장음표시 사용
81쪽
I. si ergo P & Q denotent hujusmodi Functiones integras, sive duarum sive plurium variabilium , erit u forma generalis Fun tionum fractarum. Functio denique irrationalis est vel explicita, vel implicita ; illa per signa radicalia jam penitus est evoluta , liaec aurem per aequationem irresolubilcm cxhibetur : sic
Verit Functio implicita irrationalis ipsarum y & r , si fuerit
81. Multiformitas deinde in his Functionibus aeque notari debet, atque in iis , quae ex unica variabili consant. Sic Functiones rationales erunt unis armus, quia singulis qua titatibus variabilibus determinatis, unicum valorem determinatum exhibent. Denorent P, Q, R, S, &c. Functiones rationales seu uniformes variabilium x, y , et , eritque V Functio hi sermis eariindein variabilium, si fuerit μ' - PV- - Q - o ;quicunque enim valores determinati quantitatibus x, y, & stribuantur , Functio V non unum sed duplicem perpetuo habebit valorem determinatum. Simili modo erit V Functio
laocque modo ratio Functionum multiformium ulteriorum crit
81. Quemadmodum si Functio unius variabilis r nihilo aequalis ponitur, quantitas variabilis r Valorem consequitur dete minatum vel simplicem vel multipliccni ; ita si Functio duarum variabilium y & r nihilo aequalis ponitur , tum altera variabilis per alteram definitur, ejusque ideo Functio evadit, cum ante a se mutuo non penderent. Simili modo si Functio trium variabilium x, y , I, nihilo aequalis statuatur, tum una variabilis per duas reliquas definitur , earumque Functio exis fit. Idem evenit si sunctio non nihilo sed quantitati constanti vel etiam alii Functioni aequalis ponatur; Cκ omni enim aequatione, quotcunque variabiles involvat , semper una variabilisper reliquas desinitur earumque fit Functio ; duae autem aequa-
82쪽
tiones diversae inter easdem variabiles ortae binas per reliquas Cap. V. definient , atque ita porro. 8 3. Functionum autem duaram pluriumve variabilium divisio maxime notatu digna 6l in homogeneas ct heterogeneas. Functio homogenea est per quam ubique idem regnat v riabilium numerus dimensionum : Functio autem heterogeneaesh, in qua diversi occurrunt dimensionum numeri. Censetur vero unaquaeque variabilis unam dimensionem constituere ; quadratum uniuscujusque atque productum ex duabus , duas ;productum ex tribus variabili hus , sive iisdem sive diversis , tres & ita porro ; quantitates autem constantes ad dimens: num numeration zm non admittuntur. Ita in his formulis αy
8 . Applicemus primum hanc distinctionem ad Functiones
integras , atque duas tantum variabiles inesse ponamus , qu niam plurium par est ratio. Functio igitur integra erit homogenea in cujus sngulis terminis idem existi dimensionum numerus. Subdividentur ergo hujusmodi Functiones commodissimo se cundum numerum dimensionum , quem variabiles in ipsis ubi que constituunt. Sic erit αy -l- cs forma generalis Functionum in t rarum unius dimensionis : haec vero expressio αγ' - - cyr H- γ f erit forma generalis Functionum duarum dimen sionum , tum forma generalis Functionum trium dimensionum
analogiam igitur erit quantitas constans sola α Functio nullius dimensioni S. 8 3. Functio porro fracta erit homogenea , si ejus Numeratorae Denominator fuerint rincliones homogeneae.
