장음표시 사용
61쪽
1. DE TRANSFORMATIONE FUNCTIONUM
' J Quoniam tres adsunt indeterminatae, it duae tantum aequationes, licuit ponere P - ἀ- β.
62쪽
- e Z - o , sequenti modo tam y quam Z rationaliter per noxam variabilem X exprimetur.
Ponatur 1 - x , erit divisione per r facta :
nuendo vel augendo utramque Variabilem certa quadam quai titate constante, unde & haec aequatio per novam variabilem
x rationaliter explicari potest. 13. Si y ita pendeat a et , ut sit a y' Φ hy'Z in cyz' ε da in e yy ε fy Z ε g ZZ O , sequenti modo tam y quam Zrationaliter per novam variabilem X exprimi poterit. Ponatur y x r , & facta substitutione tota aequatio per γ'
f' J Eadem causa qua supra fuit p - α - β.
63쪽
Ex his casibus facile intelligitur quemadmodum arquationes: altiorum graduum , quibus y per r definitur, comparatae esse debeant, ut hujusmodi resolutio locum habere queat. Ceterum hi casus in superioribus sermulis 3 3. continentur : at, quia formulae generales non tam facile ad hujusmodi casus saepius
Occurrentes accommodantur, visum Est horum aliquos seorsim evolvere.
hoc modo utraque quantitas y O Z per novam variabilem X e primetur.
similes resolutiones admittentes comprehenduntur in sequente Paragrapho.
per novam variabilem X exprimetur.
Sit y - x s , atque facta substitutione tota aequatio dividi poterit per , siquidem exponens m sit major quam n ; eritque
64쪽
Haec scilicet resolutio locum habet, si in aequatione naturam Functionis y per r exprimente , duplex tantum ubique occurrit dimensionum ab y & sumptarum numerus uti in casu tra lato in singulis terminis numerus dimensionum vel est m vel n. 18. Si in aequatione inter y O et triplicis generis dimensioues Occurrant , quarum summa tantum superet mediam , quantum hinc media insimam , ope resolutionis aequationis quadrata variabilesy ct et per novam X exprimi Poterunt. Si enim ponatur y - xs , divisone per minimam ipsus rpotestatem iam , valor ipsius r per x , ope extractionis radiacis quadratae exhibebitur , id quod ex sequentibus exemplis erit manifestum. Ex EMPLUM I.
65쪽
46 DE TRANSFORMATIONE FUNC. PER SUBR
Y am V ΗΗ β α' 'h fctu . EY quibus exemplis usus hujusmodi substitutionum abunde perspicitur.
De explicatione Functionum per series insinuas. 19. CuM Functiones fractae atque irrationales ipsivis r non in forma integra A H- B ε D f in &c. continentur , ita ut terminorum numerus sit finitus , quaeri solent tutiusmodi expressiones in infinitum excurrentes , quae Vulorem cujusvis Functionis sive fractae sive irrationalis exhibeant. Quinetiam natura Functionum transcendentium melius intelligi cet setur, si per ejusmodi formam, etsi infinitam, eXprimantur. Cum enim natura Functionis integrae optime perspiciatur , si secundum diversas potestates ipsius r explicetur, atque adeo ad formam A H- Br Φ C ε De Φ &c. reducatur , ita eadem forma aptissima videtur ad reliquarum Functionum omnium indolem menti repraesentandam , etiamsi terminorum numerus sit revera infinitus. Per1picuum autem est: nullam Functionem non integram ipsius r per numerum hujusmodi terminorum
66쪽
Functio soret integra; num Vero per hujusmodi terminorum chrIV. seriem infinitam exhiberi possi, si quis dubitet, hoc dubium -- per ipsam exolutionem cujusque Fumstionis tolletur. Quo autem haec explicatio latius 'pateat , praeter potestates ipsius rexponentcs integros amrmativos habentes , admitti debent potestates quaecunque. Sic dubium erit nullum quin omnis Functio ipsius in hujusmodi expressionem infinitam transmutari possit :A Bt ce ε Di in &c. denotantibus inponentibus α, c , γ , δ , &c. numeros quoscunque. 6o. Per divisonem autem continuam intelligitur fractionem c Ea c et resolvi in hanc seriem insenseam R iasia a c' Ζ' - - - , quod , cum quilibet terminus adsequentem habeat rationem consantem I : - , vocatur series geometrica.
