장음표시 사용
101쪽
p partio ἰ & quando dantur quatuor
quantitates, quarum prima habet tantam magnitudinem in ordine ad secundam, quantam tertia habet ad quartam, tunc hae quatuor quantitates vocantur proportionales. Ut metitus intergamus rotum m serram oportionum, suae in ter ae Lisssima Geometriae referuuetur prout e-riam revera funt altioris indaginis ;ilias explicabo aliquo me is, quo dum meo quidem aecis rem inuictu facilem reddet, quae ramen alias satis intricata videtar. - I. Concipiatur circulus , Ad per, motum Eneae a b circa punctum a descriptus; & similiter sit circulus e A e per motum puncti quod est in linea acb,
. am aris adhuc alia ubce moveri usque ad a eQ arcus bHae, appelletur Ss arcus e D e appelletur D; totus cinculus, B A nominetur A; totus circulus c D a vocetur Ad Iam si comparemus Q una parte totum circulum A ad
102쪽
arcum B; & ab altera parte totum Circulum A ad arcum D, manifesti apparebit circulum P habere tantam magnitudinem in o dine ad arcum B, quantam circulus A habet in ordine
ad arcum &si B est quarta vel si 'pars circuli A, B etiam erit quarta et sexta pars circuli Ad quod hac ra tione effertur, ut se fater A ad B, cst habet A ad D, & bre vitatis gratianos sic notabimus A. Sed A. 25.8. Si jam rationem invertimus comparando P ad A&D ad Aetiam manifeste videbimus,quod B. Aod D.
A. ita ut supposito in AE A. D, subito conclusionem inferre possimus inverreniuo e Ergo E. AI: D. A. s. Si instituamus alternationem
Comparando antecedens cum alio
antecedente, & similiter consequens cum alio consequente, concludemus alternando Ergo in A.: B. D. &hocamanifestium est: nam si totus
circulus A est duplum vel triplum vel quaecunque alia ratio sit) circuli in arcus B etiam erit duplum vel triplum vel alia quaevis ratio arcusn Hoc manifestum esse dico, quia
103쪽
duo circuli A&A descripti sunt permotum lineae a c b, ita ut dum is describit totum circulum in interea cdescribat totum uirculum A, & dum, describit arcum B. interea c etiam describat arcum D ct hoc per unum Communem motum circularem; nisi quod punctum c, dum tardius movetur quam punctum b qtiam minorem circulum in proportione ad tarditatem describat: Et similiter dum pumetum b absolvit arcum B, punctum e pari modo describit arcum D, qui erit minor in proportione tarditatis
. IO. Si comparemus differentias antecedentium . & consequentium cum ipsis consequentibus4 EX. gr. , A minus B,cum Aminus D, cum Videbimus etiam hid dari
nus H, B :: A minus D. D ς nan manifestum estareum , Ad qui est A minus Ea
1e habere ad arcum B, i ut arcus c Ae, qui est A minus 2 se habet ad arcum De Et huς dicitur seri dividendo. H. Si
104쪽
II. Si conjungimus antecedentia& consequentia atque ea compar mus cum consequentibus habebimus
A plus N. B A plus D. D ; quod
dicitur fieri componendo. Ιχ. Si concludimus A. A minus B:: A. A minus D, hoc dicetur fieri
13. Si fumantur plures quantitates quae sint propor- tionales binae ac binae B.f:: D. idcfger i. n& c. tunc pollumus concludere sumendo primas & ultimas, P. g:: D ns & dicetur ratio ex aequo omaenata.
Propositio quae sequitur paulo in. tricata est, sed non est magni momenti & omitti potest. 14. Sed postquam sumsimus f. g:: o. D, id est; ut se habet penultima ad
ultimam in primo ordine: sic alia quaedam quantitas o se habet ad primam secundi ordinis, tunc concluditur et Ergo B. g :: o. r, id est, ut prima ad ultimam in primo ordine: Uc haec alia quantitas o ad penultimam se-
105쪽
eundi ordinis: & haec comparatio appellatur ex aequo perturbata. Veis rum hoc semper concludi potest :nam quia f g vel i. n::α D etiam
multiplicentur hae duae magnitudines B & D. si modo aequaliter multiplicentur, tunc semper prodibit eadem ratio inter magnitudines aequaliter Uultiplicatas & magnitudines simplices. Magnitudines aeqnaliter mulistiplicatae appellantur aeque miasti iaces simplicium B & D, & aeque multiplaces inter se esse dicuntur ut sim
I6. Si dividatur B eadem rati lae ac D ct sumatur ex. gr. parS quarta de Γ, & quarta pars de v, vel etiam decima , B vel decima a D, et alia quaeris para; Hae partes habebunt
106쪽
dem rationem inter se ac tota.
