. s. Iouetur mensula in stationam vorticaliter, ut supra, et penes acicutam o ducatur recta orin, finita lateri mensul e parallela iuxta Cuius di remouem sat collineatio in aliquod quaesitae ab tudinis punctum ci tum penes aciculam uat ovilineatio versus A, mi ducatur recta indefinita. in, transferatur e smi distantia stationum CD, ac selicto in D baculo uanile atur mensula ad alterai stationem C. cicula in 'defixa, et mmmi, imminente. Tum per dioptra regulae ad is a r. adplicatae respicimuriculus occur rat in D. M ex aduerso occurr t punctum E aci.mmota mensia fiat rem Miculam collineatio Vocus A, ducaturque recta occurrens alteri opriore statione versus A ductae in puncto a demissae Nerpendicularisae ad scalam adplivata

indieab partem altitudinis Aug. ain similia

tur itaqus AE cui addenda est altitudo acicuruarc - ERI Punsta B, C, D fuerint in eadem recta, et obtinebitur Integra altitudo ΑΒ.M Ope quadrantis. Iudem factis ollinea. umibus mensurentur angulis et ArE, innotessum Ugulus Aro, et hinc etiam angulus rΑΟ:sa igitur ut sinus anguli A ad latus oppositum

m. ita sinus anculi Q ad latu oppositum Ar

302쪽

, quare in triangulor ha bitur latus M, angu- Ius Ar mensuratus, et rectus Eci stabit igitur haec proporti, ut sinus anguli recti E ad latus oppositum A . ita sinus anguli AνE ad latus oppositum M cetera fient, anis. 7. 488. COROLL. Si puncta B, C, et D non sint in eadem recta fiat penes aciculam coli,neatio ellam versus pinctum B, et ducatur recta indefinita cui perpendieissaris a producta occurrat in , Lindieabit a b in scala torum altitudinem AB, ob similitudinem scilicet triangularum αν, ACB. Si quin ante fiat nis uratio. facta vordis metra collinearion reperietur angulim ECB; notus est praeterea rectus in E, ademque Binore it tertius B latus Item CE re limone fianguli Am inuentum est: ex his hi, Mi ubtur pars quaesitae altitudinis EB Potest Miamorui simul tota altitudo ΑΒ, ficiis ustur totum triangulum ACB in quo praeter latus A iam

libere permeabilis ista νaphia, prestem , is es fguram ei areae siem eon mere. Raso e VP a in monseiae ge-Nisae Ceblocetur mensula situ origonia i in angula quopiam areae A, equo ad renquos omnes angulos prospectus pateat turn AAis penes aciculam an gulo A imminentem versus eosdem collineationibus ducantur rectae indefinitae in quas e stata transferantur distantia AB, AC, AD AE AFope catenae mensurandae, ac puncta . . , e Lin quibus eae distantiae translatae terminantur,

connectantur erit figura Abeiam similis Mem

303쪽

pmptata ABCDE . an singula triangula λὸς, Ac etc. similia sint suis correspondentibus ABC. MD etc. 6a 6 ergo Mur P xva malori similis est as). Eodem modo res Pese

agitur si mensula non in angulo, sed intra μα eam ubicunque collocetur. s ad aeris Centro quadrantis angulo imminente mensurentur anguli AC, CADDAE OF item distantiae AB, AC AD, AMAF ope catenae tum constructis in chartatiodem angulis distantiae mensuratae transferuntur e scala in M. , Ad, Ae M, et puncta . , d, e,s, connectantur; eriti ut ante, figura Med Asmilis areae propositas ABCDEFA. Eadem eris operandi ratio, si statio non in angulo, sed intra ipsam aream ubiuis constituatur. 49O PROBLaria Areae empestris ABCDEF it. simperatae ishmgraphiam, ficere. REsoLVT. x Ope Mensetae ce-etrieae Deligantur duo anguli proximi areae propositae Ae B e quibus ad singulos angulos prospectus Pateat collocotur mensula in primo angulo Astu horizontali, ac penes aesculam angula linminentem ducantur Vereus ceteros angulos rectauindefinitae Deinde mensurata ope catenae stationum distantia ΑΒ transferatur e scala in AL Macicula inis defigatur tum mensula translata hiangula B sic collacetur, ut acicula eidem immi neat se iuxta rectam Ba collinsanti baculus in relictus occurrat. Denique penes acicuum lactis versus anges C, D, E , F collinea tionibus ducantur rectae prioribus occurrentes

