Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

231쪽

G2 DE MULTIPLICATIONE

Ex comparatione ergo coefficientium cum radicibus , erit

232쪽

232. Incipiamus aequationem inventam a potestate summa, ubi primum distinguendi sunt casus, quibus n est vel numerus Par , vel impar. Sit n numerus impar, seu n - 2 m Φ I, erit

C A P. X I V.

233쪽

11 DE MULTIPLICATIONE

di. 13. Cum igitur sit tang. v - - tang. π - ν , Anguli recto majores ad Angulos recto minores reducuntur , eritque tata, tota.

234쪽

cic DIVISIONE ANGULORUM. 213

2 3. Sit jam n numerus par, atque , incipiendo a Potestate summa , erit

235쪽

116 DE MULTIPLICATIONE

236쪽

Ac DIVIS IONE ANGULORUM. 21

& generaliter , si n - 2 m , erit

Πarum vero aequationum ratio statim sponte in oculos incus rit , cum perpetuo bini Anguli reperiantur , quorum alter est alterius complementum ad rectum. Hujusmodi ergo hinorum Angulorum Τangentes productum dant I ; ideoque omnium productum unitati debet esse aequale. 1 8. Quoniam Sinus & Cosnus Angulorum progressionem arithmeticam constituentium Seriem recurrentem praebent, per Caput praecedens summa hujusmodi Sinuum & Cosinuum quotcunque exhiberi poterit. Sint Anguli in arithmetica progressionea, a q-b,a- - 2b, a q-3b,a- - b, ari 3b, &c.& quaeratur primo summa Sinuum horum Angulorum in infiniarum progredientium ; ponatur ergo

237쪽

218 DE MULTIPLICATIONE

219. Hinc itaque summa quotcunque Sinuum , quorum Arcus in arithmetica progrestione incedunt, allignari poterit ;quaeratur nempe summa hujus progrestionissin. a sa. a q- bὶ 4- . a 4, 2b - n. a i ,bj -π n. a n.' . Quia summa hujus progressionis in infinitum continuatae cil- - , considerentur termini ultimum sequentes in infinitum hisin. a - nq, i b - - . a Φ n -μὶ )ἷ ὶ - - . s a - n -μ 3 Λ -&e. uuia horum Sinuum summa est - ' i , si haec a

238쪽

AC DIVISIONE ANGULORUM. 219

Quare, cum simili modo sit hujus Seriei summa - s '' ' O , si haec ab illa subtra-

1 as i. a be . a- n b . in - - t A . ά b161. Plurimae aliae quaestioncs circa Sinus & Tangentes ex principiis allatis resolvi possent; cujusmodi si int, si quadrata , altioresve Potestates Sinuum , Tangentiumve summari deberent , verum quia haec ex reliquis aequationum superiorum coel- set tintibus similiter derivantur , iis hic diutius non immoror. Quod autem ad has postremas summationes attinet notandum est quamcunque Sinuum Cosanuuinque Potestatem porsingulos Sinus Cosinusve explicari posse , quod , ut clarius perspiciatur , breviter CXPonamuS. E e Σ

239쪽

LLO DE MULTIPLICAT AC DIVIS. ANGUL.

LeX , qua hi coeffcientcs progrediuntur , ex unciis Linomii clevati intelligitur , nisi quod numerus absolutus in Pot statibus paribus semillis tantum sit ejus , quCm unciae praebent. 263. Pari modo Potestates Cosinitum definientur

Hic ratione iugis progressionis cadem sunt monenda quae circa Sinus notaVimuS.

240쪽

DE SERIEBUS EX EVOLUIT FACIT ORTIS. rit

CAPUT XV.

De Sericbus ex evolutione Factorum omis. 26 . SIT proposuiam productum ex Factoribus , numero sine sinitis sive infinitis, conlians hujusmodi

quod, si per multiplicationem actualem evolvatur , det

atque mani ilam eli cocilicientes A , B , C , D , E , &c. , ita formari ex numeris α, c, γ, δ, ε, , &c. , ut sit - &c. - summae singulorum B summae Factorum ex binis diversis C summae Factorum ex ternis diversis D - summae Factorum oY quaternis di vcssis Ε - summae Factorum ex quinis diversis

donec per 'Eniatur ad productum ex omnibus. 26s. Quod si ergo ponatur r I , productum hoc

aequabitur unitati cum Serie numerorum omnium, qui ex his α, c, γ , δ, ε, &c., vel sumendis singulis , vel duohus pluri-husve diversis in se multiplicandis, nascuntur. Atque si idem numerus duobus pluribusve modis resultare queat, etiam idem his pluriesve in hac numerorum Serie Occurret.