Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

191쪽

DE REALI FUNCTIONUM

Posito f

192쪽

FRACTARUM EVOLUTIONE. 173

Hocque moco progrediendum est donec ultimae fractionis , Ccwjus denominator est sp -- fp Φ qqi , nume-

rator fuerit determinatus. EXEMPLUM.

Sit ista proposita Functio fracta

A P.

193쪽

1 4 DE REALI FUNCT FRACT EVOL T.

LIB. I. Quamobrem fractiones quaesitae sunt har

tionis numerator est

vio. Hac ergo methodo simul innotescit fractio complementi , quae cum inventis conjuncta producat fractionem propositam ipsam. Scilicet si Daelionis

inventae fuerint omnes fractiones partiales ex Factore π

pq .cof p Φgilii ' oriundae, pro quibus formati sunt valores Functionum P, Q, R, S, T, si harum litterarum

Series ulterius continuetur , erit ea , quae ultimam, qua OPUS cst ad numeratorcs inveniendos, sequitur, numerator reliquae fractionis denominatorem Z hahentis ; nempe , si I , erit

reliqua fractio di ; si h - 1, erit reliqua fractio ' ; si h -3 ,

erit ea di , & ita porro. Iuventa autem hac reliqua fractione denominatorem Z habente , ea per has regulas ulterius resolvi poterix.

194쪽

DE SERIEBUS RECURRENTIBUS. 17s

C A P.

CAPUT XIII.

De Seriebus recurrentibus.111. ' o hoc Scrierum genus, quas Mo IVRAEUS recumrentes vocare solet, hac refero omnes Suries quae ex evolutione Cunctionis cujusque fractae per divisionem adlualem instituta nascuntur. Supra enim jam ostendimus has Series ita esse comparatas, ut quivis terminus eX aliquot praecedentibus secundum legem quandam constantem determinetur, quae lex a d cnominatore Functionis fractae pendet. Cum autem nunc Functionem quamcunque seaetam in alias simpliciores resolvere docuerim , hinc Series quoque recurrens in alias simpliciores resolvetur. In hoc igitur Capite propositum est Serierum recurrentium cujusvis gradus resolutionem in simpliciores exponere. et 11. Sit proposita ista Functio fracta genuina

quae per divisionem evolvatur in hanc Seriem recurrentem

cujus coefficientes quemadmodum Progrediantur , supra estollensum. Quod si jam Functio illa fracta resolvatur in fractiones suas simplices, & unaquaeque in Seriem recurrentem evolvatur, manifestum est summam omnium harum Serierum ex fractionibus partialibus ortarum aequalem esse debere Series

Tucurrenti

Fractiones ergo partiales, quas supra invenire docuimus, dabunt Diqitigod by Corale

195쪽

176 DE SERIE BUs

L s. I. Series partiales , quarum indoles ob simplicitatem facile perspicitur ; omnes autem Series partialos junctim sumtae producent Seriem recurrentem Propositam ; unde dc hujus natura penitius

cognoscctur.

213. Sint Series recurrentes ex singulis fractoniba, partialibus ortae lia .

Quoniam liae Series junctim sumtae aequales esse debent huic

Hinc , si singularum Serierum ex fractionibus partialibus ortarum definiri queant coesiicientes Potestatis r', horum si inania dabit coussicientem Potestatis in Serie recurrente AH-Bῖ-Θε ε &c. 2I . Dubium hic suboriri posset, an, si duae hujusmodi Series fuerint inter se aequales

necessario inde sequatur, coussicientes similium Potestatum

196쪽

RECURRENTIBUS. 17

C C ; D - D ; &c. . Hoc autem dubium facile tolletur , si perpendamus hanc aequalitatem subsistere debere quemcun- cive valorem obtineat variabilis Sit igitur r o , atque manifestiun cli sore A A. His ergo terminis aequalibus utrinque sublatis , ac reliqua aequatione per r divisa , habebitur Bre cr-FD 'iam dic. - Η Φ Cr in D ' - &c.; unde sequitur fore B - B : simili autem modo ostendetur esse C - C; D - D, & ita. porro in infinitum. 2Is. Contemplemur ergo Series, quae ex fractionibus pamtialibus , in quas fractio quaepiam proposita resolvitur , oriuntur. Ac primo quidem patet fractionem i ' dare Seriem A H- Aps in A ρ' i ε Ap 'r' in &c. , cujus terminus generalis est Αρ' ; haec enim expressio vocari solet te

minus generalis , quoniam ex ea , loco n numeros omnes su cessive substituendo , omnes Seriei termini nascuntur. Deinde

Euteri Introduci. in Anal. insin. Αρ r : haec vero

C A p.

197쪽

1 8 DE SERIEBUS

L 1 a. I. expressio illi est aequalis , id quod eliminatis denominatoribus patebit, fiet enim , 1.2.3 n nri- H nελ-n - 1.2.3 k-I E *n-o quae est aequatio identica.χI6. Quoties ergo in resolutione Functionum fractarum ad hujusmodi fractiones partiales -- pervenitur , toties. p; Seriei recurrentis ex illa Functione stacta ortae A in B - ΦDr' - &c., terminus generalis assignari poterit, quippe quierit summa terminorum generalium Serierum , quae ex fracti nibus partialibus nascuntur.

EXEMPLUΜ Ι. Invenire terminum generalem Seriei recurrentis , quae ex hac fractione ----- nascituri

Series hinc nata est x in or Φψε-- Φ Ior' εχαῖ' - - Σf Φ 8 in &c. . Ad coefficientem potestatis generalis γ' inveniendum , fractio - resolvatur in '.' i i , unde oritur terminus generalis quaesitus

i , ubi signum Φ

valet fi n sit numerus par, signum - si n sit impar. Ex ΕΜ PLUM II. Invenire terminum generalem Seriei recurrentis quae oritur ex

198쪽

RECURRENTIBUS. I 79 Ob denominatorem I - a - 3 resolvitur fractio in has -- ε . ' i , ex quibus fit terminus gene

EXEMPLUM III. Invenire terminum generalem Seriei hujus I -μ 3 Z Η- Αχ' Z -HII Z in i 82 - 29Z - ψ7Z' - &c., qua Oritur ex

evolutione fractionis ---. .

c A P. XIII.

199쪽

rentium , quarum quisque terminus Per duos Praecedentes determinatur, termini generales expedite desiniri poterunt. Ex EΜPLυΜ V.

Invenire terminum generatim hujus Seriei I Φ et Φ 12' - 1 et ' faet' in s a' - χ' - es in &c. , quae oritur ex fractione

' h. , ubi signum superius valet si a fuerit numerus par , inserius si n fuerit impar 2I7. Hoc Pacto omnium Serierum recurrentium tormini generales exhiberi possunt, quoniam omnes fractiones in hujusmodi fractioncs partiales simplices resolvere licet. Quod si autem expressiones imaginarias vitare velimus , saepenumero ad hujusinoni fractiones partiales pervenietur

200쪽

RECURRENTIBUS 18r