Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

111쪽

ρα DE QUANTITATUM EXPONENTIALI M

LrΗ. I. 12 . Ponatur Logaritiamus hyperbolicus ipsius I x seul I in x y; erit 3 - - - - 4 -- &c.. Sumto autem numero a pro hasii Logarithmica , sit numeri ejusdema Φ x Logarithmus - ν ; erit, ut vidimus, ν - x - - ε--- - - &c. ; hincque k - α ; ex quo commodillime valor ipsius k hasi a respondens ita desinitur ut sit aequalis cujusvis numeri Logarithmo huperbolico diviso per Logarithmum ejusdem numeri ex basi a formatum. Posito ergoenumero hoc a , erit ν I , hincque fit k - Logarithmo hyperbolico basis a. In systemate ergo Logarithmorum communium , ubi est a Io , erit k - Logarithmo hyperbolico ipsius Io, unde fit et , 3o238so9299 2 168ψOI799 q, quem valorem jam supra satis prope collegimus. Si ergo sinsuli Logarithmi hyperbolici por hunc numerum dividantur, vel, quod eodem redit, multiplicentur per hanc fractionem decimalem O, 43 29ψ 8 I9o32318276s II 289 , prodibunt Logarithmi vulgares bali a- Io convenient s.

I 2s. Cum sit ey I ε ε - )- ε &c., si Ponatur H - e', erit, sumtis Logarithmis hyperbolicis, yla - r, quia est te I , quo valore loco r substituto, erit a) I ε. t μ lia in &c., unde quaelibet quantitas CXPO-- nuntialis ope Logarithmorum hyperbolicorum per Suriem infinitam explicari potest. Tum vero , denotante i numerum infinite magnum,. tam quantitates exponentiales quam Logarithmi Per potestates exponi possunt. Erit enim e i d ',

hincque a1 i Φ- ' , deinde pro Logarithmis hyper-

112쪽

AC LOGARITHM. PER SERIES EXPLICAT. 93

garithmorum hyperbolicorum usus in calculo integrali sustus dumonstrabitur.

CAPUT VIII.

De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis.116. Pos et Logarithmos & quantitates . exponentiales c n-sderari debent Arcus circulares eorumque Sinus & Cosnus , quia non solum aliud quantitatum transcendentium genus constarituunt, sed etiam ex ipsis Logarithmis & cxponentialibus quando imaginariis quantitatibus involvuntur , proveniunt, iaquod infra clarius patebit. Ponamus ergo Radium Circuli seu Sinum totum esse - I, atque satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationali hias exacte exprimi non posse , per approximationes autem inventa est Semicircumferentia hujus Circuli esse -

ro, brevitatis ergo , scribam π , ita ut sie π Semicircumserenitae Circuli, cujus Radius i, seu or erit longitudo Arcug18o graduum. I 27. Denotante r Arcum hujus Circuli quemcunque , cruius Radium perpetuo assumo I ; hujus Arcus r consid rari potissimum solent Sinus & Cosinus. Sinum autem Arcust in posterum hoc modo indicabo sit. A. r , seu tantum sin. s. Cosnum vero hoc modo cof A. , seu tantum cos. Ita, cum j sit Arcus I 8o' , erit sn. o m O, c0 οπ I ἔ &

Omnes ergo Sinus & sinus intra limites ε I & - I

A P. VII.

113쪽

ρι DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT

Praeter has denominationes notandae sunt quoque hae : tang. s , quae denotat Tangentem Arcus i ς col. s Cotangentem A cus r ; constatque esse raug. & cst. ἔ-

1 28. Hinc vero etiam constat si habeantur duo Arcus y & l .

114쪽

EX CIRCULO ORTIS. ys

Si ergo n denotet numerum integrum quemcunque, erit

ae formulae verae sunt sive n sit numerus affirmativus sivo negativus integer. .

progressione progrediuntur ; eorum vero tam Sinus quam Cosnus progressionem recurrentem constituunt , qualis eX den

115쪽

et e v - 2 - - ν . erit ex his postremis formulis :

unde ,.ex dato Cosinu cujusque anguli reperiuntur ejus semissis Sinus & Cosinus.

131. Ponatur Arcus y ε ῖ - , & y - ἔ - b , erit y - - quibus in superioribus sermulis substia tuti.

116쪽

tinis, habebuntur hae aequatioties, tanquam totidem Theoremata.

ΕX liis porro nascuntur , ope divisionis , haec Τheoremata

Ex his denique deducuntur ista Theoremata

qui Factores, etsi imaginarii, tamen ingentem praestant usum in Arcubus com hinandis & multiplicandis. Quaeratur enim productum horum Factorii in m - - - I in. ) cosy Φ V Isin y ac reperietur cog I. co inoe in Φ fybin. isinoe. cosi Euteri Introduci. in Anal. instr. NC A P.

VIII.

117쪽

38 DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT '

item

Evolutis ergo binomiis hisce erit per Series:

118쪽

EX CIRCULO ORTIS. 99I3 . Sit Arcus t infinite parvus, erit sin. r's & cof ἔ

- I : sit autem n numerus infinite magnus , ut sit Arcus n finitae magnitudinis, puta , n i v ; ob sn. erit

to ergo Arcu ν, ope harum Serierum ejus Sinus & Cosinus inveniri poterunt; quarum formularum usus quo magis Pateat, ponamus Arcum v esse ad quadrantem, seu ad arcum 9o' , ut m ad n , seu esse υ - -. - οῦ Quia nunc valor ipsius orconstat, si is ubique substituatur, prodibit sn. A. - 9o

119쪽

io: DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT

nia a

Φm I s

m- . Os

120쪽

EX CIRCULO ORTIS.

Cum igitur sussiciat Sinus & Cosinus angulorum usque ad 430 nolle, fractio - semper minor erit quam , hincque etiam ob I'otestates fractionis - , Series exhibitae maxime conve gent, ita ut plerumque aliquot tantum termini sumiant, precipue, si Sinus & Cosinus non ad tot figuras perducti desiderentur. 13s. Inventis Sinibus & Cosinibus inveniri quidem possunt Tangentes & Cotangentes , per analogias consuetas , at quia in hujusmodi ingentibus numeris multiplicatio & divisio vehementer est molesta , peculiari modo eas eXPrimere convenῖt Erit ergo