Compendiaria matheseos institutio: quam in usum auditorum philosophiae

321쪽

o R. 317 qui omne polygonum minimum trium debet esse laterum ergo. 539. COROLL. s. Summa angulorum Pla--91.norum unum solidum constituentium minor esse debet quatuor rectis. Si enim angulus sol, lus A versus basim complanari debeat, necesse est aperiri latus aliquod e g. AD, Vt nempe Egura anguli solidi abeat in planam, in qua omnes anguli plani solidum constituentes una cum apertura noua A faciunt quatuor rectos Capi) quare sine illa apertura, seu nouo angulo accedente quatuor recti minus continere

debent, id quod ope anguli solidi s charta eL formati facilius intelligitur.5 o. Solida superficiebus planis terminata generatim postedra dicuntur speciatim vero te-

reaedra, pentaedra, exaedra etc. a numero plano-xum, quibus terminantur. Porro solidorum,

Inmen aut soliditas est ipsum illud spatium, quod implent, atque superficie sua concludunt. Quos 1 solidorum anguli e totidem aequalibμ planis angulis generentur, et plana terminantia sint: Polygona regularia, et aequalia eiusdem speciei. erunt polyedra pia regularia.

543. Hamuam A. Quinque tantum possunt haberi pol isa exudaria tria nimirum eminata Diaangulis aequititeris , num quadratis, num peruag

DEMONsTR. Inter polygona regularsa Primum occurrit triangulum aequilaterum cumeri quiuis trianguli aequilateri angulus conibnea oo' seto , tres simul continent 38o', quatuor 24o', quinque 3oo ex his ergo gin

322쪽

nerari potest angulus solidus, non stem e plutl-hus, qui iam ad 36o'. et vltra assurgunt fav)iquare tria tantum polyedra possunt terminari triangulis aequilateris, nimirum tetra rum o-etaedrum, et icosaedrum, seu vigint angulorum.

a inter polygona regularia post triangulum

aequilaterum sequitur quadratum, cuius angu-1us rectus est, ac proinde nonnisi tres id genus anguli possunt conflare,num solidum cit.): hinc unicum polyedrum potest terminari quadratis nempe exaedrum, seu cubus.

a Quivis pentatoni regularis angulus continet Ios' ergo tres tantum eiusmodi anguli possunt constituere solidum Ccit quare ni- cum duntaxat polysdrum potest haberi pentagonis regularibus terminatum, scilicet dodecadidrum, seu a angulorum. Reliquorum polygonorum regularium vel tres anguli quot tamen requiruntur ad effora mandum solidum iam assurgunt ad 36o', vel Vltra quare ecus nequit generari angulus inlidus, adeoque nequit dari pol drum aliis polygonis regularibus terminatum: ergo tantum quinque memorata possunt haberi. α 54s. Si polygonum quodcunque AB concipiatur moueri motu continuo, et paralleloiuxta rectam quampiam Aa, donec perueniat ad situm abe, generabitur solidum, quod prima adpellatur. Recta,m basium centra connectens axis prismatis diciti r estque aequalis, et parallela lateribus Aa , Bb, Ce ex ipsa prismatis genesi. Recta quaevis C Itona basi ad alteram perpendicularis prismatis astitudo est.

323쪽

543. COROLL. 1. Prisma ergo restiun est. si linea directrix Aa ad polygonum genera pinpendicularis fuerit; secus obliquum erit.

544 COROLL. a. In motu Polygoni gen rantis quodvis latus AB, AC, BC describit parallelogramma Ab Be Ae 49 a), a Ver parallelogrammum simul constituunt primati m. perficiem demtis basibus, eandemque habent altitudinem. 545. COROLL. 3 Singula plani generantis vestigia, seu prismatis elementa sunt polygona similia, et aequalia. 546. COROLL. 4. Ititudo prismatis recti est ipse axis Altitudo porro generatim e Primit numerum elementorum parallelarum solidum constituentium est enim altitudo distantia basium oppositarum , inter quas utique nequeunt plura comprehendi elementa, quam sint puncta in recta distan iam earundem metiente. 547- OROLL. 5 Si in polygono generam te numerus laterum infinite crescat, ac magnitudo infinite decrescat, polygonum abit in circulum, et prisma in e litarum, qui proinde est prisma rotundum, seu infinitorum laterum infinite paruorum. Quae ergo hactenus de prismate dicta sunt, etiam in cylindrum valent. 548. COROLL. . Gignitur adeo cylindermotu parallelo circuli genitoris, cuius peripheria generat conueXam eiusdem superficiem. SCHOLION. Prismatiim diuersa sunt genera Pro numero laterum pblygoni generantis alia nempe dicuntur triangularia, alia piadrangularia,

alia pentagona, etc. Quodsi basis sit parallelo

324쪽

grammum, Prisma nuncupatur paratisisFμ asin autem quadratum fuerit, et axi prismatis recti eiusdem quadrati lateri aequalis radius di

citur.

