장음표시 사용
71쪽
--α. c. Quod Ponatur α. - Ι & ῖ - I , Series haec abibit in progressionem generalem secundi ordinis , cujus differentiae secundae sunt constantes. Designet AH-B in C - - D- - Ε Η- &c. huju1- modi progressionem , erit ea simul Suries recurrens, cujuS quilibet terminus ex tribus antecedentibus ita determinatur ut sit D 3C BΦA; E 3D-3CH B; F 3 3Dε C&c. Cum igitur terminorum in progre Iione arithmetica procedentium secundae disserentiae quoque sint aequales , nemPQ O , haec proprietas quoque ad progressiones arithmeticas extenditur.
65. Simili mocto haec fractio ξ 'Seriem infinitam , in qua
dabit potes ashunc habebit cousicientem -
, , -- α' i d : posito ergo α I & I . haec Series in se complectetur omnes progreIlionus algebraicas tertii ordinis , quarum disterentiae turtiae sunt constantes: omnes orgo hujus ordinis progressiones, cujusmodi sit AH-B- -C- -DF - &c. crunt simul recurrentes ex denominatore I ῖε -- ' in γ' ortae ; unde crit E D - 6C -
simul in Omnes progressiones inferiorum ordinum competit. 67. Hoc modo ostendetur omnes progressiones algebraicas cujuscunque ordinis , quae tandem ad differentias conflantes deducunt, esse Series recurrcntes, quarum lex definiatur ex ,
denominatore i - ' , cxistente n numero majore quam is , qui ordinem progressionis indicat. Cum igitur a ' in a q-b - Disiti od by Corale
72쪽
nem ordinis m ; erit ob naturam Serierum recurrentium
si re sit numerus par, inferiora autem si ii sit numerus impar. Haec ergo aequatio semper est Vera si fuerit n numerus integer major quam m. Hinc ergo intelligitur quam late pateah doc trina de Seriebus recurrentibus. 63. Si denominator fuerit potestas non binomii sed multinomii, natura Seriei quoque alio modo explicari potest. Sit nempe haec fractio ' Prose 1 - - &e. mi sita , erit Series infinita hinc nata I i. a se m r. r. i
Ad naturam hujus Seriei penitus inspiciendam , exponatur haec Series per litteras generales hoc modo :
N e Φ &c., ac quilibet coessiciens N ex tot procedentilius , quot sunt litterae α, c, γ, &c. ita determinabitur ut sit: N
quae lex continuationis etsi non est constans, sed ab exponente potestatis r pendet , tamen eidem Suriel alia convenit lex progrestionis constans , quam denominator evolutus praebet , Diuitiaco by Corale
73쪽
L i p. I. natum Serierum recurrentium consentaneam. Illa vero lex non
constans tantum locum habet si numerator fractionis fuerit uniatas seu quantitas constans ἔ si enim quoque aliquot potestates ipsius r contineret, tum illa lex multo magis fieret complicata , id quod post tradita calculi differentialis principia facilius patebit. 69. Quoniam hactenus posuimus primum denominatoris
terminum constantem non eme O , ejusque loco unitatem collocavimus ; nunc videamus cujusmodi Series oriantur, si in denominatore terminus constans evanescat. His casibus ergo
Functio fracta hujusinos sermam habebit
- φ -- , convertatur ergo, neglecto denomia
natoris Factore i , reliqua fractio fi mi PE in Seriem
recurrentem A Η- - - Η- Dc atque, facta divisione
74쪽
sit 1 -- 2 - IOX - εχ xx - I78x' - 73ψx' - &c. cujusmodi Series recurrentes proy innumerabiles inveniri possunt. 7 I. F mones irrationales ex hoc theoremate universali
in Series infinitas transformari solent, quod sit P ε Q u
termini, nisi fuerit numerus integer assirmati rus, in infinitum ocurrunt. Sic erit pro m & n numeros definitos scribendo.
75쪽
72. Huiusmodi ergo Serierum termini ita progrediuntur ut quilibet ex antecedente formari possit: sit enim Seriei , quae ex
P in Q ' nascitur , terminus quillhet - II Perit sequens - :V. ' MP n OF 7 Notan dum autem est in quovis termino sequente exponentem ipsius P unitate decrescere, contra vcro eXponentem ipsius Q unitate crescere. Quo autem haec facilius ad quemvis casum acconi
modentur, forma generalis P - - Q ita exponi potest
resultante per P ' multiplicata, prodibit ipsa Series ante data. Tum vero si m non solum numeros integros denotet , sed etiam fractos , pro u tuto unitas collocari poterit. Quibus se
- &c. Ad sequentes progressionum leges autem observandas conveniet hanc formulae generalis in Seriem conversionem n lassem - r in n
76쪽
atque quilibet coefficiens N ex praecedente M ita determina-hitur ut sit N --, ' α M. Sic, posito n I , cum sit M- r , erit N - Α - α ς tum facto n - Σ , ob
Quod si ergo termini secundum potestates ipsius t disponantur,
Luteri Introduci. in Anal. insin. H
77쪽
I. Scribatur pro hac Serie ista serma geheralis :
atque quilibet coeficiens ex duobus antecedentibus ita definie tur ut sit N --α Μ -- --- c L , unde omnes
termini ex primo, qui est I , definiri poterunt. Erit nempe
ρο - αῖε c 'Φ γr' 'in &c., quae CXpresso , si omnes termini secundum potestates ipsius Ordinentur, abibit in hanc Seriem r
cujus lex progressionis ut melius patescat, ponatur ejus loco
cujus Seriei quilibet coeniciens ex tribus antecedentibus ita deter
78쪽
Cum igitur primus terminus sit - I , & antecedentes nulli, CAp.IV.
