Compendiaria matheseos institutio: quam in usum auditorum philosophiae

331쪽

mul, quorum omnium axes smul aequales sunt diametro sphaerae s 75). Sit ergo unus eiusmodi conus BDO, ΜΝ radius sectionis, cuius peripheria sit media arithmetice proportionalis inter peripherias basium coni erit iupsrficies

Ducta perpendiculari BG similia erunt triangula BD , Μ ob angulos ad G et Ν rectos, et ad C et D aequales; nam angulus BDG seu. ΒΜΝ habet pro sua mensura arcum A 3 o . quem etiam habet angulus C: ergo BG seu AE

BDO a latur psipheriae circuli maximi, cuius nempe radius est ΜC, ductae in eius axem AR igitur superficies omnium siusmodi conorum, seu totius sphaerae aequatur peripheriae circuli maximi ductae in omnium axem siue hyadiametrum sphaerae. 579 COROLL. r. Est adeo *haerae superficis quadrupla circuli eiusdem maximi. Nam si dimoto sphaerae dicatur , peripheria circuli maximi si erit superficies sphaerae ld.

area circuli maximi aps 497 . Cum ergo

areae cirpulorum snt ut quadrata radiorum, vel diametrorum fra . in eadem ratione sunt etiam 'phaerarum superficies. 58O COROLL. s. Superficies sphaerae aequatur conuexae stiperficiei cylindri habentis Pro axe diametrum sphaerae, et pro basi circulum eiusdem ma num Nam posita diametro sphaerae et ita, et peripheria circuli maximi agm

332쪽

p, em superficies eiusmodi cylindrim θ sso), et superficies sphaerae itidem αα Φ 578 Si

ergo ad eius cylindri conuexam superficiem addantur bases, tota cylindri superficies continebitis circulos sphaerae maximos, et phaerae superficies continebit 4 erit ergo illa ad hanc

trunci sphaerici duobus planis paranesis comprehensi MDdm aequatur facto ex eiusdem ab titudinem in poripheriam circuli maximi. Superficies item convexa segmenti phaericinam aequatur facto ex eiusdem altitudine Amin poeripheriam circuli maximi. 582. COROLL. . Sunt ergo segmentorum eiusdem sphaerae superficies ut eorundem altitudines apo). Quare dato sphaerae radio essegmenti altitudine inuenitur eiusdem superficies inferendo ut radius ad segmenti altitudinem, ita dimidia sphaerae superficies seu mplum circuli maximi 5700 ad ment superficiem ii 5 83. THEORRNA. Solidita ovium sphaerae aequatur tertiae partifacti e sve eis eiusdem in radium.

DEMONs TR Sphaerae enim soliditas coalescit ex innumeris superficiebus sphaericis con-Centricis, quarum radii a cenim inchoando constituunt seriem numerorum naturalium Osrso; cum ergo ea superficies sint ut quadrata radiorum 479 , erunt in oris quadratorum numerorum naturalium ae proinde summa eorumdem rite exhibetur per summam seriei quadra.

333쪽

summa aequalis tertiae parti facti s quadrato ritimo in numerum terminorum a670 ergo cum in hac superficierum concentricarum seris terminus ultimus fit ipse sphaerae superficies, et numerus termin' rum ipse radius, 'soliditas usuis sphaerae aequatur tertiae parti facti esuperficie eiusdem in radium. 584. COROLL. . Sphaera ergo aequaturcon , aut pyramidi, cuius altitudo sit radius sphaeras basis autem quadrupla circuli maximi,

seu superficies sphaerae seto 573)5 8s. COROLL. a. Quoniam superficies

sphaerae est quadrupla circuli maximi 5793, si is circulus ponatur m e diameter spha aB - d, erit sphaerae soliditas αὐ-d, 4 α με 586. COROLL. 3 Mare si cylindro, Quius aris, si diameter basem sit aequalis diame rosphaentes, cogitetur in ripta sphaera, Mimvis rectus, erum horum trium corporum soliditates ut 4 ride, de re ut is a I. 587. COROLL. . et cylindri recti, et sphae ras eidem inscriptas tam stiperficies, quam siliditates sunt, sso . 588. costo LL. 5. Hemisphaerium AFD du sit. Num est coni AFDisai dsm basim et altitudinem habistis. Nam homisphaerium aequatur inno habenti pro basi eiusdem superficiem , seu duplum circuli niaximi, et pro altitudine radium

s84, in autem is conus ad hunc, ut basis diasimis et i , seu ut duo circuli maximi ad

unum.

