Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

171쪽

HL DE ALIIS ARCUUM ATQUE

3. necessitatem Series infinitas multiplicemus , terminos priores actu in Logarithmis involutos relinquamus , eritque Isin. zV-Dr in im ΦΙ Σn - m Φ l χn H-m -I8-3 in

I92. Occurrunt ergo in his Seriebus singulae Potestates pa-xes ipsius - , quae sunt multiplicatae per Series , quarum summas jam supra assignavimus. Erit nempe

172쪽

Serierum posteriorum modo ante l . I9o summae sunt exhia hilar ; priores Series quidem ex his derivari possent; at, quo facilius ad usum transerri queant, earum summas pariter hic adjiciam. 193. Quod si ergo, brevitatis gratia , ponamus

173쪽

is DE ALIIS ARCUUM ATQUE

xeliquae summae in ratione quadrupla decrescunt 19 . His ergo in subsidium vocatis , erit Isin. - Im - - l χn - m Φ l Σn - - m -3 In-FI π-IS

174쪽

SINIM EXPLICATIONIBUS INFINITIS.

175쪽

116 DE ALIIS ARCUUM ATQUE

m an a m a

176쪽

SINUUM EXPLICATIONIBUS INFINITIS. 1s

19s. Si isti Sinuum & Cosinuum Logarithmi hyperbolici

multiplicentur per o, 43 29q 8 I9 &c., prodibunt eorumdem Logarithmi vulgares ad Radium I relati. Quoniam vero in Tabulis Logarithmus Sinus totius statui s olet Io, quo Logarithmi tabulares Sinuum & Cosinuum obtineantur, post multiplicationem addi debet Io. Hinc erit Logarithmus tabularis Sinus Anguli - 9o'

177쪽

118 DE ALIIS ARCUUM ATQUE

196. Harum ergo sormularum ope inveniri possunt Loga, rithmi Sinuum & Cosinuum quorumvis Angulorum tam hyperbolici quam vulgares , etiam ignoratis ipsis Sinibus &Cosinibus. Ex Logarithmis autem Sinuum & Cosnuum per solam subtractionem inveniuntur Logarithmi Tangentium , Cotangentium , & Secantium , Cosecantiumque , quamobrem Disiti orab

178쪽

SINIUM EXPLICATIONIBUS INFINITIS. Isq

pro his non erit opus peculiaribus formulis. Ceterum notan- CAP.XI. dum est numerorum m , n , Π - m , n m, &c. Logarithmos Ityperbolicos accipi oportere , cum Logisthmi hyperbolici Sinuum Cosmuumque quaeruntur, VulgarCS autem , cum tales ope posteriorum formularum sunt indagandi. Praeterea m : in denotat rationem , quam Angulus propositus habet ad Angulum rectum ; sicque, cum Sinus Angulorum semirecto majorum aequentur Cosinibus Angulorum semirccto minorum ac vicissim , fractio - nunquam major accipienda erit quam L ,hancque ob rem termini illi multo magis convergent, ut semissis instituto lassicero possit. I97. Antequam hoc argumentum relinquamus , aptiorem aperiamus modum Tangentes & Secantes quorumvis Angulorum inveniendi, quem Caput praecedens suppeditat. Quanquam enim Tangentes & Secantes per Sinus & Cosinus determinantur ; tamen hoc fit per divisionem , quae operatio in tantis numeris nimis est Operosa. Ac Tangentes quidem & C tangentes jam supra si . t 36 exhibuimus , verum illo loco rationem formularum reddere non licuit , quam huic Capiti

reservavimuS.I98. Ex g. I 8 I ergo primum eXpressionem pro Tangente Anguli elicimus. Cum enim sit

deinde sit

iti na

179쪽

16o DE ALIIS ARCUUM ATQUE

LIB. I. l &c Convertantur hae fractiones , praeter

primas, quippe quae facile in computum ducuntur, in Seritia infinitas , erit

Deinde erit pro Cotangente

180쪽

SI VIM EXPLICATIONIBUS INFINITIS. 16 i

atque ex his formulis natae sunt expressiones , quas supra g. 13s pro Tangente & Cotangente dedimus ; simul vero g. 137 ostendimus , quomodo ex Tangentibus & CO tange

tibus inventis per solam additionem & subtractionem Secantes& Cosecantes reperiantur. Harum ergo regularum ope universus Canon Sinuum , Tangentium & Secantium , corumque Logarithmorum multo facilius supputari possiet, quam quidemt,oc a primis conditoribus est saetiim.

CAPUT XII.

De reali Functionum fractarum evolutione. 1sq. JAM supra, in Capite Iecundo , methodus est tradita Functionem quamcunque fiactam in tot partes resolvendi quot ejus denominator habeat Factores simplices ; hi enim praebent denominatores Damonum illarum partialium. Ex quo manifestum est , si denominator quosdam habeat Factores simplices imaginarios, fractiones quoque inde ortas fore imaginarias : his ergo casibus parum juvabit fractionem realem in imaginarias resolvisse. Cum igitur ostendissem omnem Func tionem integram , qualis est denominator cujusvis fractionis , quantumvis Factoribus simplicibus imaginariis scateat, tamen in factores duplices, seu secundae dimensionis , reales semper resolvi posse; hoc modo in resolutione fractionum quantitates imaginariae evitari poterunt, si pro denominatoribus fractionum partialium non Faciores denominatoris principalis simplices, sed duplices reales assumamus. Eulcri Introduct. in Anal. ion. X