Sic haec Fractio, ' erit Functio homogenea ipsa-
83쪽
LIB. I. rum y & r ; numerus dimensionum autem habebitur , si a numPro dimensionum Numeratoris subtrahatur numerus di mensionum Denominatoris : atque ob hanc rationem Fractio allata erit Functio unius dimensionis. Haec vero Fractior erit Functio trium dimensionum. Quando ergo in Nu-
meratore ac Denominatore idem dimensionum numerus inest,
tum Fractio crit Functio nullius dimensionis , uti evenit in hac Fractione , vel etiam in his ; e-H; Quod
sa igitur m Denominatore plures lint dinaentiones quam in Numeratore, numerus dimensionum Fractionis erit negativus :sic Z crit Functio - 1 dimensionis : i erit Functio - et H I r,'dimensionum : - - erit Functio - dimensionum , quia
in Numeratore nulla inest dimentio. Ceterum sponte intellia gitur plures Functiones homogeneas , in quibus singulis idem regnat dimensionum numerus, sive additas sive subtractas prae here Functionem quoque homogeneam cjusdem dimensionum numeri. Sic haec expressio αν - - - μ' - erit Fun tio unius dimensionis : haec autem α. - Τ Φ LU - - a1. h Uerit Functio nullius dimensionis. 86. Natura Functioniim homogenearum quoque ad exprensoncs irrationales extenditur. Si cnim fuerit P Functio quaecunque homogenea , Puta n dimensionum , tum V P erit Fun tio ia dimensionum ; v P erit Functio -- n dimensionum .
84쪽
atque Mi erit Functio nullius dimensionis. His ergo CAP. V. cum praecedentibus conjunctis intelligitur haec expressio - ML EU -- g. - - - esse
γ' - N Vγ- V γ 'ὶ8 . Utrum Functio irrationalis implicita sit homogenea ne ne , ex his facile colligi potest. Sit V hujusmodi Functio implicita ac U Φ P Q ε Q V - - R O , existentibus P, Q dcR Functionibus ipsarum y &. . Primum igitur patet V Fun tionem homogeneam esse non posse , nisi P , Q , & R suit
Functiones homogeneae. Praeterea vero si ponamus V esse Functionem n dimensionum , erit μ' Functio Σn , & W Functio 3 n dimensionum ; cum igitur ubique idem debeat esse numerus dimensionum , oportet, ut P sit Functio n dimensionum ,
Q Functio 1n dimensionum, & R Functio 3n dimensionum. Sint ergo vicissim lit tem P, Q , R Functiones homogeneae reia pective n , an, 3 n dimensionum , hinc concludetur sore VFunctionem n dimensionum. Ita si fuerit U' - γ' - min ny' V- i'' o erit V Functio homogenea duarum dimensionum , ipsarum y & r. 88. Si fuerit V Functio homogenea n dimen num ipsarum y O et , in eaque ponatur ubique y u Z , Functio U abibit in productam ex polsate χ' in Functionem quandam variabilis u. Per hanc enim substitutionem y - u , in singulos terminos tantae inducentur potestates ipsius y , quantae ante inerant ipsius y. Cum igitur in singulis terminis dimensiones ipsarum y & conjunctim aequassent numerum n , nunc sola variabilis r ubique habebit n dimensiones, ideoque ubique inerit ejus potestas f. Per hanc ergo potestatem Functio V fiet divisibilis & quotus erit Functio variabilem tantum v involvens. Hoc primum patebit in Functionibus integris; si enim sit V -
85쪽
etiam Functiones irrationales hinc excipiuntur , si enim sit
Hoc itaque modo Functiones homogeneae duarum tantum variabilium reducentur ad Functiones unius variabilis ; nequctenim potestas ipsus r , quia est Factor, Functionem illam ipsius u inquinar. 89. Functio ergo homogenea V duarum variabilium y O et nutatius dimensonis, posto y - u Z , transmutabitur in Eunctionem unica variabilis u puram. Cum enim numerus dimensionum fit nullus, Potestas ipsius r , quae Functionem ipsius ti multiplicabit, erit f - I ; hocque casu variabilis r prorsus ex computo egredietur. Ita si
9o. Functio integra homogenea duarum variabilium y O et . reolvi poterit in tot Factores simplices forma α. y Φ c Z , quot italuerit dimensiones. Cum enim Functio sit homogenea, posito D ur, transibit in productum ex e in Functionem' quandam ipsus u integram , quae Functio propterea in Factores simplices formae αυ-Fc resolvi poterit. Multiplicentur singuli Factores hi per l, est que uniuscujusque forma lxvr Her - αyΦc ob ur DPropter multiplicatorem autem ie , tot hujusmodi Factores nascentur quot exponens a contineat unitates ; Factores autem
86쪽
hi simplices erunt vel reales vel imaginarii ; hoc est , coem C p. V. cientes α & c erunt vel reales vel imaginarii. Ex hoc itaque sequitur Functionem duarum dimensionum
ori Φ by err duos habere Factores simplices sermae αγ--; Functio autem a γ' in by 'r -f- cys Φ habebit tres Factores simplices sermar αy Φ ; sicque porro Functionum
homogenearum integrarum , quae plures habent dimensiones , natura erit comparata. 9 I. Quemadmodum ergo haec expressio αν - - continet formam generalem Functionum integrarum unius dimensionis .