334쪽

89. PROBLEMA. Immis soliditatem sectoris Iphaerici Cala.

RasoLvae Instituatur haec proportior, o habet superficies sphaerae ad eiusdem soliditatem, ita se habet superficies sectoris inuenienda per , 581 ad eius soliditatem. Sphaera enim et sector aequantur duobus conis eandem habentibus altitudinem 584) quare eorum so-

Iiditates sunt ut bases 57 r), seu ut 'haerae

et sectoris superfici . . 59O COROLL. Si a sinore tollatur con

Cabde relinquitur soliditas segmenti sphaerici d. Huius autem coni altitudo habetur si a radio sphaerae s d matur segmenti altitudo. r.

SCHOL TON. Quemadmodum superficies metimur superficie quadam quadrata ita soliditatem corporum mensuramus solido quodam cubico, totque perticarum pedum , dio rum etc. cubicorum dicimus esse volumen corporis, quot eiusmoc cubi intra eius misitum possunt contineri. Porro in quovis solido secundum tri; nam dimensionem possim concipi id genus embi nempe secundum baseos longitudinem tot possunt collocari in quavis serie e g. pedes et vici, quot pedum est ea iungitudo secundum latitudiisem autem baseos, et secundum solidi altitudinem tot possunt esse itismodi cuborum series quot ea latitudo ac altitudo continet

pedes. Nimirum si in aliquo prismate quae drangulari longitudo hasis si s pedum, latitudo . altitudo , erunt in quavis serie secum dum langitudinem baseos s pedes cubici se ries autem in basi ipsa , secundum altitudinem

335쪽

s numerabuntur constabit orgo prima niue is podibus cubicis sκ4κ8- 16O.

'm, et astitudinum. Duae sin. Si enim altitudines eorundem dicantur inset a. bases B et b, erunt eorum m

etatici in composita e rationibus A a, 592 COROLL. a. Cum ergo pyramis-sit tertia pars primatis, cosmicylindri eandem b sim, et altitudinem habentis 47 a) etiam pyramidum et conorum sesiditates sunt in maem ratione composita aro). 593. COROLL. s. Si ergo altitudines amquantur, basiuus si balas, altiaudinum rationem habent u59 . COROLL. 3. Si altitudines fuerint ba, fibus ieciproco proportionales, recensit solida aequalia sunt, et Contra. 595. Solida nasia dicimus, quas angulos solidos correspondentes aequale habent et toti dent planis sibi mutuo similibus terminantur. MO COROLL. x. Ergorin solidis similibus quaevis homologa planorum correspondentium latera proportionalia sunt, cum sint latera homologa figurarum similium.

336쪽

' sp. COR, . . Eadem plano ratisne in

stenditur idem theorma obtinere etiam in promidibus similibus: COROLL. a Cumque hases sint figinrae miles s s), erunt earum perimetri viduo qtaeuis latera homologa ac prin inde ut primatum , vel pyramidum aritudi

ω,: Co Roth. s. Quare curae cylindri similas fini primata similia, et con sinulas sint Pyramides miles infinitorum lastrum. horum etiam altitudines stin ut periphoriam ac proin-d ut radii basium 44s 66 a Cono in. 4. Superficies prismatum, aut pyramidum similium iunt, qua draia quo

337쪽

rumvis laterum homologorum sor) ergi, vitiam ut quadrata altitudinum 5, 8 .6o3. COROLL. 5 quia ergo cylindri similes ad prismata similia, coni similes ad pyramides similes feruntur, horum etiam superficies sunt ut quadrata altitudinum, adeoque etiam ut quadrata, radiorum binum coi , vel ut ba

mologorum.

6os. COROLL. I. Eadem plane est demonstratio pro pyramidibus similibus. 6O6. COROLL. a. Cum ergo cylindri primmatis similibus, coni pyramidibus accenseantur, etiam horum soliditates sunt ut cubi altitudinum, ac proinde ut cubi radiorum basium 6oi).6o7 THRORRHA. Soliditates sphaerarum sunt me ubi radiorum, mel diametrorum. Da ΜοNsTR. Sint enim duarum sphaera n diametrii stri circuli earundem maximi Get

Finis Elementorum Geometrisse.

