장음표시 사용
111쪽
in quacunque alia ratione, saltun sinmantur duae lineae, quarum altera dupla sit vel tripla alterius, Vel in quacunque alia ratione simili cum Tatione magnitudinum. Sic ad expe-
menda duo tempora, eX. gr. horam& duas horas; vel m. duas accelera, tiones sive velocitates, quarum altera sit dupla alterius, saltim suma tur duae lineae a dupla b, & poteris
dicere a repraesentare duas horas, vel majorem accierationem, & is respondere uni horae Vel minori accle- rationi, & cum illis lineis agere accum ipsis roris &c. 2y. Ad cognoscendam proportio-Nem rectangulorum, necessum est scire rMionem longitudinis unius Id longitudinem alterius, & praeterea rationem latitudinis unius ad latitudinem alterius, ex. gr. ad cognoscendam rationem rectanguli ac ad G A rectangulum g , non
e sussicit scire longi tudi e nem δὴ esse triplam it i long. e h, sed praeterea -τ F scire debemus a esse duplam et: nam si sumatur a i m- ' qualis
112쪽
qualis e f, rectangulum ba erit triplum rectanguli eg, quia a b est tripla e δε &ai aequalis es Et ulterius, quemadmodum id etiam est aequalisa 6 Vel e quia supponitur ba ae esse
dupla at vel PL) rectangulum scetiam erit triplum rectanguli eg. Sic totum rectangulum ac est bis triplum rectanguli eg, id est sextuplum sive continet sexies rectangulum e g.
Quod dico de ratione dupla & tripla latitudinum & longitudinum, idem quoque intelligi debet de quivis a- α Ita ratione: nam si a b est quadruplae Θ & a tripla es rectangulum a cerit ter quadruplum rectanguli eg, id est, duodecuplum ipsius eg, vel continebit illud duodecies. Sed si a b
tunc fiet certa compensatio. Nam si respectus saltim habeatur ad solas latitudines ab&eh, rect- 'rii
& duodecies aequat; ab Ualtera parte nitalominus amittit hunc excessum in altitudinibus ad & es, dum rectangulum egalterum aequare debet tribus vici-
113쪽
bus. Si jam comparemus excessiim& defectum, cum rectangulum a c sit ab una parte duodecies majus, & ab altera parte trabus Vicibus minus, Testat illud tantum esse quatuor vicibus majus eg. 26. Hoc intelligimus, quando dicimus rectangula esse in ratione composita laterum : nam si ab est tripla H - Leh& ad dupla es, re-x--l diangulum a e habebit - ea μ' rationem compositam
J F tripli & dupli ad remn-gulum eg, id est, erit bis triplum,uel
ter duplum, Vel uno Verbo sextuplum. Similiter si est quadruplae'. & ad tripla e s rectangulum ac
habebit rationem compositam qua, drupli & tripli ad rectangulum eo id est, erit ter quadruplum, Vel qua ter triplum, vel uno Verbo duodecuplum. Similiter si a b est duodecu. plum e /,S: σά subtriplum G id est, e s sit triplum ad) ratio rectanguli
ac ad rectangulum egerit composita ex ratione duodecupla & ratione subtripla, i. e. ac erit duodecies subtriplum, Vel vice versia, Vel uno verbo
114쪽
Si tertia pars thaleri duodecies smmatur, refultant quatuor thaleri; ita ut quatuor thaleri sint duodecies subtriplum thaleri, i. e. faciunt duodecies
tertiam partem I haleri. 2.I. Exinde apparet, si latera duo rum Iectangulorum sunt reciproce proportionalia, rectangula esse aequalia : nam si a b est dupla eb, is ssit vero reciproce hg dupla lue o, vel etiam si ab est tri- o lipta e b, & hg tripla bc, vel
nem habuerit a b ad e h, eandem etiam habeat hg ad bc, manifestum erit,quantum rectangulum a c excedit alterum in longitudine,tantum idem excedi in latitudine. Dum sic longitudo compensat latitudinem, inter se sunt aequalia. Exinde deducitur haec propositio maximi momenti. 28. Si sunt quatuor magnitudines proportionales, id quod is bProvenit ex multiplicatione duarum mediarum,sem- el l .pe r aequale est ei, quod pro- ducitur ex multiplica1one X reduorum extremorum; ut si a b. e h . .
