Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

발행: 1797년

분량: 358페이지

출처: archive.org

분류: 수학

101쪽

81 DE QUANTIT ATIBUS

LIB. I. numerus, quorum incrementum annuum tantum centes matri

' partem essicit, decuplo major ; hinc post q62 annos fiet centies , & post 693 annos millies major

EXEMPLUM II. Quidam debet goo ooo florenos hac conditione ut quota nis usuram s de centenis solvere teneatur ; .exsolvit autem singulis annis Σ3ooo florenos : quaeritur post quot annos debitum penitus extinguatur. Scribamus a pro debita summa o oo ct

102쪽

EXPONENTIALIBUS AC ίOGARITHMIS. 83

nor quam 33 ; scilicet elapsis annis 33 non solum debitum e tinguetur , sed creditor debitori reddere tenebitur ' in b

33 annos restituere debet 3I8 - florenos. IIχ. Logarithmi autem vulgares super hasi - 1o instructi , praeter hunc usum , quem Logarithmi in genere praestant, in Arithmetica decimali usu recepta singulari gaudent commodo , atque ob hanc causam prae aliis systematibus insignem asserunt utilitatem. Cum enim Logarithmi Omnium numerorum , Praeter denarii Potestates, in Fractionibus decimalibus exhibeantur, numerorum inter I & Io contentorum Logarithmi intra limites o & I . numerorum autem inter Io & Ioci contentorum Logarithmi inter limites I & 2 , & ita porro , continebuntur. Constat ergo Logarithmus quisque ex numero integro & Fraotione decimali ; & ille numerus integer vocari solet C M AB ACT ER ISTIC A ; Fractio flecimalis autem MANT Iss . Characteristica itaque unitate deficiet a numero notarum , quia hus numerus constat; ira Logarithmi numeri 78so9 Chara i Hilica erit ψ , quia is ex quinque notis seu figuris constat. Hinc ex Logarithmo cujusvis numeri statim intelligitur , ex quot figuris numerus sit compositus. Sic numerus Logarithmo 7, 38o 63I respondens ex 8 figuris constabit. II 3. Si ergo duorum Logarithmorum Mantissis conveniant, Characteristicae vero tantum discrepent, tum numeri his Loga-

103쪽

8 DE QUMNTITATIBUS

LIB. I. rithmis respondentes rationem habebunt, ut Potestas denarii ad unitatem , ideoque ratione figurarum , quibus constant, convenient. Ita horum Logarithmorum, , 9I3o 187&6, 913OI87 numeri erunt 8I8ueo & Si Sue ooo ; Logarithmo autem 3, 913o187 conveniet 8 I9s , & Logarithmo huic o , 9 ISOI 87 convenit 3 , 18s. Sola orgo Mantilla indicabit liguncis numerum componentes , quibus inventis , ex Chara fieristica patebit, quot figurae a sinistra ad integra reserti debeant, reliquae ad dextram vero dabunt Fractiones decimales. Sic , si hic Logarithmus fuerit inventus 2, 76o3 29, Mantissa indicabit has figuras 17 89 s, Characteristica χ autem numerum illi Logarithmo respondentem determinat, ut sit sis , 89 3 ; si Charaeteristica esset O , foret numerus 3, 7s D s ; sin denuo unitate minuatur ut sit - I . erit numerus respondens decies minor, nempe o, 37389 s ; &Characteristicae - et respondebit O , o 37389 3 &c.: loco Characteristicarum autem hujusmodi negativarum - I, - 2, - 3Sc. scribi solent 9, 8, 7, &c., atque subintelligitur hos Loga. rithmos denario minui debere. Haec vero in manuductionibus ad tabulas Logarithmorum fusius exponi solent.

