Elementa geometriae, in quibus methodo brevi ac facili summe necessaria ex Euclide, Archimede, Apollonio, & nobilissima veterum & recentiorum geometrarum inventa traduntur per P. Ignat. Gaston Pardies S.I. gallico idiomate conscripta

161쪽

2. I

, dic a ε 1 60. Progressis Geometrica potest augeri & diminui in infinitum. ib. Quando profressio incipit

ab i. secundus termInus appellatur radii vel latus: tertius appellatur quadratum vel secundus gradus.: quartus, cubus Vel tertius gradus: quintus quadrati fuadratu. vel quartus gradus,sextussursiaidus vel quintus gradus, septimus quadrati cubus

ix. Si sumantur quatuor termini, quorum duo priores tantum distanta se invicem in progressione, quantum duo posteriores, erunt simpli- Celer proportionales, di produinim extremorum erit aequale producto thediorum 6. 28.)1a. Sit Quantitas AB divisa in ME

162쪽

per consequens alternando C B. DCor AC. A D vel I AB. AC. Sic de omnibus aliis probabitur : DC.ED.

13. Sit progressio quantitatum in linea recta BC, CD, DE, EF, &c. Et sit sumta C ae aequalis termino secundo CD, ut habeamus. B, disserentiam primi & secundi termini, &fiat ut BE ad BC:: sic B C ad aliqua quartam lineam, nimirum B A. Dico si numerus terminorum B C, C D,DE&c. sit finitus, licet quam maximus sit, omnes hos terminos simul sumtos, etiamsi illorum sint centum mille milliones, fore minores B A. Si quiς supponeret esse hos termisia . F Φ i

163쪽

infinitos in multitudine ; tunc hi termini simul sumti essent praecise aequales B A :- Nam qui per hypothe

tu numerus terminorum; Et sic quidem videmus omnes hos termi-n qui in schola appellantur par- thyi ρήrt Dralis si actu infiniti e L stiri; non iacere longitudinem infinitam, quoniam sit ut ii clusi in B A. .r Haec demonstiatio facilior redditur in exemplo progressionis particularis, cujus termini sunt in ratione dupla, ex. gr. BC. dupla CD.& C D. dupla D E. &c. nam si numerus terminorum est finitus, etiamsi illorum essent centum milliones, &sumatur terminus ultimus & minimus,.ςX, gr. F E, eique ad jungatur

alia quantitas ipsi aequalis, scit F A; manifest m*R E A esse aequale pen-

164쪽

ultimo termino ED: nam penultimus ED est duplus ultimi F E, per hypothesin. Sed EA etiam est duplus F E, quia ponimus F Α aequale E F. Similiter A E cum D R ia est, A D. erit aequale sequenti termino C D:& tanclem A C erit aequale BC. Ita ut exindε videre liceat primum &maximum terminum semper aequalem esse omnibus reliquis simul sumtis, modo addatur quantitas aequalis .

ultimo & minimo termino :Verum siisihil addatur,primus semper erit ma jor omnibus reliquis simul sumtis. Si quis supponat hos terminos esse actu infinitos, tunc maximus BC erit praecise aequalis omnibus reliquis infini

nam quivis facile videt quo plures adjiciuntur termini eb magis appropinquari versus A, dum semper medietas quae restat diminuitur. Sed quando continua quantitas diminuitur medietate, & residuum iterum medietate& sic porr manifestum est, - F x . si

165쪽

si supponatur actu infinities meditate fuisse diminutam,mihil tandem restare Ilocetiam demonstrari potest per deductionem ad impossibile monstrando omnes hosterminos infinitos simul sumto S, que esse majores neque minores A B.

Is. Exinde resolvi possit ni diff- cultates quae in scholis moventur contra divissibilitatem continui, &a Geometriae ignaris pro insolubilitibus habentur,cu tamen in rei Ves, late nihil sint qua meri paralogismi.

16. Si ponantur duae progreluones, altera Geometrica incipieno ab 1. & altera Arithmetica incipiendo ab o. ita ut termini unius re 1 pondeante regione terminis alterius,tunc te mini arithmeticae appellantur Loga rithmi, & exponent , ut

1 . Quod in progressione Geometrica, peragitur per multiplicationem & divisionem, id in Logarith- mis absolvitur per additionem &subtractionem ut si e sient tres numeri x. & 8 :: 6 . & desideraretur

quaris

166쪽

GEOM. LIB. VIII. 14

quartus numerus proportionalis in progressione Geometrica, necessiim

erit multiplicare 8. per 6 . utpote 'qui sunt duo termini medii) nam pro- duetum s I et erit aequale 6. 28 producto ex. a. & alio quarto munero, tanquam extremis quatuor proportionalium: ad inveniendum Vero quartum hunc numerum, duntaXat ne- necesse est dividere 3 Iχ. per a. &prodibunt a 3 6. eritque tota ratio 2. 8 :: 6 . 23 6. ita ut 6 . & as 6.