in punctis , , , f puncta bam Dan a

304쪽

dabunt ichnographiam Bessis. Nam ob amgulum ad B conuiuidem, et angulum in a cum mensula translatum ex/, similia sunt relanginae ACB , ad et ADB , amet Miscas o AFB est ergo in primo pari AE AB - aer C in secundo aB AB αα ad ruta ergo ae AC - ad: in unde triangula aca AC similia sunt 416)a eodem modo ostenditur similia esso triangula ade, ADE. itemAEF quare figura cim similis est areae

mationibus versus omnos areae propositae angulas notentur omnes anguli in utraque statione ; iuvist, a stationum ABE scala desumta trans. Aratur in charta in rectamina, ac in extremiamat a constitua Mur ahguli in una , et altera statione inuenti, dabunt, ut ante puncta intersectionum , d, e,s figuram c-Bareae propositae similem.

491. Ru BLEMA Irim Uliam reosi, ori .e opa trigonuinciriae perficere. Fig. s. Mus,vvT. Lustratis regionis arcibus, urbibus, ae montibus deligatur loco opportuno basis A eius longitudinis, quae notabilem habeat rationem ad distantias locorum in mappam referendorum . eaque ope Problematum superiorum4 eurate mensuretur ab extremis autem baseos A. et B d et patere aspectus ad complures arce montes, urbes, oppida etc. Tum in prima stations ope quadrantis mensurentur omnes anguli, quos basis A emcit cum lineis versus loca Conspicua C, D, E etc. directis, nempe anguli

305쪽

3o1BAO, BAD, BAE etc. omissis interea angulis. qui nimis obtus , vel nimis acuti euaderent. Similiter explorentur in statione B anguli ABC. 0, ABE etc. In omnibus his triangulis dato latere communi AB, et angulis eidem adlacentihus reperiuntur operanuum distantias AC, BO; AD BD etc. atque ita positio punctoriun C. D. E etc. determinatur si nimirum iis distantiis.

. mea a s quam hasis AB adpliuatur, destimiis

centris A et B fiant arcus sese intersecantes. Porro ut loca omissa e g. F, uete determinentur, assumatur pro basi distantia ΑΕ iam inuenta, ac exploratis angulis AF AEF inueniantur latera AF et EF, his e scala desumtis tanquam radiis dum arcus e centris A et E designabunt sua intersectione positionem loci F. Eodem mo, do assumta basi BC definietur situs loci L, et sieporro de aliis locis in primis stationibus praetermissis. Figura hunc in modum constructa consabit totidem triangulis similibus . ac similiterpositis, quot habet ipsa regio erit proinde α-dem similis.

306쪽

ita deuenire ad situm AB, ut sibi semper parallela maneat, et ubique sui vestigium relinquat, totam parallelogrammi Amsuperficiem successive conteget. Vnde parallelogram nium gignitur continuo fluxu baseos per altitudinems 493. THEORBNA. Te eui uis trianguli est factum e dimidia basi in altitudinem. Damoris R. Si enim a vertice triangus incipiendo concipiantur basi duci infinitae parablelae sibi infinite vicinae, summa earundem ain qualis erit areae triangulici atqui ea summa est

iactum ex dimidia basi in altitudinem 387 i

grammum sit duplum trianguli eandem basim et altitudinem habentis 38s , area parallelogrammi est factum scista basi in altitudinem.

DE SUPERFICIEBUS.

307쪽

49s CORoxn a Trapezium ABDChabena duo latera opposita AB et CD parallela ducta di tonali AD resoluitur in duo triangula AD ABD aequales altitudinos A et D habentia

AE; et area trianguli ABD ἀ- AB, DF α ABAAE 49s t ergo area Vtriusque simul, seu area huiusmodi trapeti aequatur facto ex --summa laterum parallelorum fi CD -- fi ducta in altitudinem AE, vel D. 496. COROL . s. Quoniam Polygonum quodvis regulam constat tot aequalibus , et aequo altis triangulis , quo sunt latera 397 , vinma omnium triangulorum , adeoque aro eius .

modi polysoni aequatur facto ox dimidio omnium Basium, seu ex dimidia polygoni perimetro incommunem triangulorum altitudinem, seu in Perpendiculum e centro ad latus quodvis de

