장음표시 사용
141쪽
constituet rectangulum, cujus alterum latus est 12. & alterum Vid. M. sequentes B ct C. . , Ia. Numerus quadratus est planum, cujus latera sunt aequalia, ut
4. resultans eX multiplicatione a. per Σ. ut 9. proVenies eae 3. per 3. ut 16. eX Φ. per ψ. Sc. . .. 13. NumerHS quadratus collocari
potest in sormam quadrati ' ω -- merus qui collocari potest in formam quadrati, est quadratus, & qui non potest hac ratione collocari, non est
I . Numeri plani similes sunt, qui
collocari possunt in formam rectangulorum,
quorum latera sunt proportionalia ut 0. & 8. Ram latera plani I 2. sunt. . . N Σ.
ceu videre in figura F. di latera pia
142쪽
ni 48. sunt 1 a. & 4. ceu videre est in figura c. sed 6. 2:: Ia. q. 16. Omnis humerus collocari potest in forma lineae rectae, & in hoc statu haberi potest pro plano : hinc g. in figuras erit planum simile 42. nam latera plani g. sunt 3. I. quia
semel ter facit ter,a latera plani I 2. sunt 6. & χ. sed 3. Ir: 6. 2. II. Dantur numeri, qui non sunt plani similes, ut ab I. usque I sunt I. q. s. qui cum quadrati sint, similes sunt; postea sunt a. 8. qui habent unum latus duplum alterius :reliqui non sunt plani similes, ut 2.
s. 6. I. 18. Si numerus quadratus multiplicet alium num . quadratum, pro ducetur tertium quadratum. e X, gr. A. q. & H. 9. sint numeri quadrati di se multiplicent, producantque numerum C. nim. 36. Dico hunc numerum tertium esse 'um dratum: nam multiplicare N per A est sumere
B toties, quot fiant unitates in A. Sed totum niNmerum B. 9 considerare possum tanquam
143쪽
quam quadratum unicum, illudque toties sumere, quot sunt unitates fparva quadrata in Ae & quemadmodum unitates in A sunt positae insormam quadrati; sic etiam toties quadratumBponere possum,tanquam tot unitates: hinc erunt B. quae constituent quadratum totum C 36.19. Si sint duo numeri plani similes, major dividi potest in tot qua-dgata, quot sunt unitates in minori. A. 3. & B. ΙΣ. sunt plana similia: ita ut latus 3. ad latus C. sit ut latus
in tria quadrata similiter locatλut tria parva quadrata plani A. &quodlibet madorum quadratorum in respondebit . illorum in A. Similiter si plana sunt 8. & Σ. possum dividere 72. in 8 quadrata, quorum quodlibet continebit s. illorum in minori plano 8. Idem etiam accidet, si vel unus vel ambo sunt numeri fradii, ut si A continet g. cum dimidio & cti . possum dividere I . iun
144쪽
tria quadrata cum dimidio, eodem modo disposita ut in A, ceu videre est in parvis quadratis punctatis,quae figuris adjecta sunt. Similiter si plana sunt B. Ιχ. & D. 2I. possum diuidere 2I. non tantum in tria quadrata eodem modo disposita ut illa in A, sed etiam in 12. eodem modo, posita ut
1lla in B rquod vide- Ire est per
ctatas. Ad hoc praestandum, tantum dividuntur latera majoris plani in tot partes, in quot sunt divisa latera homologa minoris plani. Figurae ipsae rem totam facilem reddent.
2O. Numeri plani, qui sic dividi
possimi, ut tot sint quadrata in majori plano, quot sunt unitates in minori, sunt similes: haec est conversa praecedentis. 2I. Duo numeri similes in se mutuo multiplicati producunt numeructuadratum. Nam diviso majori plano in tot quadrata, quot sunt unitaterin
altero plano I. I9. Multiplicctitur
145쪽
planum per aliud, si majora quadrata majoris plani toties sumantur, quot
' sunt unitates vel parva quadrata in minori plano, id eu, toties quot sunt ipsa. Sed multiplicare numerum quadratum per eundem numerum, nihil aliud est quam constituere quadratum ex quadratis. Ex. gr. A. 3. & B. a. . eum sint plana similia, considero B. a I. ut planum compositum ex tribus majoribus quadratis, ut A. 3. est planum compo tum ex tribus unitari tibus, vel tribus par- i i vis quadratis. Si jam sumo haec tria majora quadrata toties, quot sunt unitates in A, id est,' ter, tunc produco ter tria quadrata majora B, i. e. 9. quadrata, quorum quodlibet respondet s. illorum, quae sunt in A, & omnias. quadrata in B respondebunt 8 r. illorum in A ; ita ut A. 3. multiplicatum in B. 2I. producat 8 I. qui est numerus minorum quadratorum informam quadratam dis sit , & per consequens I. 1 3. hic numerus 8 I. est quadratus. Similiter si plana fiunt Π
146쪽
I a. & D. et . divido 2 7..in I 2. quadrata, quae multiplico per Ιχ. & re. sultant I majora quadrata posita in formam quadrati, quae respondent 3 et illorum in minori plano. 22. Si duo numeri plani sint similes, quacunque ratione unum disponatur, eadem ratione potest disponi alterum. Sint r. & IΣι plana similia ut suprL Si disponantur xΣ. in lineam rectam ad constituendum rectangulum, cujus latus unum sit Ia. &alterum I. Dico etiam 3. posse disponi in rectangulum simile, cujus latus unum habebit 6. & alterum seniissem
23. Si numerus dividat alium numerum quadratum, producet numerum tertium, qui erit planus similis divisori. Sit quadratum ac I 6. & di-
Vidatur per quemcum que numerum eX. gr.