Si haec progressio 2, 4, 16 , 236, &c., cujus quirique terminus es

quadratum praecedentis , continuetur usique ad terminum vigesimum quintum ς quaeritur magnitudo huius termini ultimi Termini hujus progressionis per Exponentes ita commodius exprimuntur: 2',2',2', Σ', &C. ubi patet EXponentes progressionem ge0- metricam constituere, atque termini vigesimi quinti exponentem fore Σφ' I 67772I6 , ita ut ipse terminus quaesitus sit 'β777- si , hujus ergo Logarithmus erit I67772I6. IMCum ergo sit lχ o, 3o Io 2999s66398II9s , erit numeri quaesiti Logarithmus oso q3,23973367, eX cujus Charaoteristica patet numerum quaesitum more solito expressum constare Diuitiaco by Gorale

104쪽

EXPONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS. 8 s

ex soueo o figuris. Mantissa autem a. 973367 932 in ta- CAP.ULhula Logarithmorum quaesita dabit figuras initiales numeri quar- siti, quae erunt 18I818. Quanquam ergo iste numerus nullo modo exhi heri queat, tamen affirmari potest eum omnino exue oso 46 figuris constare, atque figuras initiales sex esse I 818 8, quas dextrorsum adhuc so o o figurae sequantur , quarum insuper nonnullae ex majori Logarithmorum canone definiri possen , undecim scilicet figurae initiales erunt 1818s 831986

CAPUT UII.

De quantilatum exponentialium ac Logarithmorum per Series explicatione. II . Qui A est a' - I, atque crescente Exponente ipsius a simul valor Potestatis augetur , si quidem a est numerus unitate major ; sequitur si Exponens infinite parum cyphram excedat, Potestatem ipsam quoque infinite parum unitatem esse superaturam. Sit vi, numerus infinite parvus , seu Fractio tam exigua , ut tantum non nihilo sit aequalis, erit a' - 1 - - ψ, existente ψquoque numero infinite pari O. Ex praecedente enim capite constat nisi ψ esset numerus infinite Parvus , neque α. talem esse

posse. Erit ergo Vel , Vel q/ , vel ψ , quae ratio utique a quantitate litterae a pendebit , quae cum adhuc si incognita , ponatur a, , ita ut sit a' - ι - ω ς& , sumta a pro basi Logarithmica , erit αν - l I in λα, .

Quo clarius appareat, quemadmodum numerus E pendeat ahasi a , ponamu esse a IO . atque ex tabulis vulgaribus quaeramus Logarithmum numeri quam tautae unitatem sup Diqitigod by Corale

105쪽

8s DE QUANTITATUM EXPONENTIALI

-- χ, 3o218 : unde patet E esse numerum finitum pendentem a valore basis a. Si enim alius numerus pro hassi astatuatur , tum Logarithmus ejusdem numeri I in k Λ, ad priorem datam tenebit rationem, unde simul alius valor litterae prodires. 11s. Cum sit H-I Φ kαν, erit a I - - ω ) , quicunque numerus loco i substituatur. Erit ergo a i 4.

Quod si ergo statuatur i S, & r denotet numerum quemcunque finitum , Ob ω numerum infinite parvum , fiet i numerus infinite magnus, hincque ω - - - , ita ut sit Δ, Framo den minatorem habens infinitum, adeoque infinite par a , qualis est assiimia. Substituatur ergo i loco ω , eritque a 1 Φ

vera si pro i numerus infinite magnus substituatur. Tum vero est numerus definitus ah a pendens , uti modo vidimus. II 6. Cum autem i sit numerus infinite magnus, erit -- 2 I; Patet enim quo major numerus loco i substituatur, eo propius