497. COROLL. 4. Cum ergo circulas quiuis sit polygonum regulare infinitorum laterum. in quo perpendiculum e centro ad latus demssum sit ipso radius a), area circuli aequatur facto ex dimidia peripheria in radium, vel ex paripheria in dimidium radium; et area a ictoris circuli aequatur facto ex dimidio arcu sectorem terminante in radium , aut ex dimidio

radio in eum arcum. 498. Conon L. s. in area circuli aequalis est areae trianguli habentis pro basi rectam aequalem peripheriae circuli, pro altitudina autem eiusdem nidium 494 4 et area sectoris aequalis est areae trianguli eandem habentis ab

308쪽

eui sectorem terminanti. 4- COROLL. 6. Figura quaeuis reminea resolui potest in mera triangula hinc area mgurae inuenitur, si area omnium triangulorum seorsim inuentae in unam summam cogantur. Scuot TON. Quemadmodum lineas metimur

lineis, ita superficies metimur superficiebus quarum magnitudo nobis sit cognita, e g. unius perticae, edis digiti etc. Est autem superficies unius perticae, pedis, digiti em eiusmodi spatium, cuius tam longitudo , quam latitudo unam perticam pedem, digitum etc. contineat, quod quidem facile adparet esse quadratum. Hinc areas cuiustiis magnitudo tot e. g. pedum qu dratorum esse dicitur . quot elusinodi quadratisi is sa pereecto contegi potest. Ita area parallelogram-- AD, si AE num pedem designet, exi dum quadratorum esse dicitur, quia impositis sex pedibus quadratis, qualis est AI perfecte comtegitur. Vndo si tam basis, quam altitudo p.rallelogrammi dividantur e g. in pedes, et Persingula diuisionum unius puncta ducantur alteri parallelae, formabunt hae tot serie edum qu dratorum , quot pedes stant in altitudine; et inquavis serio tot erunt pedes quadrati, quo P des nint in basi Vt adeo numerus pedum in inbtudine contentorum ductus in numerum pedum haseos exprimat numerum pedum quadratorum

in area contentorum. oo. PROBLBria. Dat enim γυλιαν-- aquais quadratin construere.

309쪽

GEOMETRr AB aes RasoLVT. Inter altitudinem , quae sit aot tam is dati parallelogrammi quaeratur media proportionali - ar), erit a m

rallelogrammi 494) ergo m est latus quadrati

eidem aequalis. so I. PROBLEMA. Dato trianguo aequale quadratum eo ruere. RusoLVT. Inter dimidiam trianguli altitudinem fia, et basima quaeratur media proportio natis, erit hes est autem lab area trianguli 493yi ergo mi est latus quadrati ei jem

aequalis. soa. PROBLEAE A. Datae aluis figurae rectis ea aequale quadratum construere. REsoLVT. Transformetur data figura in a

quale triangulum 30ib, et huic construatur aequale quadratum sol)

so 3. PROBLEMA. Dato circulo aequale quadratum construere.

RasoLVT. Intor dimidium circuli radium riet Peripheriam ρ quaeratur media proportionalis . . erit ut .m' est autem Ar area circuli 497 i ergo m est latus quadrati ei m aequalis. Sc HOLION. Dissicultas omnis in quadrando circulo huc demum recidit, ut inueniatur accurata ratio inter diametrum , et peripheriam circini, qua inuenta , et data diametro utiqus reperiri posset linea recta peripheriae accurate aequalis, ac proinde ope praesentis problema' eis posset construi quadratum circulo perfecto aequale , quod esset quadrare circulum. Ea

310쪽

so E M Aratio iam olim a veteribus inuestigata fuit ope Polygonorum regularium circulo inscriptorum, et circumscriptorum, quorum perimetri tanto magis accedunt ad circuli peripheriam, quanto magis crescit numerus, et decrescit magnitudo laterum. Et Archimedes quidem hac via d. Prehendit eam rationem esse fer ut s; at ea accurate nunquam fortasse inuenietur, etsi etiam iuueniretur , ni haud magno esset Propter ingentes numeros, quibus exprimeraetur. Ea , quammelius reperit , nempe ut 113 355 adeo ad Veram accedit, ut in peripheria, cuius diameter semialteram leucam Continet una linea b aberret quare in circiniis minoribus auem uti tuto licebit.

De campararione super ierum.

5o4. I unona OA Area quoraemis parallelmi grammor- in ratione composita ba-I . et altitudinum. DBmoNSTR. Sint enim eorum altitudines Am a bases Bistis, erunt areae ut A AB aκ, 404 est autem haec ratio composita ex Ae

s 5 Corio a L. T. Si ergo bases aequales sint erit ARB: κb- A a si altitudines aequales sint, arit ARB: κὲ-B b imo,