338쪽

De sectioiabus emisis ad axe relaetis. LM e sinpulis curuae cuiusdam punctis κ

ducantur perpendiculares m Mad rectam quampiam ΑΒ positione datam item aliae rectae ΜF, m ad punstum aliquod F extra rectam AB situm, moritque constanter PM - - m M. eiusmodi curua sectis ematica adpellatur. Speciatim vero sectio conica vocatur parabola, si fuerit m -- - allit a 4 Μ MD peristis in m. R cta AB dicitur di rix, punctum F focus, ratio FΜ - ratio determinans, quia nempe haec determina speciem sectionis conicae.

339쪽

6 9 COROLL. 1. Quoniam ergo rectae FΜet, vel aequales inter se sunt, vel illa hac minor, vel maior est, sectio omnis conica vel parabola, vel ellipsis, vel hyperbola est. 6IO COROLL. a. Quodsi e punctis Μ et mroctae ΜΗ et ria ad directricem ΑΒ obliquae ducantur sub aequalibus angulis mech, sitque - - - ΜΗ mh, curua erit hoc ipso sectio Conica: nam demissis perpendiculis, et, ob similia triangula ΜΗD, h erit ΜΗ infici: ΜD mur ergo etiam erit FΜ Μ αα Fm:

6 II COROLL. 3. Si directrix AB infinito remota concipiatur, ita ut D sit --, erit MDisi miliasu , et hinc Μ ergo sectio conica abibit in circulum, et focus Winelusdem centrum. SCHOLION. Curvae hae idcirco vocantur sectiones conicae, quia e cono utcunque non perverticem secto nascuntur. Speciatim autem

Parabola nomen accepit ab ea aequalitate, quam inter se habent rectas κε Μν ollipsis ab eo defeetit, quo Μ deficit ab D hyperbola ab eo excessu, quo Μ superat rectam aquanquam vocabulorum horum origo pluribus ex capitibus repeti potest, quemadmodum in lamentibus adnotabimus.

6 I a. non LEMA. Datis foco, directricis po Fig. s.fitione, et specie urnae, Aectionem eoniram deveri Loo, . r.

Rasotivae Per datum focum F ducatur recta, directrici ΑΒ perpendicularis , circa quam utrinque fiant anculi ἔκὴ χω aequales,

340쪽

sis in Fig. oo vel maiores, si hyperbola in Fig. ori Deinde per focum F ducatur recta Tt faciens cum ΗΛ angulum hin semirectum, cui si aequalis fuerit internus hini, rectae Tt, Iserunt parallelae, Ut in Fig. 99. Si minor, Concurrent inferne in , ut in Fig. roo. Si maior, concurrent superne inu, ut in Fig. 1o1. Perpunctum L ducatur recta in ac per punctum recta in directrici AB parallela: erunt puncta Μ et misertices sectionis conicae. Quodsi per quaevis alia puncta rectae in plures id genus parallelae ducantur e g. vV, Q etc. Cum in triangulis is, in anguli ad F sint recti, et ad E ex constr aequales, aequalia erunt ipsa triangula 377). et hinc FV - Fui eadem de caussa Μ - ΜΝ, - - mn, OR M. Denique centro F apertura RQ velino resecentur in recta O puncta Reto, idemque fiat in quam plurimis parallelis erit curua per haec puncta ducta lactio conica petita.

DB MONsTR. Cum enim ex consu angulus

EF ac proinde etiam eius verticalis LVM semirectus sit, erit etiam FLΜ semirectus 36a, hinc FΜ-α--ΜΝ 369). Est vero in triangulis similibus ΜΝ et ERQ, ΜΝ M- ΕΜ ER, ergo pro ΜΝ ponendo Μ, et pro ER rectam PD 3o80, simulque alternam do erit Μ ΕΜ- RQ seu ex constr. P: PD quare curua erit sectio conica 6o8 . Iam si angulus m semirectus sit, erit etiam MNE semirectus, et hinc ΜΝ seu FΜααm,