549. THEOREMA. Superficies cuiusuis nis- .atis seeluis uisus es factum ex perimetro basis , seu ροθνη generastis in auitiataeae. DamorisTR. Prismatis enim superficies coalescit e tot aeque altis parallelogrammis, quot sunt baseos, seu polygon generantis latera s4 λ; ea vero parallelogramma iunt facta ex basibus, seu ex perimetro Polygoni generantis in communem altitudinem 494).55O COROL . . Cum ergo cylinde sit prisma infinitorum, ac infinite paruorum lat rum s 47), eius quoque superficies est factum ex peripheria baseos in altitudinem. 55 I. COROLL. a. Batet adeo methodus dati prismatis, Vel cylindri siperficiem mmtiendi. 55s COROLL. a. Quod si altitudo cylindri aequetur diametro baseos, eius convexa su perficies erit quadrupla baseos. Si enim diameter baseosit -d peripheria p, erit Con

553. THEOR Bria Soliditas euiusvis Wiam fis ae natur facto ex bas, seu postram genera Me in

altitudinem. Damons TR Prisma enim coalescit e tot Polygonis bamaeDalibus quot sunt puncta alibtudinis 445 54 Vnde soliditas eius gigni

tur, dum hasis generans toties Ponitur, quot

325쪽

habet avitudo puncta, seu quum basis ua altilindinem ducitur.554. COROLL. . Cum cylinde sit e ge-sere Prismatum 547 , etiam cylindri cuiusuis soliditas aequatur facto e basi genitrice in altitudiciem. 555. COROLL. a. Patet eri modus prismatis, aut cylindri soliditatem inuestigandi. 556. COROLL. 3. Prismata vel cylindri eandem basim et altitudinem habentia aequa lia sunt. ss7. Si polygonum quodcunque ABC iux Fig. 3.ta rectam quampiam Ammotu Continuo es parallelo ferri concipiatur, ita ut post singulos progressus momentaneos quodvis eius latus decrescat parte sui infinitesima, ac in apice Devadat infinite paruum, seu abeat tu punctum, nascetur solidum, quod adpellatur pyramis, cuius basi ost illud ipsum polygonum generans, ve te punctum supremum D auiiud recta e e tico ad basim perpendicularis , axis recta Descentrum baseos cum Vertice coniungens. Quodsi motus polygoni sisti concipiatur, priusquam latera in punctum abeant pyramis erit truncata basibus supra, et infra parallelis. 558. COROLL. 1. Quando polygohum hunc in modum mouetur, singula eiusdem latera AB, AC, O generant totidem triangula ABD, ACD, BCD aeque alta, quae simul sumta pyramidis superficiem constituunt demta basi. 559 COROLL. a. Si aucto in infinitum ninmero, ac diminuta quantitate laterum, polygo num generans abeat in circulum, pyramis abi'R P. Mati Mathes X

326쪽

hit in ci-m, qui proinde est Pyramis rotunda,

seu infinitorum laterum. 56o COROLL. 3. Pyramis, aut Conus rectus vel obliquus est, prout linea directrix, iuxta quam basis moueri concipitur, fuerit ad planum baseos perpendicularis, Vel obliqua. 561. COROLL. . Conus praeterea truncatus gignitur, si trapezium habens latera oppomta inaequalia . et ad vanian latus perpendicularia circa illud latus conuerti concipiatur. 56s. THEOREΜA. Superficies lyramidis resae demta basi aequata facto ex semperimetro assos iurectam e lenire ad quodvis baseos latas perpemac

larem.

DEnoNsTR. Constat mim ea superficies totidem triangulis e us altis, quot in basi gendirante sunt latera 558), haec autem omnia ubangula aequantur facto ex dimidiis omnium basibus, seu ex semiperimetro baseos pyramidis in communem eorundem altitudinem, seu inuinctam o vertice ad quodvis baseos latus Perpem dicularem 493)563. COROLL. I. Quoniam conus est pyramis infinitorum laterum, in quo perpendicu lam e vertice ad quodvis latus baseos demissum incipium latus coni s su), superficies cinni recti demta basi aequatur facto ex lamiperi phoria baseos iu latus coni. 564. COROLL. a. Perspicua ergo est ratio Pyramidis, vel coni recti superficiem metiendi. ScΗoLIon. Si pyramis recta non fuerit, sim gula triangula stiperficiem eius constituentia orsim erunt metienda, et in unam summam ad

327쪽

denda. Coni obliqui stiperficies ad calculum vocari hactenus non potuita 565 THao RaisA. Superficies cori recti es ad arem baseos, it latus eis ad radiam Minos. DamoNsTR. Sit enim latus coni metu, pes Pheria haseos rudis radius et s. erit superficies Coni ad aream baseos ut 4Φ, Φr m eti: ἐν-

566. THEo Ram A. verseter eoni recti a Mais circulo, uisbaa medius propina malis e latas rani, et radiam baseos. Dae ΜΟΜsTR. Sit enim superficies coni et carea dicti circuli et a radius eiusdem --, P ripheria αα latus coni Hi, radius baseos radir, peripheria radio, eritis I eum est vero ex hypothesia: αα - να- .rp

4 s)i ergo premum so a), et hinc cum a. 56et. ΗΒ is a is, Superficies 'ramidis rectae ιν curae bases parassius Missus seelnsis sessus a quatur facto ex semisumma perimetrorum baseum iam udi tum inter duo baseam latera opposita interre

-DRαONsTR. Nam ea superficies coalescit oto trapeziis bases parallelas, et eandem altitudinem habentibus, quot sunt basium pyramidis latera atqui area omnlium horim trapariorum aequatur facto o semisumma latorum paratia-lorum, seu perimetrorum basium an ocimmunem

altitudinem, siue in perpendiciarum initer duo quaevis basium latera interceptum M'.

