장음표시 사용
91쪽
Prieterea vero si Exponenti valores tribuantur fracti, Potes tas P - - 1 γ' mox reales mox imaginarios induet va
res t erit enim a v - 2 imaginarium ; at erit a V - Σ - - V 2 reale e u rum autem , si Exponenti r tribuantur valores irrationales , Potestas a' exhibuat quantitates reales an imaginarias , ne qu dem definiri licet. Ioo. His igitur incommodis numerorum negativorum loco a substituendorum commemoratis , statuamus a es se numerum amrmativum , & unitate quidem majorem , quia huc quoque illi casus , quibus a eli numerus affirmativus unitate minor , sacile reducuntur. Si ergo ponatur ii' - y, loco iubstituendo omnes numeros reales, qui intra limites -ε- eo & - cocontinentur , y adipiscetur omnes Valores amrmativos intra limites & o contentos. Si enim sit erit y - ἔsi s O erit y i , & si s - - het y o. Uicissim ergo quicunque valor assirmativus pro y accipiatur. dabitur quoque valor realis respondens pro r ita ut sit - y ; sin autem ipsi y tribueretur valor negativus, Exponens i Valorem realem habere non poterit.
Io I. Si igitur fuerit y - a' , erit y Functio quaedam ipsius , & , quemadmodum y ar pendeat, ex natura Potestatum frucile intelligitur ; hinc enim quicunque valor ipsi r tribuatur ivator ipsius y determinatur. Erit autem yy - οῦ γ' - ait:& generaliter erit γ' - a '' ; unde sequitur fore V y o p y - ad &; Σina &-- a H ,& ita porro. P terea, si fiterit ν-ay erit sy - α φ &- - a' quorum subsidiorum beneficio co facilius valor ipsius y ex dato vallare ipsius I inveniri potest.
92쪽
EXPONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS.
Si fuerit a - Io , ex Arithmetica , qua utimur , denaria in Promtu erit valores ipsius y exhibere , si quidem pro r numeri integri ponantur. Erit enim Io' - Io ; Io' Ioo ; Io' - oo: Io'- Ioooo ; & Io - I ; item Io ' - - o. I: Io φ - - o, o I ; Io i O, I: sin autem Pro r Fractiones ponantur, Ope radicum extra filonis valorcs ipsius y indicari possunt: sic erit Io VIO 3, I 62277 ,
valore ipsius r reperiri potest valor ipsius y , ita vicissim , dato alore quocunque assirmativo ipsius y , conveniens dabitur valor ipsius r , ut sit a' - y ς iste autem valor ipsius r , quatenus tanquam Functio ipsius y spectatur , vocari solet LOGARITΗ- Mus ipsius y. Supponit ergo doctrina Logarithmorum num rum certum constantem loco a substituendum , qui propterea vincatur bases Logarithmorum ; qua assumta erit Logarithmus cujus que numeri y Exponens Potestatis a , ita ut ipsa Potestas a aequalis sit numero illi γ ; indicari autem Logarithmus numeri γ solet hoc modo ly. Quod si ergo fuerit a -y, erit r ly et ex quo intelligitur, basin Logarithmorum , etiamsi ab arbitrio
nostro pendeat, tamen esse debere numerum unitate majorem . hincque nonnisi numerorum amrmativorum Logarithmos realbrer exhiberi posse. Io 3. Quicunque ergo numerus pro hasi Logarithmica a accipiatur , erit semper II o ; si enim in aequatione af - γ, quae convenit cum hac ly, ponatur y - I , erit ἔ - O. Deinde Dumerorum unitate majorum LOgarithmi erunt ammativi, perudentes a valore hasis a , sic erit la - I ; laa - λ ; la' - 3 .
93쪽
LIB. I. Ia &c., unde a posteriori intelligi potest , quantus numerus pro basi sit assuimus , scilicet ille numerus , cujus Log rithmus est I , erit basis Logarithmica. Numerorum autem unitate minorum , affirmativorum tamen , Logarithmi erunt negativi; erit enim I - - - I ; l - - - Σ; - - 3,e c. ; numerorum autem negativorum Logarithmi non crunt reales, sed imaginarii, uti jam notavimus.