sumatur octava pars lateris a Mnimirum ae& ducatur parallela a ces; nam resultabit planum a quod erit octava pars quadrati ac: Seci di-
147쪽
videre numerum vel planum per 8.est sumere octava partem hujus numeri sive plani. Dico Uesse planum simile ad 8. Nam cum 8. sit dispositus in lineam rectam ad-constituendum rectangulum, cujus unum latus sit 8. & alterum I. rectangulum afipsi erit simile, ouia a e sumta est o-Gava pars ab a a vel a be Ergo ut 8.
ad x. quae sunt latera plani 8. divisoris Sic a b ad a e quae sunt latera plani provenientis ex quadrato a cdivisi per 8. Ergo &c. Q E. D.
Σ . Si duo numeri plani se mutuo multiplicantes producant quadratu, sunt umiles. 27. Duo numeri plani non similes se mutuo multiplicantes,non possunt
producere numeru quadratu .Hae propositiones sunt corol.praecedentium.
' cunque, sunt --a etiam plani
similes. Sint plani ab c d a. & ABCD
148쪽
BCD 1Σ. similes, ita ut a b. A Barbo. B C. Dico si sumatur duplum unius & duplum alterius vel quivis alius aeque multiplex) haec dupla rviat similia : Nam sumta ae dupla ari & A E dupla AD, ad constituendum planum be duplum plani bae ct planu . duplu planiBD,manifestum est ut ad AD:e a e.AE. sed a d. iA 2 ta ab. AN. Ergo etiam ae. A Ee: ab. A B ; Et per consequens plana, e & B E sunt similia.' Similiter se habebit si sumantur illorum semissesbo, BO Vel quaevis aliae partes a
a. . Si duo numeri sint plani non similes, eorum aequἡ multiplices quicunque, & eorum partes aequales quaecunque etiam erunt non similes. Hoc sequitur ex praecedente. 28. Inter duos numeros planos λmiles quoscunque, incidit numerus medius propor- A B
miles Σ. & 8. 13 EDico possibile esse invenire tertium numerum qui medius proportionalis
149쪽
erit: nam si concipiatur planum 3. in lineam rectam A ct dispositum,&planum a. etiam in lineam rectam Ai ex his duabus lineis fiat planum AC I6. hoc planum AC I6.
proveniet ex multiplicatione duorunumerorum 2. & 8. 6. II. & seqq. ct per consequens numerus parVO-rum quadratorum totius phani AC I6. erit numerus quadratus, I, 21. in & potest disponi in figuram quadrati I. 13. Sit igitur dispositus in figuram quadratam sci Sie quadratumae erit aequale plano AC, quia est i- .dem numerus aliter saltem dispositus. Ergo latus ab . erit medius proportionalis inter A v Σ.
29. Inter duos numeros non similes non potest cadere numerus medi' us proportionalis. Sint numeri ψ. &6. in lineam rectam dispositi, & se
mutuo multiplicantesproducant planum μ. hoc planum 26. non est nu-
150쪽
consequens non potest disponi ut numerus quadratus. Ergo non potest haberi numerus medius inter ψ.& 6. Nam hic numerus qui nunc concipitur medius multiplicatus per se ipsum, produceret numerum quadratu m, aliunde aequalem plano ex
quia planum et . ex 4. &6. productum non est numerus quadratus. 3o. Sint duae lineae a e & e G ut numerus ad alium numerum non similem: G. gr. ut I. ad 2. Sit praeterea eb media propor- stionalis, ita ut a e. e brr eis. ec. Dico e besse incommensurabilem duobus e tremis a e & eo a nam
cum a e & ec sint ut 1. & 1. id est, ut numeri non similes per hypoJbe sin) aeque ae illorum aeque multipli-cζs quicunque, I. 27ὶ nunquam er1t possibile invenire pumerum medium proportionalem inter a e & ec, per praecedentem & per consequens e bnon erit ad 'a e vel e c ut, numerus ad numerum: Ergo illa est incommensurabilis. II.