568. COROLL. I. cum ergo conus illuncatus ad Pyrantidem truncatam referatur, conitruncati recti superficies demtis basibus aequa-X a

328쪽

tur semisummae peripheriarum basium inacta in latus coni eiusdem. 569. COROLL. s. Quoniam semisumma perimetrorum basium oppositarum aequatur peri- metro, quae sit inedia arithmetice proportionatis inter perimetros basium Catar), superficies id genus pyramidis, Vel coni aequatur facto e perpendiculo inter duo quaevis basium oppossetarum latera intercepto, aut e latere Coni truncati in perimetrum, quae sit media arithmetice Proportionalis inter perimetros basium. 57o. ΗBORBαA. Soliditas euiusvis diramidis 4 intia pars facti ex o in hirudinem. DBΜONSTR. Quaevis enim pyramis constat infinitis polygonis similibus, quorum latera in choando a vertice continenter una parte instillesima crescunt, ac proinde numerorum naturalium Progressionem constituunt s57ὶ ipsa autem illa polygona, cum sint, quadrata laterum homologorum si o), constituunt seriem quadratorum numelorum naturalium hinc eo rum summa , seu pyramidis soliditas rite exhi-hetur per silmmam serie dictorum quadrato rum est Vero ea summa aequalis tertiae parti facti ex quadrato ultimo in numerum termino rumis67 quare cum in serie hac polygono rum terminus ultimus sit ipsa basis, numerus

Polygonorum ipsa altitudo s46), soliditas

Pyranudis Quiusuis est tertia pars facti ex illa altitudinem. 571. Conon L. I. Cum ergo conus sit py rimis infinitorum laterum eius quoque soliditatast tertiat pars facti ex basi in avstudinem.

329쪽

Ἀ- COROLL. a. Vnde pyramis est tertia pars primatis, comis cylindri eandem basim,

tr 573. COROLL. . la promtu ergo est' modus1soliditatem data pyramidis, vel conicimveniendie Quod pyramis, aut onus truncaeus: sit, tollenda est ex integri soliditate partis reinctam Miditas et restabit soliditas trunci. 574. COROLM 4 Pyramides aut coni ae qualem habentes basim et altitudinem aequales

s s. Duplex potest esse globi genesis DFig. 4.

Si semicirculus ἐπι spe tur tanquam imbinum polygonum infinitonim laterum Am, M sto ac e singulis angulis, b c etc. demit-etantur mi diametrum perpendiculares A, Min eicia area semicirculi abibit in infinita tra Pestias A. M- sic qua in ea reuolutisam gignent totidem conos truncatos 56O in me erunt portiones diametri AN, NN, No eis quique tanquam totidem elementa ge--rabunt solidum, quod1phaera, seu globus ninsalisisti cuius axis Usticliameter AG. 3ntra genitorem: semicirculum ABDO evncipiantur tot duci semiperipheriae mucentricae quot simi puncta in radio Ao, laeta re-umlutione haes semperipheria gignent totidem superficies sphaericas, seu crustas infinite tenues, e quibis tota phaerae soliditas coalescet, et quarum radii a centro inchoando erunt in pro

gressione numerorum naturalium.

330쪽

Fit si Dareo NSTR. Si enim sectio transtri Mein trum C, ductis per c ntrum C rectis AD MAEEPatet recto CA, CB. φ, si fore rimos

sphaerae, atque adeo inter se a hales quam sectio per puncta A, B, D. si transiens erit circulus. Si Hro sectio sis per centrum non transeat, erigator ad eius planum erosnero sphaerae perpendicularis Ce occurrens eidem inpuncto , ex quod ducanitur rectae ad et bi dismet tro C sinao G. . G, erit e perpendicularis ad rectas is et M siet) Iam in. triangulis re neu

liter Histant a puncto c. ac proinde planum ctionis ita, o circulus.

577. COROLL. Facite adparet cincultam sphaera maximum esse, cuius planum percentrum sphaerae transit ceteros eo minor s,quo magis recedunt ab eodem , Crinunt enim e rum diametri, quae sunt chbadae circuli maximiis a 578. THEORE HA. apesistes miss- spha rae es auis facto ex peripteria reui maximi iussim

metrum.

Fig. 9S DBαo Nis R. Sphaerae superistes coalescite superficiebus infinitorum conorum trunmt