aequatur Logarithmo ipsius y per Exponentem Potestatis multiplicato ; sic erit IV y - - r - - ly;l -- IF - - ly i & ita porro : unde ex dato Logarithmo cujusque numeri inveniri possunt Logarithmi quarumcunque ipsius Potestatum. Sin autem jam inventi sint duo Logarithmi, nempe ty r & lv - x: cum sit y - a' & ν - aφ erit lxy x in i lv Φ θ ; hinc Logarithmus Producti duorum numerorum aequatur summa: Logarithmorum Factorum; simili vero modo erit I Z - r - x - ly - iv; hincque Logarithmus Fractionis aequatur Logarithmo Numeratoris dempto Logarithmo Dcnominatoris: quae regulae inserviunt Logarichnais plurium numerorum inveniendis , ex cognitis jam aliquot Logarithmis. Ios. Ex his autem patet aliorum numerorum non dari Logarithmos rationales, nisi Potestatum baseos a ; msi enim numerus alius b fuerit Potestas basis a , ejus Logarithmus numerorationali exprimi non poterit. Neque vero etiam Logarithmux ipsius b erit numerus irrationalis ; si enim seret Ib- n, tum
esset b ; id quod fieri nequit, si quidem numeri a & b
94쪽
E ONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS. s
int onales statuantur ; solent autem imprimis numerorum ratio- CAp.VI. nalium & integrorum Logarithmi desiderari, quia ex his Log rithmi Fractionum ac numerorum surdorum inveniri pos Iunt. Cum igitur Logarithmi numerorum , qui non sunt Potellatos basis a , neque rationaliter neque irrationaliter exhiberi queant, merito ad quantitates transcendentes reseruntur , hincque Logarithmi quantitatibus transcendentibus annumerari solent. Io 6. Hanc ob rem Logarithmi numerorum vero tantum proxime per Fractiones decimales exprimi solent, qui eo minus veritate discrepabunt , quod ad plures figuras fuerint exacti. Atque hoc modo per solam radicis quadratae extractionem cujusque numeri Logarithmus vero proxime determinari poterit. Cum enim , posito ly & Iν - x, sit i v v y - ii si numerus propositus b contineatur intra limites a & a' , qu Tum Logarithmi sunt et & 3 , qu aeratur valor ipsius a' seu a Va, atque b vel intra limites a' & a vel nya & a continebitur , utrumvis accidat, sumendo medio proportionali, denuo limites propiores prodibunt, hocque modo ad limites pervenire licebit, quorum intervallum data quantitate minus evadat, & quibuscum numerus propositus b sine errore confundi possit. Quoniam vero horum singulorum limitum Logarithmi dantur, tandem Logarithmus numeri b reperietur.
Ponatur hasis Logarithmica a - Io , quod in tabulis usu receptis feri solet; & quaeratur vero tantum proxime Logarithmus numeri s ; quia hic continetur intra limites I & Ioquorum Logarithmi sunt o & I ; sequenti modo radicum extractio continua instituatur, quoad ad limites a numero Pr posito s non amplius discrepantes perveniatur.
95쪽
Sic ergo modiis proportionalibus sumendis tandem perventum est ad Z - s , oooooo , ex quo Logarithmus numeri 1 qua suus est o, 69897o, posita hasi Logarithmica - Io. Quare
erit proxime Io '' - s. Hoc autem modo computatus est canon Logarithmorum vulgaris a BRIGGIo & VLACQUIO , quamquam postea eximia inventa sunt compendia, quorum ope
multo expeditius Logarithmi supputari possunt.1C7. Dantur erso tot diversa Logarithmorum systemata quot varii numeri pro basi a accipi possunt, atque ideo numerus HG
96쪽
EXPONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS.
tematum Logarithmicorum erit infinitus. Perpetuo autem in C Ap.VI. duobus systematis Logarithmi ejusdem numeri eandem intex tse servant rationem. Sit hasis unius systematis a , alterius - b, atque numeri n Logarithmus in priori systemate p , in posteriori q ; erit ae n & by - n ; unde P- by ideoque a - b p. Oportet ergo ut Fracto .L oonsistantem obtineat valorem , quicunque numerus pro n fuerit assumtus. Quod si ergo pro uno systemate Logarithmi Omnium numerorum fuerint computati, hinc facili negotio per regulam auream Logarithmi pro quovis alio systemate reperiri possim t. Sic , cum dentur Logarithmi pro basi Io , hinc Logarithmi pro qua is alia basi , puta Σ , inveniri possunt; quaeratur enim Loga-.rithmus numeri a pro basi 2, qui sit - q, cum ejusdem numeri nLogarithmus sit - ρ pro basi Io. Quoniam pro hasi rocst lΣ - Ο , 3oio 3oo , & pro hasi 2, est l2 - I , erito , 3OIOSOO : I - P : q ideoque ς - - - 3 ,32Ι9277. p ; si ergo omnes Logarithmi communes multipli centur per numerum 3 , 32 I9277 , prodibit tabula Logarithmorum pro basi 2.1o8. Hinc sequitur duorum numerorum Logarithmos in quocunque I lemate eandem tenere rationem
Sint enim duo numeri Μ & N, quorum pro basi a Log rithmi sint m & n , erit M - α' & N - a' : hinc fiet
a ' - M' - Q , ideoque M - Ν' ; in qua aequatione cum basis a non amplius insit , perspicuum est Fra monem - habere valorem a basi a non pendentem. Sint enim pro asia basi b numerorum eorundem Μ & N Logarithmi ιι & ν,
