장음표시 사용
281쪽
ubi omnes numeri primi, praeter 3 & s , habent signiam - . In genere autem notandum est, quotieS omnes numeri primi, exceptis tantum aliquibus, habebunt signum - , summam Serieii re o. Contra autem quoties omnes numeri primi , exceptis tantum aliquibus , habebunt signum , tum summam Seriei sore inlinite magnum. 292. Supra etiam I76 summam dedimus Seriei A i 3 i i i 3 3 si' ε' ' 3 ici' riu L &c. s
282쪽
erit D - 1 - i- - Φ--L - - - &c.. 10 x1' ia' a ' is Ex his tandem fiet ul)i numeri primi unitate excedentes multipla senarii habent signum- , deficientes autem signum Φ. Eritque
293. Consideremus casum n - I , quo A eritque
ubi in numeratoribus post a occurrunt omnes numeri primi , denominatores vero a numeratoribus unitate discrepant, sun
que omnes per 6 divisibiles. Cim jam sit
erit , hac expressione per illam divisa ,
283쪽
ubi denominatores non sunt per 5 divisibilus. Vel erit
quarum haec per illam divisa dat
v 3 s 7 1i I9 23 29 In priori expressione fractiones formantur ex numeris primis formae mm ε 6εI , in posteriore ex numeris primis formae I 21 et in I , singulos in duas partes unitate discrepantes dispeiacendo, & partes Pares pro numeratoribus, impares vero Pro denominatoribus sumendo.
284쪽
rys. Contemplemur adhuc Seriem supra inventam I79 , C A P. quae ita progred atur
ubi signa ita se habent, ut numerorum primorum formae 8 n ε i , vel 8 m ε 3 , signa sint - ; numerorum primorum vero formae 8 m- - vel 3 m Φ 7 , signa sint in . Hinc itaque crit
uhi omnes denominatores vel divisibiles sunt per 8, vel tantum sunt numeri impariter pares. Cum igitur sit
285쪽
111 DE SERIEB. EX EVOLUIT FACIT ORTIS.
pares vero adsunt, quoties unitate disserunt a numeratoribus.
Prima vero per ultimam divisa dat ' 3 g 9 δ T ' 3 ' - ' ου ' ρ ' i 1 quae fractiones formantur ex numeris primis, singulos in duas partes unitate discrepantes dispescendo , & partes pares nisi sint pariter pares pro numeratoribus sumendo. 196. Simili modo reliquae Series , quas supra pro eXPreiasione arcuum circularium invenimus i 79 Oseqq. in Factores transformari possunt, qui ex numetis primis constituantur. Sicque nuthae aliae insignes proprietates tam hujusmodi Factarum, quam Serierum infinitarum erui poterunt. Quoniam Vero praecipuas hic jam commemoravi , pluribus evolvendis hic non immorabor. Sed ad aliud huic amne alumentum procedam. Quemadmodum scilicet in hoc Capite numeri , quatenus Permultiplicationem oriuntur, sunt considerati , ita in sequenti
286쪽
quae cujusmodi induat formam , si per multiplicationem ex o Vatur, inquiramus. Ponamus prodire
atque manifestum est P fore Rimmam Potestatum
torum ex binis Potestatibus diversis, seu Q est aggregatum plurium Potestatum ipsitis x , quarum Exponentes sunt summae duorum terminorum diversorum hujus Seriei γ , δ, c, χν , &C. simili modo It erit aggregatum Potestatum ipsus X , quarum Exponentes sunt summae trium terminorum diversorum. At que S erit aggregatum Potestatum ipsus x , quarum Exponentes sunt summae quatuor terminorum diversorum ejusdem Seriei γ , δ , ε, &c. , & ita porro. 198. Singulae hae Potestates ipsius x, quae in valoribus liti rarum P , Q , R , S , &c. , insunt , unitatem pro coem- ciente habebunt, si quidem earum Exponentes unico modo ex α , c , γ, δ , &c., formari queant: sit autem ejusdem Pote talis Exponens pluribus modis possit esse summa duorum ,
287쪽
299. Quod si urgo productiun propositum