integrarum duarum dimensionum : atque in hac forma Q Φ γy -φ- εy ε continebuntur omnes Functiones integrae trium dimensionum , sicque omnes Functiones integrae homogeneae per producta ex tot hujusmodi Factoribus α y Φ c sexhiberi poterunt, quot Functiones illae contineant dimensi nes. Isti autem Factores eodem modo per resolutionem aequationum reperiuntur, quo supra Factores simplices Functionum integrarum unius variabilis invenire docuimus. Ceterum haec proprietas Functionum homogenearum duarum variabilium non extenditur ad Functiones homogeneas trium pluriumve varia-hilium : forma enim generalis hujusmodi Functionum duarum tantum dimensionum , quae est ayy in by r cyx ε dxy ε- ex x inor generaliter non reduci potest ad hujusmodi pro
minus Functiones plurium dimensionum ad hujusmodi producta revocari possunt. 92. Ex his, quae de Functionibus homogeneis sunt dicta . simul intelligitur , quid sit Functio heterogenea : in cujus scili cet terminis non ubique idem dimensionum numerus deprehenditur. Possunt autem Functiones heterogeneae subdividi pro multiplicitate dimensionum , quae in ipsis occurrunt. Sic Functio bifida .erit , in qua duplex dimensionum numerus Dc urrit, eritque adeo aggregatum duarum Functionum hom I 2 Diuitia es by Cc oste
87쪽
L I B. I. genearum , quarum numeri dimensionum differunt; ita γ' - - et γ' in yy in erit Functio bifida , quia partim quinque, partim duas continet dimensiones. Functio autem trifida est, in qua tres diversi dimensionum numeri insunt , seu quae in tres Functiones homogeneas distribui potest, uti γ Φ y'r' εῖ Φy- . Praeterea autem dantur Functiones heterogencae seactae vel irrationales tantopere permixtae, quae in Functiones homogeneas resolvi non potant , cujusmodi sunt a.
93. Interdum Functio heterogenea ope substitutionis ido neat , vel loco unius vel utriusque variabilis factae, ad homo geneam reduci potest; quod quibus casibus fieri queat, non tam facile indicare licet. Suffciet ergo exempla quaedam attulisse , quibus ejusmodi reductio locum habet. Si scilicet haec propo
nem apparebit, eam ad homogeneitatem perduci , posito ἔ xi: prodibit enim γ' - ac y Φ y' - - - , Functio homogeneas dimensionum ipsarum x & y. Deinde haec Functio y Φy' x ε γ' - Φ y' x' H- - ad homogeneitatem reducitur ponendo x T , prodit enim Functio unius dimensionis y Φεαε L in ar. Multo dissiciliores autem sunt casus . quibus non per tam simplicem suestitutionem ad homogenei- ratem pervenire licet. 9 . Tandem inprimis notari meretur Functionum integra rum secundum ordines divisio satis usitata , secundum quam ordo definitur ex maximo dimensionum numero qui in Functione inest. Sic o Φ yy - - H- ο - aa est Functio secundi ordianis , quia duae dimensiones occurrunt. Et y ΦΠ' - ay'r -Ρ
88쪽
abyr -aa yy ε b' pertinet ad Functiones quarti ordinis. Ad CΑν. Q. hatic divisionem potissimum in doctrina de lineis curiis respici solet ; unde adhuc una Functionum integrarum divisio com
ys. Superest scilicet divisio Functionum integrarum in complexas atque incomplexa S. Functio autem complexa est, quae in Factores rationales resolvi potest , seu quae est productum ex duabus Pluribusve lanctionibus rationalibus ; cujusmodi est
tegram homogeneam , quae tantum duas variabiles complectatur, esse Functionem complexam , quoniam tot Factores simplices forma: αy ε habet, quot continet dimensiones. Functio igitur integra erit incomplexa, si in Factores rationales resolvi omnino nequeat; uti yy - - ir - aa , cujus nullos dari Factores rationales facile intelligitur. Ex inquisitione Divi sortim patebit , utrum Functio proposita sit complexa an compleXa.