97쪽
in omni Logarithmorum systemate Logarithmos diversarum ejusdem numeri Potestatum ut y ' & γ' tenere rationem Expo
Io9. Ad canonem ergo Logarithmorum pro basi quacunque a condendum sulficit numerorum tantum primorum Logarithmos methodo ante tradita, vel alia commodiori, supputasse. Cum enim Logarithmi numerorum compositorum sint aequales summi. Logarithinorum singulorum Factorum , Logarithmi numerorum compositorum per solam additionem reperientur. Sic,
inventus sit i s o, 69897oo , praeterea autem sit IIo I , erit i l α - lio - i s , ideoque orietur lΣ - Ι - o , 69897oo - o , 3 o Io 3oo ; EX his autem numerorum primorum 2 & s Logarithmis inventis reperientur Logarithmi omnium numerorum ex his Σ Ω s compositorum ; cujusmodi sunt isti Α, 8 , 16, 32, 6ψ, &c ἔ 2O,qO,8 O , 23 , SO, &c. IIo. Tabularum autem Logarithmicarum amplissimus ostulas in contrahendis calculis numericis , propterea quod ex ejusmodi tabulis non solum dati cujusque numeri Logarithmus , sed etiam cujusque Logarithmi propositi numerus conveniens reperiri potet t. Sic , si e , d, e , f, g, h , denotent numeros quo cunque , citra multiplicationem reperiri poterit valor istius expressionis , erit enim hujus expressionis Logarithmus
garithmo si quaeratur numerus respondens, habebitur valor quaestus. Inprimis autem inserviunt tabulae Logarithmicae digni talibus atque radicibus intricatissimis inveniendis, quarum opexationum loco in Logarithmis tantum multiplicatio aut divisio adhibetur. Diuitiam by Cooste
98쪽
EXPONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS. q
Qua ratur valor hujus Potestatis 2 δ : quoniam ejus Logarithmus est l Σ , multiplicetur Logarithmus binarii ex tabulis qui est o , 3o Io 3oo per - hoc est per Α- - - erit.
l Σ - - o , I736oo8, cui Logarithmo respondet numerus
I , 6983 QI , qui ergo proxime exhibet valorem 2 λ. Ex EΜPLUM II. Si numerus incolarum cujuspiam provinciae quotannis sui parte trigesima augeatur, initio autem in provincia habitaverint Iocooo hominum , quaeritur post Ioo annos incolarum numerus. Sit brevitatis gratia initio incolarum numerus - n, ita ut sit n IO OCO , anno elapso uno erit incolarum numerus - a ε ιγα
- - n e post duos annos ' n : post tres annos
unde Ioo I - - I, 2 O 39 , ad quem si addatur I Ioooco ι- 1, erit Logarithmus numeri incolarum quasiti 6, 2 O J9, cui respondet numerus - 261687 . Post centum ergo annos numerus incolarum fit plus quam vicies sexies cum semisse major. Diuiligod by Corale
99쪽
Cum post diluvium a sex hominibus genus humanum sit propagatum , si ponamus ducentis annis post, numerum hominum jam ad Ioooooo excrevisse, quaeritur quanta sui parte numerus hominum quotannis augeri debuerit. Ponamus hoc tem-POre numerum hominum parte sua - quotannis increvisse , atque post ducentos annos prodierit necesse est numerus homi-
*φ. Erit ergo I - l - igῖ. 1 , ΣχI8 8 O , o 26IO9χ, ideoque , &Ioooooo - 61963 x , unde fit x - I 6 circiter. Ad tantam ergo hominum multiplicationem suffecisset, si quotannis decima sexta sui parte increvissent; quae multiplicatio ob longaevam vitam non nimis magna censeri potest. Quod si autem eadem ratione per intervallum oo annorum numerus hominum crescere
perrexillet, tum numerus hominum Ru I OOO O. -
166666666666 ascendere debuisset , quibus sustentandis universus orbis terrarum nequaquam par fuisset. ΕΓΕΜ PLUM IU. Si singulis seculis numerus hominum duplicetur, quaeritur incrementum annuum. Si quotannis hominum numerum parte sua - crescere ponamus, & initio numerus hominum fuerit - n ,
100쪽
EXPONENTIALUUS AC LOGARITHMIS. 8 t
; hinc -; ergo x lχ - όy, i, Circiter, susscit ergo si numerus hominum quotannis parto sua in augeatur. Quam ob causam maxime ridiculae sunt eorum incredulorum hominum objectiones , qui negant tam brevi temporis spatio ab uno homine universam terram incolis impleri potuisse. ID. Potissimum autem Logarithmorum usus requiritur ad ejusmodi aquationes resolvendas , in quibus quantitas incognita in Exponentem ingreditur. Sic, si ad hujusmodi perveniatur aquationem aφ - b, ex qua incognitar x Valorem erui oporteat , hoc non nisi per Logarithmos essici poterit. Cum enim sit α - b erit la - x l a I b , ideoque x ta , ubi quidem perinde est , quonatu systemate Logarithmico utatur , cum in omni systemate Logarithmi numerorum a & b 'eandem inter se teneant rationem. Ex ΕΜ PLUΜ I. Si numerus hominum quotannis centesima sui parte auge tur ; quaeritur post quot annos numerus hominum fiat decuplo major. Ponamus hoc evenire post x annos , & initio hominum numerum fuisse n , erit is ergo elapsis x annis