106쪽

Ac LOGARITHM. PER SERIES EXPLICAT. gr

i sit numerus omni assignabili major, Fractio quoque - ii ipsam unitatem adaequabit. Ob similem autem rationem erit L U. - 1 ; -- - I ; & ita porro ; hinc sequitur fore

igitur valoribus substitutis , erit a in &c. in infinitum. Haec autem aequatio simul relationem inter numeros a & Ostendit, posito enim I ,

ut a sit - I. , necesse est ut sit circiter k - 2, 3o238 , uti ante invenimuM IIT. Ponamus esse b - a', erit, sumto numero a pro hasi Logarithmica, Ib - n. Hinc, cum sit b3 - a' , erit per S

litterae x dato valore basis a , quantitas exponentialis quaecunque per Seriem infinitam exprimi poterit, cujus termini secundum Pot2states ipsius r procedant. His expositis Ostendamus quoque quomodo Logarithmi Per Series infinitas explicari possinta I 18. Cum sit a I Φ hs , exissente es Fractione infiniis parva , atque ratio inter a & definiatur per hanc aequati h a' hanem a I in T in m ε ---&c., si a stimatur pro

107쪽

g8 DE QUANTITATUM EXPONENTIALI AM

Manifestum autem est , quo major numerus pro ι sumatur , eo magis Potestatem I - - ω unitatem esse superaturam ; atque statuendo i - numero infinito, valorcin Potestatis I ad quemvis numerum unitate majorem ascendere. Quod si ergo ponatur i Φ h ω *x, erit i I -dix iω, unde, cum sit iω numerus finitus, Logarithmus scilicet numeri I H-x, perspicuum est , ι esse debere numerum infinite magnum, alioquin enim iω valorem finitum habere non posset. 1 9. Cum autem positum si I - - λω I ε x, er i I 4.

denotante k numerum huic basi convenientem, ut scilicet sita I -- - - - - - - M.

ino. Cum igitur habeamus Seriem Logarithmo numeri 1 ε xaequallem , ejus ope ex data has a definire poterimus valorem numeri

108쪽

AC LOGARITHM. PER SERIES EXPLICAT 8;

cujus Seriei termini sensibiliter decrescunt, ideoque mox valorem pro h satis propinquum exhibent. . Quoniam ad systema Logarithmorum condendum B, sin a pro lubitu accipere licet, ea ita assumi poterit ut fiath - I. Ponamus ergo esse I , eritque per Seriem supra

Luteri Introduci. in Anal. insin. M

109쪽

ρο DE QUANTITATUM EXPONENT TALIUMLIs, J I 16 inventam , a - Ι - - - --ε ῖς ε πῖa Φ ας ,

qui termini , s in fractiones decimales convertantur atque aditi addantur , pr bebunt hunc valor2m pro a 2, 718231828. 39o 123 36o28 , cujus ultima adhuc nota v ritati est consentanea. Quod si jam ex hac basi Logarithmi construantur , ii vocari solent Logarithmi naturales seu hype bolici , quoniam quadratura hyperbol e per istiusmodi Logari thmos exprimi potest. Ponamus autem brevitatis gratia pronum uro hoc Σ, 7I828I328 19 &c. constanter litteram e , quae ergo denota hii hasin Logarithinorum naturalium seu imperbolicorum , cui respondet valor litterae I ; sive haec littera e

quoque cxprimet summam hujus Suriel 1 ε in i

I 23. Logarithmi ergo hyperbolici hanc habebunt propri tatem , ut numeri I eo Logarithmus sit - ω , denotante ω quantitatem infinite par am , atque cum ex hac proprietate valor I innotescat, omnium numerorum Logarithmi hyperbolici exhiberi poterunt. Erit ergo , posita e pro numero supra imento , perpetuo ei I ε λ -l-

ipsi vero Logarithmi hyperbolici ex his Seriehus invenientur .

quae Series vehementer convergunt, si pro x staritatur fiamo valde parva : ita ex Serie posteriori facili negotio inveniuntur Logarithmi numerorum unitate non multo malorum. Posito

110쪽

Ac LDGARITHM PER SERIES EXPLICAT r

Hinc Logarithmi hyperbolici numerorum ab I usque ad Ioita se habebunt, ut sit

Hi scilicet Logarithmi omnes ex superioribus tribus Seriebus sunt deducti, praeter l7 , quem hoc compendio sum assecutust. Posui nimirum in Serie posteriori x - sicque obtinui I -

SEARCH

MENU NAVIGATION