장음표시 사용
121쪽
io L DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT
quarum Serierum ratio infra fusus exponetur. I 36. Ex superioribus quidem constat , si cogniti fuerint omnium angulorum semirccto minorum Sinus & Cosinus , inde simul omnium angulorum majorum Sinus & Cosnus haberi. Verum si tantum angulorum 3o' minorum habeantur
122쪽
Sinus & Cosinus, ex iis, per solam additionem & subtracti C A p. nem, Omnium angulorum majorum Sinus & Cosinus inveniri VIII. possunt. Cum enim sitsn. 3o' - - , erit, posito y 3o' ex
unde Sinus & Cosinus angulorum a 3o' ad 6o' , hincque omnes majores definiuntur.
337. In Tangentibus & Cotangentibus simile suhsidium usu Venit. Cum enim sit tang. a Φ b
--- -- - - , unde etiam Tangentes
Arcuum 3o' majorum obtinentur. Secantes autem & Cosecantes ex Tangenti hus per solam subtractionem inveniuntur ; est enim cosec. t. - - t. i,
Iuculenter perspicitur, quomodo canones Sinuum construi po
138. Ponatur denuo in formulis g. 133, Arcus r infinito parvus , & sit n numerus infinite magnus i , ut i obtineat valorem finitum ν. Erit ergo v G, unde M. r & cof r i ; his substitutis fit cos. ν -
123쪽
io DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT.
; atque M. v In Capite autem xv - a
praecedente vidimus csis I in e', denotante e basia Logarithmorum hyperbolicorum : scripto ergo pro ῖ partim
mendis autem Logarithmis hyperbolicis supra iΣ ostendi
124쪽
I , ob Logarithmos evanescentes , ita ut hinc nil sequatur. Altera vero aequatio pro Sinu suppeditat:
admodum Logarithmi imaginarii ad Arcus circulares revo
tur Radio I , fiat Arcus Arcui 43' , seu i - - , erit R i Φ F in &ς. , quae est Series a LE1s-NIT 2Io primum producta , ad valorem Peripheriae Circuli
I I. Quo autem ex hujusmodi Serie longitudo Arcus Cir- Euteri Introdua. in Anal. Asa. ODiuitiaco by Corale
125쪽
ios DE QUANTITATIBUS TRANSCENDENT
LIB. I. culi expedite definiri possit , perspicuum est pro Tangente e fractionem satis parvam substitui debere. Sic ope hujus Seriei sacile reperietur longitudo Arcus i , culus Tangens t aequetur
cujus Seriei valor per approximationem non difficulter in Da tione decimali exhiberetur. At vero ex tali Arcu cognito nihil pro longitudine totius Circumferentiae concludere licebit, cum .ratio , quam Arcus , cujus Tangens est , ad totam Peripheriam tenet , non sit assignabilis. Hanc ob rem ad Periphetiam indagandam , ejusmodi Arcus quaeri debet, qui sit simul pars aliquota Periphoriae, & cujus Tangens satis exigua commode exprimi queat. Ad hoc ergo institutum sumi solet Arcus 3o' cujus Tangens est - , quia minorum Arcuum cum Peripheria commensurabilium Tangentes nimis fiunt irra tionales. Quare , ob Arcum 3o' g , erit ρος - -
tyI in &c. , cujus Scrici ope valor ipsius incredibili labore fuit determinatus. In te eXhibitus I 2. Hic autem labor eo major est , quod primum singuli termini sint irrationales , tum vero quisque tantum , circi ter , triplo sit minor quam praecedens. Huic itaque incommodo ita occurri poterit: sumatur Arcus 43' seu cuius Ialor , etsi
exprimitur, tamen is retineatur , atque in duos Arcus a & bdispertiatur ut sit a b - - - 4sq. Cum igitur sit tangia
126쪽
. - , erit tang. b γ', hinc uterque Arcus a & b per Seriem rationalem multo magis, quam superior, conVergentem exprimetur , eorumqne summa dabit valorem Arcus -; hine itaque erit
hoc ergo modo multo expeditius longitudo semicircumserentia: π inveniri potuisset , quam quidem factum est ope Seriei
De investigatione Factorum trinomialium. et 3. O u EM AD MODυΜ Fastores simplices cujusque Functionis integrae inveniri oporteat , supra quidem ostendimus hoc fieri per resolutionem arquationum. Si enim proposita sit Fumnio quaecunque integra α - - γ ' - - ε - &c., hujusque quaerantur Factores simplices sormae p-qi , manifestum est , si p - ς suerit Factor Functionis H- γ ' in &c., tum, posito ς - , quo casu Factor P - qssit - o , etiam ipsam Functionum propositam evanescere
127쪽