76. Generaliter ergo si ponatur I H- αῖ H- c ' - γ r' ε&c., hujus Serici singuli termini ita ex praecedentibus definientur , ut si
quilibet scilicet terminus per tot praecedentes determinatur , quot hahentur litterae , c, γ, δ, &c. in Functione ipsius rcujus potestas in Seriem convertitur. Ceterum ratio hujus legis convenit cum ea , quam supra g. 68. ubi similem sermanis I - αῖ - c ' - γr' - &c. fl in Seriem infini-
79쪽
I. tam resolvimus ; si enim loco m scribatur - m atque litterae α, c , γ , δ , &c. negative accipiantur, Series inventae pro . R congruent. Interim hoc loco non licet rationem hujus progressionis legis a priori demonstrare , id quod per principia calculi disserentialis domum commode feri poterit ; intercaergo sussiciet veritatem per applicationem ad Omnis generis
De Tuncrionibus duarum pluriumve variabit tim.
77. QUANQυΑΜ plures hastinus quantitates variabiles su
mus contemplati, tamen eae ita erant comparatae, ut omnes
unius essent Functiones , unaque determinata reliquae simul determinarentur. Nunc autem ejusmodi considerabimus quantitates variabiles , quae a se invicem non pendeant , ita ut quamvis uni determinatus valor tribuatur , reliquar ram n nihilominus maneant indeterminatae ac variabiles. Ejusmodi ergo quantitatus variabiles , cujusmodi sint x, y, g , ratione significationis convenient, cum quae libet Onanus valores determinatos in se complectatur; at, si inter se comparentur maxime erunt divor e , cum , licet pro una r Valor quicunque determinatus substituatur, reliquae tamen x & y aeque late pateant, atque ante. Discrimen ergo inter quantitates variabiles a se pendentes, & non pendentes in hoc versatur , ut priori casu , si una determinetur , simul reliquae determinentur ; posteriori vero determinatio unius significationes reliquarum minime restringat. 78. Functio ergo duarum pluriumve quantitatum variabilium , X , y , Z , 6ὶ evrusta quomodocunque ex his quantitaιibus conr- posta. Ita erit x' - xyr a ' Functio quantitatum variabilium trium x, F, Haec orgo Functio, si una determinetur va-
80쪽
riabilis, puta r. hoc est ejus loco constans numerus substitua- C4'. V. tur, manebit adhuc quantitas variabilis , scilicet Functio ipsa ruin x & y. Atque si, praeter ὐ , quoque y dezerminetur , tum erit adhuc I unctio ipsus x. Hujusmodi crgo plurium varia hilium Functio non ante valorem detcrminatum Oh tinebit , quam singillae quantitates variat iles sucrint determinatae. Cum igitur una quantitas variabilis infinitis modis determinari possit, Functio duarum variabilium , quia pro quavis determinatione unius infinitas determinationes suscipere potest, omnino infinities infinitas determinationes admittet. Atque in Functione trium variabilium numerus determinationum erit adhuc infinitius major ; sicque porro crescet pro pluribus variabilibus.79. Huyusmodi Funarones sturtam variiabilium perinde atque I unctiones unius variabilis , conrnwdissime dividuntur in al
Quarum illae sunt, in quibus ratio compositionis in scinis Algebrae operationibus est posita ; hae vcro , in quarum forma tionem quoque operationes transcendentes ingrediuntur. In his denuo spccies notari possent , prout operationes transcendentes vel omncs quantitates variabiles implicant, vel aliquot,
vel tantum unicam. Sic ista exprcilio y lcg. r , quia Logarithmus ipsius r incst, erit quidum Functio transcendens ipsarum y & i , verum ideo minus transcendens est putanda , quod si variat illa s determinetur , supersit Functio algebraica ipsius y. Interim tamen non Expedit hujusmodi subdivisionibus
tractationem ampi sicari. So. Funicii es deinde algebras ore Obdividuntur in rationales O irrationales p rationales autem porro in integras ac fractas. Patio harum denominationum ex Capite primo jam abunde intelligitur. Functio scilicet rationalis omnino est lihera ab omni irrationalitate quantitates variabiles , quarum Functio dicitur , assiciente ; haecque crit intcgra si nullis fractionibus inquine tur , contra vero fracta. Sic functionis in tograe 'uarum vari