II. Multiplicare lineam per aliam lineam, est producere parallilogram. mum rectangulu quod e . Pro duobus lateriaus lGL -
contiguis has duas itineas habM. EX. M. Iumultiplicetur linea A Bper lineam m& fiat rectanguliun abod , ita ut a b velo ae sit aequalis AE &o ae vel ae sit aequalis B. IS. Multiplicare rectangulu vel alim superficiem per lineam,est nihil aud quam producere parallelopipedi cs.s cujus basis est lia superficies& altitudo perpendi- GCularis haec linea. M. A gr. multiplicetur Loerficies abaeo perli- ,4 ream m&fiat selicium Ri bfeb &c. ita.ut basis illius si superficies ad, Maltitudo a e vel , faequalis E. 19. Ut has multiplicationex bs e concipere possimus, necesse est
107쪽
imaginari duas lineas, ac si haberi latitudinem atque earundem tota longitudinem dividere in parva qiudrata, ceu vides in his figuris, ubi AG rrnia est linea vel potius re
, alia regula constans 'ua- tuor parvis quadratiis ei jusdem latitudinis cum tribus quadratis regulae A. Iam igitur multiplicare A per Γ, vel B per A, est nihil
aliud, quam sumqre regulam B toties, ac sunt quadrata in A,vel etiam sumere A toties, quot sunt quadrata in B e quod ad idem recidit. Sic B su.mtum ter essicit primum rectangulum, quod continebit duodecim quadrata : & A sumtum quater constituet secundum rectangulum, quod etiam continebit duodecim quadrata, ct erit in totum aequale primo. ΣC. Notandum est, eandem multiplicationem nihilominus fieri, etiansi in longitudine lineae non exadu
inveniatur certus numerus ParVO-
rum quadratorum , ut si in A, ex. gr
108쪽
essent tria quadrata & in B quatuor& dimidium, vel quatuor, & alia pars aut eXcessiis quis unque, hic notatus per aes vunc B ter saltim sumitur, ut multiplicatio fiat B per A, &compositum erit primum rectangulum duodecim quadratorum & trium excessiam ceu particularum ae Simi- .liter multiplicando A per E, id est, sumendo sequater cum dimidio, vel cuater cum tali excessu ae, resultabit secundum rectangulum etiam constans duodecim quadratis & tribus d. 2I. Si concipiamus lineam S ad dimidium se contrahere, ita ut, ma- mente longitudine semper eadem,postea habeat octo parva quadrata, id est, longitudo sit octies major latitudine,) etiam se iuςxu , si Aciae m
eadem ratione se contra- lii m
i, at latitudo A, dari in illa sex parva quadrata: 1-eta ut si nunc multiplicetur B per A, vel A per B,oritntur duo rectangula in totum aequalia duc ius prioribus. Nam Hsumta sexies facit primum rectangu D - tum
109쪽
lum constans 8. quadratis; & Asumta octies facit secundum rectan gulum etiam constans q8. quadratis;& haec 8. quadrata ncc plus nec minus valent quam duodecim illa praecedentis rectanguli, quia unum horum duodecim respondet quatuor ex 48, ceu in figura videre est, sic quaecunque tandem latitudo etiam miniama hisce lineis detur, eas in infini-αum contrahendo, manifestum erit, rectangula quae per multiplicationem ab illis prψducuntur semper esse eadem. Hinc Audacter lineae ut in divisibiles assumi & inter se multiplicari possunt,cu ex illis rectangulu emciendu est, quia nunquam magnitudo hujus rectanguli Variatur, licet vel minima latitudo lineis relinqflatur. ΣΣ. Facillimum est omnia haec a plicare multiplicationi sotidorum :sed loco quadratorum,concipi debent cubi: nam si concipiatur superficies constans duodecim cubis.& ex altera parte linea constans duobus cisis, multiplicari poterit superficius duodecim cuborum per lineam duorum sumendo ςandem si persciem toties,
110쪽
quot sit ni parvi cubi in linea, id est, bis, & tunc resultabit solidum
constans viginti quatuor parvis cu-
Σῖ. Ex his omnibus apparet haec parva quadrata & cubos an multiplicatione linearum & superficierum, respondere unitatibus in multiplicatione numerorum: nam multiplicare numerum per alium, eX. gr. 3 per x, nihil aliud est, quam sis mere 3 toties, quot sunt unitates iu r, vel sume re s toties, quot sunt unitates in a. & productum erit Is. Sicut mul-aiplicare lineam per aliam, est nere alteram illorum toties quot sunt quadrata in altera ; ct multiplicare superficiem per lineam, est iumere superficiem toties quot sunt cubi in linea. Alio in loco sermo erit de multiplicatione fusescierum per superficies,vei per BD a, ex sua restillani compo-μa, quae appetuntur plurium quam trium dimensiotum. QΣ . Omnes magnitudines exprimi possunt lineis: ut si magnitudo quaedam dubpla est vel tripla alterius, vel