Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

241쪽

DE SERIEBUS E X

Liu. I. 255. Si ponatur γ - I , productum hoc i- c 1 - γ I - δ i - εὶ&c. aequabitur unitati cum Serie numerorum omnium , qui ex his α , c , γ , δ , ε , c, dic. vel sumendis sngulis, vel duobus pluribusve diversis in se multiplicandis , nascuntur ; ut ante quidem , verum lioc discrimine, ut ii numeri, qui vel eu singulis , vel ternis , vel quinis , Vul numero imparibus nascuntur, sint negativi, illi vero, qui vel CX binis, vel quaternis, vulsenis vel numero paribus resultant , liat ussirmativi. 267. Scribantur pro c, γ, δ, &c., numeri primi omitis 2, 3, 3, 7, II, 13, GC., atque hoc productum

aequabitur unitati, cum Serie omnium numerorum vel primorum ipsorum , vel ex primis divertis per multiplicationem ortorum. Erit ergo

in qua Serie omnes occurrunt numeri naturatus , cxceptis

Potestatibus, iisque qui p2r quamvis Potestatem sunt divisibiles. Desunt scilicet numeri ψ, 8, 9, 12, I 6 , Iis , &c., quoniam sunt vel Potestates . ut ψ, ου , 9 , I 6 , dcc., vel per Potestates divisibiles ut I 2, I 3, EA. 168. Simili modo res se habebit, si pro α, c, γ, &c. . Potestates quaecunque numerorum primorum subistituantur. Scita licet si ponamus Eest enim Pira a Φmultiplicatione instituta :Σ ' a' 6' γ' 1

242쪽

EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS. 11;

in quibus fractionibus omnes occurrunt numeri priPter illos qui vel ipsi sunt Potestates , vul per Potestatem quampiam divisibiles. Cum enim omnes numeri integri sint vel primi vel ex primis per multiplicationem compositi , hic ii tantum numeri excludentur, in qυorum formationem idem numerus primus bis vel P urius ingreditur. 169. Si numeri α, c , γ, δ, &c., negative capiantur, ut ante Σ66 fecimus , atque ponatur P i - - I - - a - - i-- i -

d C., Crit

tales ac divisibiles per Potestates. Verum ipsi numeri primi, et qui ex ternis , quinis , numerove imparibus constant , signum habent praefixum - , qui autem ex hinis , vel quaternis , vel senis , Vel numero paribus formantur, signia in habent in . Sic in hac Scrie occurret terminus - , quia est 3ο

2.3. , neque adeo Potestatem complectitur, habebit vero hic terminus - signum - , quia 3o est productum ex tribus

27o. Consideremus jam hanc expressionem

243쪽

LIB. I.

atque manifestum est coefficientes A, B , C, D , E , &c.,

sequenti modo CX numeris, α, c, γ, δ, ε, &c., componi, ut sit A - sunt mae singulorum B - suminae Factorum ex binis C - summae Factorum ex ternis D - summae Factorum ex quaterni S

non exclusis Factori-hus iisdem. 27 I. Posito ergo I , illa expresso

a-α 1-c; ι - γ) ι -δὶ ι-εὶ Sc. aequabitur unitati cum Serie numerorum omnium , qui ex his&c., vel sumendis singulis , vel duobus pluribusve in se multiplicandis, oriuntur, non exclusis aequalibus. Hoc ergo dissert ista numerorum Series ab illa , quae g. et6s prodiit, quod ibi Factores tantum diversi sumi debebant, hic autem idem Factor bis pluriesve occurrere possit. Hic scilicet omnes numeri occurrunt, qui per multiplicationem ex his α , c , γ , δ, &c. , PrOVenire posseunt. 272. Hanc ob rem Series semper ex terminorum numero inlinito constat , sive Factorum numerus fuerit infinitus , sive finitus. Sic erit

244쪽

EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS. xx s

ubi alii numeri non occurrunt, nisi qui ex liis duobus ae di 3 iper multiplicationem originem trahunt; seu qui alios Divisores Praeter et & 3 non habent.173. Si igitur pro α, c, γ , δ, &c., unitas par singulos

ubi omnes numeri tam primi, quam qui ex primis per multiplicationem nascuntur, occurrunt. Cum autem omnes numeri vel sint ipsi primi, vel ex primis per multiplicationem oriundi, manifestum es , hic Omnes omnino numeros integros in denominatoribus adesse debere. 27 . Idem evenit , si numerorum primorum Potestates Uaaecunque accipiantur : si enim ponatur

erit

Euleti Introducti in Anac insin.

. A P. XV.

245쪽

ubi numeri primi habent signum -; qui sunt produm ex duobus primis, sive iisdem sive diversis, signum habent & generatim,

quorum numerorum numerus Factorum primorum est par, signum habent in , qui autem ex Factoribus primis numero imparthus constant, habent signum -. Sic terminus -- , Ob ΣΑΟ -

z. 2. 2. 2. 3. 3 , habebit signum ε , cujus legis ratio percipitur ex g. 27o , si ponatur i I. 27s. Si haec cum superioribus conserantur, nascentur hinae Series quarum productum unitati arctuatur. Sit enim

276. Sin autem ponatur

246쪽

E LITIONE FACTORUM ORTIS. Σχ

similique modo habebitur P Q - 1. Cognita ergo alterius Seriei summa, simul alterius innotescet. 277. Uicissim porro ex cognitis summis harum Serierem , assignari poterunt valores Factorum infinitorum. Sit nimirum

δεμ δε

247쪽

LIB. I.

DE S E R I E B G S EX

EX cognitis ergo M & N, praetor valorcs horum ploductorum , sanamae harum Serierum habebuntur

ex quarum combinatione multae aliae deduci possunt. Ex ΕΜPLυΜ I. Sit n - I , & , quoniam supra demonstravimus esse ,

248쪽

EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS. 129

unde fie

Deinde per summationem Sericrum supra traditam erit

ta hinc obtinentur istae summae Serierit m

249쪽

- Ο, habebitur

atque

quarum framonum excepta prima numeratores unitate deficiunt a denominatoribus, summae aurum ex numeratoribus &denominatoribus cujusque framonis constanter praebent numeros PrimOS, 3 , s , 7 , II , 13 , J7, Ι9 , Sc. Ex EΜPLuΜ ΙΙ. Sit n - 2 , eritque ex superioribus

250쪽

EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS. 13t

sive