vicissim , si omnes radices - hujus aeqnationis eruantur, si gulae dabunt totidem Factorcs smplices Functionis integrae proposita: α ε cr ε γ ' - Φ &c., nempe P- qs. Patet autem simul numerum Factorum hujusmodi simplicium ex maxima Potestate ipsius r definiri. 14 μ Hoc autem modo plerumque dissiculter Factores imaginarii eruuntur, qua imbrem hoc Capite methodum peculiarem tradam, cujus ope saepenumero Paciores simplices imaginarii inveniri queant. Quoniam vero Factores simplices imaginarii ita sunt comparati , ut binorum pro linctum fiat reale, hos ipsos Factores imaginarios reperiumus , si Factores investigemus
duplices , seu hujus forma: p -qr in ris , reales quidem , sed
quorum Factores sinplices sint imaginarii. Quod si cnim Fun tionis α. -b Φ γ f ε &c., constent omnes Factores reales duplices hujus formae trinomialis p - ρῖ - - rss, simul omncs Factores imaginarii habebuntur. I s. Trinomium autem p -qr Φ rR Factores simplices habebit imaginarios , si fuerit pr qq seu V i. Cum igitur Sinus & Cosinus Angulorum sint unitate minores , sormula p - qr in ris Factorcs simplices habebit imaginarios sisterit --2 Sinui vel Cosinui cujuspiam Anguli. Sit ergo cof A φ , seu g - 2 up r. cos. φ , atque trinomium p - ρ φ -μ rsi continubit Factores smplices imaginarios. Ne autem irrationalitas molestiam facessat, assumo hanc formam re Pq s. cos. φ ε qqῆς , cujus Faetores simplices imaginarii erunt hi, qῖ - ρ cof φ -μ v - I. su. - s co . φ - V- I. Hr. φ . Ubi quidem patet si fuerit c1φε I , tum ambos Factores , ob sin. φ o , fieri aequales de
128쪽
ob rem Functio proposita evanescet si ponatur tam i - κ p Φ V-I .sur. φ quam i cq φ V-I.sn. φ . Einc , sacta substitutione utraque, duplex nascetur aequatio , ex quibus tam fractio quam Arcus p definiri poterunt: I 7. Hae autem substitutiones loco r saciendae, etiamsi primo intuitu dissiciles iideantur, tamen per ea , quae in Capite praecedente sunt tradita , satis expedite absolventur. Cum enim fuerit ostensum esse cof phv- I. sit n. φ ' cosnφ- - - IAIM. ii φ, sequentes sermulae loco singularum ipsius t Potest tum habebuntur substituendae:
Ponatur Brcvituis gratia - - r, factaque substitutione sequen
129쪽
LIB. I. 148. Quod si hae duae aequationes invicem addantur & subtrahantur, & polleriori calii per χν-I dividantur, prodibunt hae duae aequationes reales :
formari pollunt, ponendo primum pro unaquaque ipsius y potestate H. cos ' p , deinceps H.sn. n p. Sic enim ob sin. op o & cof. op I , pro IV seu I in termino cons tanti priori casu ponitur I , posteriori autem o. Si ergo ex his duabus aequationi hus definiantur incognitae r&φ , ob r- - , habebitur Factor Functionis trinomialisl P Vqs. cos. φ H qqῖ , duos Factores simplices imaginarios involvens.1 9. Si aequatio prior multiplicetur per sin. m φ , posterior per cos. m φ , atque producta Vel addantur vel subtrahantur , prodibunt illae duae aequationes :
Sin autem aequatio prior multiplicetur per co . in φ & posterior per sa. m φ , per additionem ac subtractionem sequentes
130쪽
Hujusmodi ergo duae aequationes quaecunque conjunctae deter- CAp. IX minabunt incognitas r & φ ; quod cum plerumque pluribus modis fieri potiit , simul plures Factores trinomiales obtinentur , iique adeo omnes , quos Functio propos i ta in se conmplectitur. Iso. Quo usus harum regularam clarius appareat, quarumdam Functionum saepius occurrentium Factores trinomiales hic indagabimus, ut eos, quoties occasio postulaverit, hinc depromere liceat. Sit itaque proposita haec Functio a' H- , cuius Factores trinomiales formae In-2IM. cos p ε qqN determinari oporteat; posito ergo 1 - , habebuntur hae duae aequationes :o a' H- δ. cos. n p & o V. I . n φ , quarum posterior dat sin. n, o ; unde erit ιι φ Arcus vel hujus formaes eth i vel et fi m , denotante k numerum integrum. Casiis hos ideo distinguo , quod eorum Cosinus sitit disserentes; priori enim casu erit c et I π - - I pcfleriori casu autem
rum quomque intcgrum ponere liceat, prodeunt hoc modo plures I ad Ures, neque tamen ins niti, quoniam si eth Φ a , ultra naugetur , Factores priores recurrunt, quod ex exemplis clarius patcbit, cum sit co Σ χ - p cos. p. Deinde si ir c t numerus impar, pCsito χρ - I n , crit Tactor quadratus a 2am 4- neque vero hinc sequitur quadratum .iri '
ca aequatio resultat, qua tantum patet a -Η ' esse Divisorem