Introductio in analysin infinitorum. Auctore Leonhardo Eulero... Tomus primus secundus

261쪽

quae fractiones oriuntur ex numeris primis imparibus 3 , 1, 7, II, 13, 17, &c., quemque in duas partes unitate differentes dispescendo , & partes pares pro numeratoribus , impares pro denominatoribus sumendo. 286. Si irae expressiones cum Wassistana comparentur

cum sit

illa per hanc divisa dabit

primi. 287. Sit iam n - 3 , erit A - - , unde sit

262쪽

EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS. et 3

quae per primam divisa dabit

liaec vero denuo per primam divisa dabit

&c., seu 36 r 61 reta 666 roq8 A s a 3 ' 63 1 i ' 65s ' ios; ' ς' aquae fractiones formantur ex cubis numerorum primorum im- Parium, quemque in duas partes unitate disserentes dispescendo, ac Partes pares pro numeratoribus, impares pro denominat tibus sumendo. 288. Ex his expressionibus denuo novae Series sermari possunt, in quibus Omnes numeri naturales denominatores constituunt. Cnm cnim sit π.- 3 I

erit

unde per evolutionem haec Series nascetur

263쪽

I.ls. I, ubi ratio lignorum ita esst comparata , ut binarius habeat - , numeri primi formae 4 m - 1 signum - & numeri primi formar m I signum ; numeri autem compositi ca hahent signa , quae ipsis ratione multiplicationis ex primis conveniunt. Sic. patebit signum fractionis , ob 6o 2 . λ . 3 . s , quod erit - . Simili modo porro erit

unde Orietur haec series

tibi binarius habet signum Φ , numeri primi forma: ψ m - Ifignum - , numeri primi formae m H, I signum - &numerus quisque compositus id halici si uni , quod ipsi ratione compositionis ex primis convenit , secundum regulas multiplicationis. 289. Cum deinde st

erit per evolutionem

ubi tantum numeri impares occurrunt , signa autem ita sunt comparata , ut numeri primi formae 4 m - I signum haheant in , numeri primi formae 4m - I signum - , unde simul numerorum compositorum signa definiuntur. Binae Porro Disiti sed by Cooste

264쪽

EVOLUTIONC FACTORUM ORTIS. 1 s

Series hinc formati possunt, ubi omnes numeri occurrunt 1 C A p. crit scilicet

unde per evolutionem oritur

ubi binarius lJgnum habet H- , numeri primi sermar m - Isignum ε , numeri vero primi formae m ρ I signum-.

Ium v2ro etiam erit

iihi binarius habet signum - , numeri primi formae ψ nr - Isignum H- & numeri primi formae qui in I signum-.19o. Possunt hinc etiam innumerabiles aliae signorum con d tiones exhiberi , ita ut Serici

265쪽

1 6 DE SERIEBUS EX

Multiplicetur haec cxpressio per - - Σ , erit

multiplicetur per -- - , Crit

unde per evolutionem oritur

ubi hinarius habet signum in , numeri primi formae q/Π- Isignum ε & numeri primi formae q m rim I , praeter quinarium , signum - .

266쪽

rg VOLUTIONE FACTORUM ORTIS. 147

erit

unde , ut supra vidimus , oritur

ubi omnes numeri primi signum habent - ; compositorum-quu numerorum signa regulam multiplicationis sequuntur. Mul-

unde per evolutionem nascitur

ubi binarius habet signum Φ ; reliqui numeri primi omnes signum --. Simili modo quoque erit Disiliaco by Gocrate

267쪽

134 DE SERIEBUS EX

Ex his conjunctis fiet IM P IN -

268쪽

Verum hae Series , preteter primam , non solum summas hahent finitas, sed etiam cunctae simul sumtae summam essiciunt finitam , eamque satis parvam : unde necesse est ut Seriei primae Lin ΔΗ-LΦLΦZ Η- dcc., summa sit infinite magna , quantitate scilicet satis parva deficiet a Logisthmo hyperbolico Seriet x H--Η--Φ--Η--- Φ &C. 28o. Sit n - 1 ; efit Μ- ρο εc. N - - r unde fit

269쪽

LII a

28 I. Quanquam lex, qua numeri primi progrediuntur , non constat, tamen harum Surierum ali orum Potestatum summae non dissiculter proxime assignari poterunt. Sit enim liaec Series

270쪽

EVOLUTIONE FACTORUM ORTIS. Σ37

erit

3S' Hinc, ob datam summam Μ, valor ipsus S commode inve nitur , si quidum n fuerit numerus mediocriter magnus. 282. Inventis autem summis alii orum Potestatum , etiamst namae Potestatum minorum ex formulis inventis exhiberi pollunt. Atque hac methodo sequentes prodierunt summae Seriei

s' ν' ri' i 3' 1 Isi sit erit summa Serici