De Quantitatibus exponentialibus ac Logarithmis. 96 Q υλNQυAM notio Functionum transcendentium in cauculo integrali demum Perpendetur, tamen antequam EO PC veniamus , quasdam species magis obvias , atque ad plures investigationes aditum aperientes , evolvere conventur. Primum ergo considerandae sunt quantitates exponentiales, seu Potestates , quarum Exponens ipse est quantitas variabilis. Perspiacuum enim est hujusmodi quantitates ad Functiones algebraicas referri non posse , cum in his Exponentes non nisi constantes locum habeant. Multiplices autem sunt quantitates expone
89쪽
I. tiales, prout vel solus Exponens est quantitas variabilis, vel praeterea etiam ipsa quantitas elevata ; prioris generis est a' , hujus vero γῆ p quin etiam ipse Exponens potest esse qua titas exponentialis uti in his formis a ;Ηujusmodi autem quantitatum non plura constituemus genera, cum earum natura satis clare intelligi queat, si primam tantum speciem evolveAmus. 9 . Sit igitur proposita hujusmodi quantitas exponentialisag , quae est Potestas quantitatis constantis a , Exponentem habens variabilem Cum igitur iste Exponens omnes numeros determinatos in se complectatur, primum patet si locor Omnes numeri integri assirmativi successive substituantur, loco P hos prodituros esse valores determinatos a y a' ; a' ; a'; a'; a ι &c. Sin autem pro r ponantur successive numeri negativi - I , - 2, - 3 , &c. Prodibunt L ,' - ἰ I; ἰ &c.
ac , si fuerit o , habebitur semper a I. Quod si locor numeri fi acti ponantur , ut ὁ ς τὸ τοῦ - ἰ &c.
orientur isti valores V a ; va; vaa ; va i va', &c., qui in se spectati geminos pluresve induunt valores , cum radicum extractio semper valores multisormes producat. Interim tamen hoc loco valores tantum primarii , reales scilicet atque assim malivi admitti solent; quia quantitas a tanquam Functio uniformis ipsius r spectatur. Sic es medium quemdam tenebit Iocum inter a & a' , eritque ideo quantitas ejusdem generis ;
& quamvis valor a' sit aeque - - aa v a , ac - Φ aa v a, tamen posterior tantum in censum Venit. Eodem modo resse habet, si Exponens valores irrationales accipiat, quibus casibus cum difficile sit numerum valorum involutorum concie Disitirco by COOste
90쪽
EMONENTIALIBUS AC LOGARITHMIS. 7r
pere, unicus tantum realis consideratur. Sic aV7 erit valor CAp.VI. determinatus intra limites a' & a' comprehensus. 98. Maxime autem valores quantitatis exponentialis a3 a mapnitudine numeri constantis a pendebunt. Si enim fuerit a - 1 semper erit a' I, quicunque Valores EXponenti s tribuantur asin autem suerit ay I , tum valor ipsius a' eo erit major, quo major numerus loco i substituatur , atque adeo, positot - ω, P in infinitum excrescit; si suerit o, fiet ay - I ,& , si sit et o valores a' fient unitate minores , quoad positor - - fiat a' - o. Contrarium eVenid si sit a V I , verum tamen quantitas assirmativa ; tum enim valores ipsius P decrescent, crescente i supra O ; crescent Vero, si pro r numeri negativi substituantur. Cum enim sit a et I , erit r ;posito ergo b ; erit P - b , , unde posterior casus ex priori dijudicari poterit. 99. Si sit a - o , ingens saltus in valoribus ipsus a' deprehenditur , quamdiu enim fuerit i numerus assirmativus seu maior nihilo , erit perpetuo a o : s sir o erit a' - I ; sin autem suerit r numerus negativus, tum a ' obtinebit vat rem infinite magnum. Sit enim ἔ -- 3 ; erit a o i --e , ideoque infinitum. Multo majores autem saltus occurrent, si quantitas constans a habeat Valorem negativum , puta - 2 ; tum enim ponendis loco r numeris integris valores ipsius P alternatim erunt affrmativi & negativi, ut ex hac