per multiplicationem veram evolvatur, EX EXpre Gone resultantestat in apparebit , quot variis mod a datus numerus possit cliesumma tot terminorum diversoriana Serici α, c, γ, ε, r, 6 c., quot quis voluerit. Scilicet, si quarratur quot variis mod S numerus n possit esse summa in terminorum illius Seriei diversoriani, in exprestione evoluta quaeri debet terminus x' , ejusque ccessiciens indicabit numerum qua situm. 3oo. Quo haec stant Plan ora , sit propositum hoc productum cra Factoribus conflans ias itis
quod per multiplicationem actualem evolutum .dat Disit iroo by Cooste
288쪽
Eu his ergo Seriebus statim definire licet quot variis inoctim propositus numerus CX dato terminorum 'diversorum hujus Seiari et I ,2, 3, 4, 3, 6, 7, 8, &C. numero oriri queat. Sic , si quaeratur quot variis modis numerus 3s pollit osse summa septem terminorum diversorum Seriei I, 2, 3, 6, 3, 6, 7, ε c. , quaeratur in Serie r' multiplicante Potestatein x , ejusque coatafieiens Is indicabit numerum propositum 3s quindecim variis modis .esse lanimain septem terminorum Seriei I, 2, 3, 4, 3, 6, 7, 8, &c. 3oi. Quod si autem ponatur r-r, & similes Potestates ipsius x in unam summam conjiciantur, seu , quod eodem redit, si evolvatur haec expressio infinita
quo facto orietur haec Scrios 1 in x in x' ΗΦ Σx' - 2x' - 3x' - H- s x' - 6x' - &c., ubi quivis coe, sciens indicat, quot variis modis Exponens Potestatis ipsius ae conjunctio CX terminis diversis Seriei I , Σ , 3, , 3, 6, 7, &c., Per additionem emergere possit. Sic apparet numerum 2 sex modis per adsitionem diversorum numerorum produci, qui sunt
289쪽
LI B. I. ubi notandum est numerum propositum ipsum simul computari debere , quia numerus terminorum non delinitur, ideoque unitas inde non excluditur.3ΟΣ. Hinc igitur intelligitur, quonando quisque numerus per additionem diversorum numerorum producatur. Conditionuicin diversitatis Omittetur , si Factores illos in Uenominatorem transponamus. Sit igitur proposita liaec expres Ito
quae per divisionem evoluta det
Atque manifestum cst sore P aggregatum Potestatum ipsius x , quarum Exponentes contineantur in hac Surie α, c , γ, δ, ε, ζ, η , &c. . . Deinde Q erit aggregatum Potestatum ipsius x , quarum Exponentes sint summae duorum terminorum lui jus Seriei , sive eorundem sive diversorum. Tum erit it summa Potestatum ipsius x , quarum Exponentes ex additione trium terminorum illius Seriei oriantur; & S summa Potestatum , quarum Exponentes ex additione quatuor terminorum in illa. Serie conten torum sermantur , & ita Porro. so 3. Si igitur tota expresso per singulos terminos explicetur , & tormini similes conjunctim exprimantur , intelligetur quot variis modis propositus numerus n per additionem mterminorum , sive diversorum sive non diversorum , Seriei α, c, γ , δ , ε, &C. , produci queat. Quaeratur scilicet in expressione evoluta terminus x' , ejusque coem ciens, qui sit N, ita ut totus terminus sit Nx' , atque coessiciens Nindicabit quot variis modis numerus n per additionem m terminorum
290쪽
minorum in Serie α, c, γ , δ, ε, &c., contentorum produci C A p. queat. Hoc igitur pacto quaestio priori, quam ante sumus con- X Vi templati, similis resolvetur.3o . Accommodemus haec ad casum inprimis notatu dignum , sitque proposita haec expressio
Ex his ergo Seriebus statim definire licet quot variis modis propositus numerus per additionem ex dato terminorum hujus Seriei I, 2 , 3 , Φ, 3, 6 , 7 , &c. , numero Produci queat. Sic , si quaeratur quot variis modis numerus I 3 oriri possit ver additionem quinque numerorum integrorum , spectari de-Dehit terminus x e, cujus coeffciens I 8 indicat numerum Propositum I 3 ex quinque numerorum additione octodecim modis oriri posse. 3os. Si ponatur r-I, atque similes Potestates ipsius ae conjunctim exprimantur , haec expressio