Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

211쪽

DE SERIEBUS

L B. I. seri, tamen semper est rationalis , propterea quod termini irrationales in Serie non Occurrunt. 228. Ex datis porro duobus terminis contiguis quibusvis Pt' &- commode assignari potest terminus multo magis remotus Xῖφ'. Ponatur enim

212쪽

129. Simili modo, si statuantur termini sequentes

erit Z- - άAB ecia , Ob R-αQ-c P, erit

Sit proposita ista Series recurrens

cujus cum quilibet coefficiens sit summa duorum praecedentium , erit denominator fractionis hanc Seriem producentis I - i - ,' ideoque ec I ἔ c - - I ; A - 1 ;

V ' -.32- , ubi signum superius valet , si n sit numerus par, inserius si impar. Sic, si 1r - ψ, ob P- II ,. erit Euleri Introduci. in Anal. insen. B h

213쪽

ciens termini sit X, erit X --ta; ergo Potestatis r coussiciens erit - - 76.

23o. Simili modo in Seriebus recurrentibus, quarum qΠilibet terminus ex tribus anteceduntihus determinatur, quivis terminus ex duobus antecedentibus definiri potest. Sit enim Series hujusmodi recurrens

cujus scala relationis sit α, - c, - γ , seu quae oriatur ex fractione cuius denominator I- αῖε C '-γH. Quod

214쪽

' -χαBῖ - α φ e J J - ae- ω ὶ B - ω - ας - - ,γὶ ABP C ε αγε c: AB' .H- αγ A' 3 - 1e, A B 'Φ γγ A Pendet ergo inventio termini R ex duobus praecedentibus P& id a resolutione aequationis cubica'. 23 I. His de terminis generalibus Serierum recurrentium notatis , superest ut earumdem Serierum summas investigemus. Ac primo quidem manifestum est summam Seriei recurrentis in infinitum extensae aequalem esse Dadtioni ex qua Oritur :cujus frae ionis cum denominator ex ipsa progressionis lege pateat , reliquum est ut numeratorem definiamus. Sit itaque proposita haec Series

cujus lex progressionis praebeat hunc denominatorem I - αῖε cf -- δ '. Sumamus fractionem summae Seriei in infi

nitum aequalem esse -- -- CX qua

Bb et

216쪽

quae oritur ex Damone summa erit

At est , ex natura Seriei, R - α Q-c P, unde prodibit summa

217쪽

CAPUT XIV.

De multiplicatisne ae divisone Angularum. 23 . SIT Angulus , vel Arcus , in Circulo cujus Radius - I , quicunque s , ejus Sinus x , Cotinus - y& Tangens t ς erit xx in yy - I & t - Cum igitur , uti supra vidimus , tam Sinus quam Cosinus Angulorum II ; 3ῖ; ψῖ; 3 s ; &c., constituant Seriem recti rentem cujus scala relationis est 2y, - I ; primum Sinus horum Arcuum ita se habebunt :

218쪽

Ac DIVISIONE ANGULORUM. 199

hi enim Sinus omnes sunt inter se aequales. Hinc obtinemus plures valores pro x, qui emunt

qui ergo omnes aequationi inventae aeque conveniunt. Tot autem prodibunt diversi pro x valores , quot numerus ncontinet unitates , qui propterea erunt radices aequationis inventae. Cavendum ergo est , ne valores aequales pro iisdeni habeantur , quod fiet dum alternae tantum eXpressiones assumantur. Cognitis igitur radicibus aequationis a posteriori , earum comparatio cum terminis aequationis notatu dignas praebebit proprietates. Quoniam autem ad hoc aequatio , in qua tantum x tanquam incognita insit, requiritur, pro y suus valor, 1 - xx substitui debet ; unde duplex operatio instituenda erit , prout n fuerit vel numerus par vel impar. Σ36. Sit n numerus impar , quia Arcuum - Φ r, ε 3r, in s r, &c., dissurentia est ar , hujusque Cosmus I - 20, erit progressionis Sinuum scala relationis haec Σ - 4 ,- I. Hinc erit

C A P. XIV.

219쪽

DE MULTIPLICATIONE

. si quidem n fuerit numerus impar. Hujusque aequationis radices

sn. - - ; &c., quarum numerus est n. 237. Hujus ergo aequationis

, ubi signum superius valet si n unitate deficiat a multiplo quaternarii, contra inserius ) Factores sunt I -- )

concluditur fore

&c. , ex quibus

εε sin. ni φῆ ε M. τεῖ

&c., donec habeantur n termini. Tum vero productum omnium

sn, -- &c. . Et, quia terminus penultimus deest , erit

220쪽

Ac DIVIS IONE ANGULORUM. xor

Erit ergo, uti jam supra notavimus ,

EXEMPLUM II. Ponamus esse n s , atque prodibunt hae aequationes :

deinde erit