tantum a se invicem disteni in ordine progressionis, , quantum 2. A 8. 8 al.) sed si loco numeroru Geometriincorum x. 8 :: 6 sumti fuerint Logarithmi ipsis re1pondentes, nimirum 3. 3 :: 6. & quis vellet quaerere LO-garithmum quartum, debuisset addere 3. & 6. ut prodeant s. & subtrahere I. des. ut prodeant 8. qui esset Logarithmus numero Geometrico

236. respondens.

18. similiter si sumantur duo numeri Geomctrici . & 8. quibus re spondent Logari thmi et . & 3. multi, i atis q. per 8. prodibunt get . qkli Iespondent Logarithmo qui e S

additione a. & 3. Oritur.

167쪽

19. Similiter si sumantur I 6. &multiplicentur per seipsos, resultabunt 23 6. qui respondebunt Logarithmo 8. qui exinde oritur si . sibi ipsi addatur.eto. Si quis desideraret numerum GeometricumLogarithmo i 6. res Ondentem deberet 1 umere 2y6 quI respondet 8. & illos in se multiplicare, & prodibunt sirs 36. xi. Si quis etiam desideraret numerum Geometricum, qui respondiret Logarithmo 23. debet sumere duos Logarithmos, qui simul sumticonstituant χῖ. ut 7. & i 6. & inter se multiplicare numeros Geometricos ipsis respondentes, nimirum I 28

responcieret af Logarithmo, id est, quod vigesimum quartum .loeum, post numerum primum L habere de

bet.

et x. Exinde videre est qua ratione facile quis respondere possit quaesti ni quae ordinarie proponitur, quantIVaeniret equus, si hac conditione mmeretur, ut pro primo clavo solva- iur

168쪽

tur teruncius & pro secundo clavo duo teruacii pro tertio quatuor, pro quarto octo, & sic usque ad vigesimum quartum: Nam vigesimus quartus constabit 83886o8 terunciis, id est, 699os libris 8. terunctis. & duplicata hac summa juxta 8. I . prodibit totum equum constare Iῖ9

13. Si quis haberet in magnis i bulis alicujus libri duas progressiones longas jam absolutas, i Geometrica Arithmeticae responderet; poΩset quis in numeris Geometricis inveniendis calculandi labore supe sedere': nam si quis daret hos tres numeros ῖΣ. 6 . I 28. & desideraret quartum Geometricum; loco multiplicationis 6 . per xx8. & divisionix ,

producti per 32. quod in magnis

numeris maximε molestium est saltim sumantur Logarithmi trium numerorum datorum, nimirum S. is. I. addantur 6. & & a producto iῖ. subtrahatur s. restabitque 3. Logarithmus quarti numerI Geometrici : consule dein tabulam & respondebit Logarithmo 8. numerus GemmetrIcus 2 . Sed

169쪽

. Sed quoniam in tali progressione Geometrica omnes numeri non occurrunt, hoc invenerunt medium constitueruntque duas progressiones, quarum altera, quae continet omnes numeros I. Σ. 3.ε. s. &c. & Videtur

esse progressio Arithmetica, nihilominus proprietates habet Geometricae ; ct altera quae continet numeros apparenter maximἡ irregulares, n1hilominus est progressio arithmetica. Ecce lineam quae perfecte continet omnia haec mysteria.

Sit linea recta A E divisa in

170쪽

partes aequales AB, BC, CD, DE, &c. Per puncta A, B, C, &c. concipiantur lineae rectae Aa, Bb, Cc pa-'rallelae inter se,sintq; in progressione Geometrica : Exempli gratia, si A afuerit r. Bb Io. sit C c roo. D EI OOo. E e, a oo oo M. habebimus d as linearum progressiones, alteram Arithmeticam, alteram Geometricam : Nam lineae A B, A C, A D, AEerunt in progressione Arithmetica, ut I. 2.3. q. & sic se praesentabunt garithmos, quibus respondebunt lineae Geometricae A a, B C c &c. 26. - Quaelibet partium ED, DC&c. sit aequaliter divisa in F, G, H&c. & sint ductae parallelae Fri Gg& mediae proportionales inter colla-

DE Gg. &c. denuo sint aliae mediae proportionales ductae per medium cu-

sic consequenter, usque dum lineae, parallelae sibi invicem maxime victinae fiant, & tandem concipiatur li

nea curVa, quae transeat per extremia 'tates omnium harum parallelarum

ς, L ., g, Sc. Hac ratione habebis