Quamobrem esse debet a - α A , ideoque A - Δ, & coef scientium uniuscujusque potestatis ipsius i summa nihilo aequalis cst ponenda : unde prodibunt hae aequationes , α B - - cA - o cognito crgo quovis coeffcienteis C - c B - o facile reperitur sequens; si enim α D -- c C - o fherit coum ciens termini cujusque - P bE - - C D α O & sequens Q erit α. Q - - - ο&e. sive O - -
67쪽
Cum igitur terminus primus A sit determinatus - - ex eo sequentes littera: B, C, D, &c. .definiuntur eodem modo, quo ex divisione sunt orti. Ceterum ex inspectione perspicitur in serie infinita pro . inventa potestatis r coessicientem re - Φ-, ubi signum Φ locum habet si n sit numerus
par , signum - autem si n sit numerus impar : seu coessiciens 6 I. Simili modo ope divisionis continuata haec Functio fracta in senem ιnfinitam converti potes. Cum autem divisio sit taediosa , neque tam facile naturam seriei infinitae offendat, commodius erit seriem quaesitam finsere , atque modo ante tradito determinare. Sit igitur
Hinc erit α A a ; α B ε c A b ; unde reperiturA - -f- & B - - - ; reliquae vero litterae ex sequentibus aequationibus determinabuntur tu. C in cB H- γA- o hinc ergo ex hinis quibusque coem-ὰ D c C Φ γ B - o cientibus contiguis sequens reperi-αE--cD--γC - o tur. Sic si duo coem cientes contigui
68쪽
tur, sicque reperietur Suries infinita A ε ' - - C ' Φ μ' - dcc. CL p. IV.Functioni fractae propositae -'-- aeQuali S.
Cum igitur duo coessicientes primi A & B snt cogniti, si actio
tio quousque libuerit continuari potest. 61. Ex his jam satis intelligitur indoles Serierum infinitarum, in quas Functiones fractae transmutantur ; tenent enim ejusmodi legem , ut quilibet terminus ex aliquot p cedentibus determinari possit. Scilicet, si denominator fractionis propositae fuerit α. - , atque Series infinita statuatur
quilibet coessiciens Q ex praecedente P solo ita desinietur ut sit αQ Φ EP o. Sin denominator fuerit trinomium α. - ον - - γ tr , quilibet Seriei coefficiens E ex duobus praecedenti hus V & P ita definietur ut sit αR - - C Q - - γ P - o : simili modo si denominator fuerit quadrinomium, ut α - - - γα 'δ ' , quilibet seriei coetiiciens S cX tribus antecedentibus B, C &P ita determinabitur, ut sit αSA-c RH-γ v P mEuleri Introduc7. in Anal. in Da. G uit 2 Corale
69쪽
LIB. I. sicque de ceteris. In his ergo Seriebus quilibet terminus de terminatur Ex aliquot antecedentibus secundum legem quandam constantem , quae lex ex denominatore fractionis hanc Seriem producentis sponte apparet. Vocari autem hae Series a Celeb. MoIvRAEo, qui earum nates ram maxime est scrutatus , so-lCnt recurrentes, propterea quod ad terminos antecedentes est recurrendum , si sequentes investigare velimus. 63. Ad harum porro Serierum sermationem requiritur ut denominatoris terminus constans α non sit - o : cum enim inventus sit terminus Seriei primus A - - , tum is , tum omnes sequentes fierent infiniti, si esset α. - o. Hoc ergo casu excluso , quem deinceps evolvam , Functio fracta in Seriem infinitam recurrentem transmutanda, hujusmodi habebit formam b, t --; ubi primum denomi-
natoris terminum pono Σ- I , huc enim semper fractio reduci potest, nisi is sit - o ; reliquos autem denominatoris terminos OmneS tanquam negativos contemplor , ut Seriei hinc formatae omnes termini fiant affirmativi. Quod si enim Series recurrens hinc orta ponatur Aq-BrΗ-C - - - &c. coessicientes ita determinabuntur ut sit A - a
Quilibet ergo coefficiens aequalis est aggregato ex multiplis aliquot praecedentium una cum numero quodam , quem num rator praebet. Nisi autem numerator in infinitum progrediatur , Laec additio mox cessabit atque quivis terminus secundum legem constantem ex aliquot praecedentibus determina-hitur. Ne ergo lex progressionis usquam turbetur conveniet 'roo b c fle
70쪽
Functionem fractam genuinam adhibere : s enim fractio spuria accipiatur , tum pars integra in ea contenta ad Seriem accedet, atque in illis terminis , quos vel auget vel minuit, legem progresIionis interrumpet. Exempli gratia haec fraimo spuria I , praebebit hanc Sericm I ε 3ἔρεῖ Φ6 '
coefficiens est summa duorum praecedentium , terminus quartus 6 excipitur. 6 . Peculiarem contemplationem Series recurrentes merentur , si denominator fractionis , unde oriuntur, fuerit potellas. Sic , si ista fracto in Seriem resolvatur , prodit 1 - ας; ia -l--Φ 3 α' at, φ α' φ s α' ai. φε δ ε χ a b ε 3 b φ ε-bin qua coeffciens potestatis r erit nΗ-Gα a in nα' ' b. Erit tamen haec Series recurrens , quia quilibet terminus ex duobus praecedenti hus determinatur, cujus determinationis lex perspicitur ex denominatore evoluto I - χαῖ - - . Si Ponatur οι - I & I , abit Series in progressionem arithmeticam
cujus differentiae sunt constantes. Omnis ergo progressio arithmetica est Series recurrens : si enim sit