115쪽
/g. bc, dico, ex multiplicatione ab& bo oriri rectangulum ac, & e X multiplicatione mediarum eb de hgoriri. rectangulum e g, & haec duo rectangula ac & eg eile. aequalia. 6. Σ.) Quod fit per lineas & rerungula, fieri potest per quamcunque aliam magnitudinem, quia omnes magnitudines possunt exprimi per lineas,& omnes multiplicationes magnitudinum per multiplicationes linearum, i. e. per rectangula. 6. 24. 29. Quando rectangula habent Iatera proportionalia, ita ut a b. e Θ πο Κ μ est anc diciturl l rectangulum a cq is esse in ratione δε-- plicata laterum ad rectangulum e grnam ratio ac ad e g est composita ex ratione a b ad e ri & ex ratione a da des 6. 26. Sed ratio ab ad e hhic est per hypothesin eadem cum ratione ad ades: Et sic ut habeamus rationem rectanguli ac ad rectangulum eg, sussicit bis sumere rationem a b ad e h. Ex. gr. Si, ab est dupla e ri& ad est dupla ς , rectangulum a c
116쪽
erit bis duplum, i. e. quadruplum re- .ctanguli e g. Et si a b est tripla e h laad tripla e f; erit a c ter triplum V, id est, nonecuplum: Et si a b est qua- .druplum e 4 erit a c quater quatruplum i. e. sexiecuplum e g. 3 o. Si sumatur tertia quaedam proportionalis no, ita ut a b. eh ἰοῦ eib. no, duo rectangula a c & eg erunt ut lineae ab diano. Nam
ab ad no est in ratione R. duplicata ab ad e h. Et si ab est dupla vel tripla, vel quadrupla e δ, erit ab bis duplnm, ver ter triplum,
vel quater quadruplum v o. 3I. Rectangula illa, quae hac ratione latera proportionalia habent.. ab. ehre ad es appellantur milia Aquo 'im latera homologa sun villa, quae in proportione si
117쪽
ab est dupla vel tripla e h ; erit etiam a m dupla vel tripla hi, quia a est aequalis a b & h i aequalis e h. 33. Rectangula similia inter se simi, ut quadrata 1uper illorum late. Ta homologa consti tuta. Dico rectanguli uia ac esse ad rediangulum V, ut quadratum , vj ad quadratum ei nam tam quadrata quam rerungula,
3 . Ad cognolcendam rationem duorum solidorum parallelopipedo rum rectangulorum, necessum' est scire rationem baseos unius ad basin alterius, & praeterea rationem altitudinis unius ad altitudinem alterius '. quia ratio unius solidi ad aliua composita est ex rationibus lungitudinum, latitudiuum, & altitudinum ', quod facile intelligitur ex dictis de rationibus rectangulorum. Nam sa parallelopi pedum basin habet duplam haseos alterius paraselopipedi, &altitudinem triplam altitudinis, pri- mum erit bis triplum, vel ter duplum, vel uno Verbo sextuplum alte
118쪽
3s Si bases duorum parallelopi- pedorum 1eeiproce sunt uti illotum aliatudines, paralla pipeda sunt ae-l qualist. Hoc problitur ut vigesima septima hujus libri: nam quantum uinnum excedit alterum in latitudine -& longitudine, tantum, reditur inl
36;- Quando paralleloisipeda rectangula habent omnia latera proportionalia , appellant v milia & fiant in ratione triplicata suorum laterum,ut diximus de parallelogrammis rismatis duplis M. ' laterae homologa constituti : nam tum cubi quam parallelopipeda sunt interi se in ratione triplicata laterunt
119쪽
se habet ad basio b c. Ud si, ex. gr. ab est dupla Ac bis etiam erit. duplum B; b sit tripi , Vel quadrupla b c erit etiam A triplum vel quadruplum B e nam Anihil aliud est quam linea ab multiplicata per lineam a II. & B nihil a-.Iiud est, quam linea b c , multiplicata per eand. a d vel e b ipsi aequilem. E. 6as. A. B. b. b c. κ 39. Omnia parallelogramma, quae sunt in eisdem parallelis, sunt intero in o a se ut illorum bases. Di P eo parallelogrammym
rectangulis punctatis super easdem bases, erunt illa rectangula aequalia parallelogrammis. 3 y ήλβω h. rectangula sunt ut iliorum: byses: per praecedente m)Ε. parali isgram ma etiam sunt ut illorum bases, nim.
o. Triangula in eisdeni parallelisia construita sunt ut bases ; sunt enim semisses parallelogrammor
120쪽
AI. Quando triangula habent bases suas in eadem linea recta, & eo rum vertix. incidit; in idem punctiunc censentur esse inter easdem P rallelas, uita de & caee, vel etiama de & , α. 42o Sib in triangulo ducatur line parallela ad besin, haec propostionarirset μὴ tri 'guli ur i , Sit triangulum ab c & linea de parallela ad bsidium a d. a e re a b. ac. & π db. eo. Nam si cunicipianing lineaeci & 'e triangulum ced erit ad triangulum, , ut c e ad ea st o ει, bimiliteritriangulum , de ad trianguIum da si est ut bd ad da. Sed triangulum. ced est aequale tri angulo bde; a..16A v. stiam trian