장음표시 사용
151쪽
31. Diameter quadrati ab est: in- commensurabilis lateris c. Nam sumta a d du-
ὰ N pla ac & facto triangu- lo ab ae, quod erit simi- le a b c, quia cum c d sits aequalis c b, angulus cae, est aequalis angulo e bae; 2. 13. Sic angulus c db est semissis recti aeque ac c a b. Ergo a b d eist rectus, &c. . . Sic si ab I ab. ad. Ergo a b est mea dia proportionalis inter ac I.& aEΣ. Et per consequens per praecede se teni incommensurabilis. 3α . Potentia lineae appellatur qua: dratum quod constituitur super illa linea. Potentia lineae ac est quadratum ac be, & potentia lineae ab est' quadratum ab V. Et linea ab dici tur bis posse lineam a ' qui mos loquendi a Graecis transumtus & in Geometriam 'ceptus fuit. 33: Diameter ab est commeusv-rabilispotentia latori a se id est, quadratum ab V est commensurabile
quadrato ab c e, cum unum sit duplum alterius. . '
152쪽
3Α. Sed si sumatut a o media proportionalis inter a b & aec, haec media a o erit incommen- o
est, quadratum lineae a ε erit incommensurabile quadrato ac,- Vel quadrato a b: nam quadratum a C ad quadratum a o est in ratione duplicata ac ad a o, 6. 29. in id est, ut a c ad a b, 6. 3o.) Sed ac est incommensurabile ab : I 3I. Ergo etiam quadratum a c etiam est incommensurabile qua
gr. Secunda potentia lineae est cubus, qui hanc lineam pro latere habet. 36. Si sumantur an & am, duae mediae proportionales inter ac & ab
a b. erit linea a n incommensurabilis secunda potentia ac, id est, cubus a c erit incommensurabilis cubo a π, quia cubus a P est ad cubum a n in ratione triplicata lateris ac ad latus a n, id est, ut a c ad a b. Sed ac &absunt incommensurabiles &c. Sunt Vero etiam ac&am commensurabiles secunda potentia, nam cubuS ameli duplus cubi ar. 3I
153쪽
a . Quae dicta sunt de numero plano facile applicari possiunt numeris solidis. Numeris Obdi appellantur illi, qui proVeniunt ex multiplicatione numeri plani per quemcunque
numerum : EX. gr. IR esst numerus
solidus ortus ex 6. qui est numexus planus multiplicato per 3. Vel ex s. multiplicato per Σ.
- 38. Numeri solidis iles sunt illi,
quorum parvi cubi ita disponi pos-1unt, ut constituant parallelopipedarectangula similia 39. Numeri cubici sunt illi qui disponi possunt in formam cuborum, ut 8. vel χ . quorum latera sunt χέο 3. bases Vero ψ. & 96o. Omnis numerus cubicus mul- . tiplicans alium numerum cubicum, producit testium nnmerum cubi-
I. Inter duos numeros solidos simi les, incidunt duo numeri medii proportionales. Saltem applicari iustent sol is, quoam demonWrata sunt
. in ordine ad pia . εχ. . Hae demonstrationes quibus
probatur dari lineas & magnitudi-
154쪽
nes incommensurabiles, probant etiam contis'm non esse compositum ex punctis' finit1s: nam si d1ameteraeque ac latus quadrati essent composita ex pundiis finitis, punctum metiaretur latus & diametrum: Nam pumetiun inveniretur certis aliquot vicibus in latere & certis quoque Victibus in diametro; quod est: impossibile per demonstrationes praecedem
43. Quia in triangulo rectangulo
quadratum lateris maximi est: aequale duobus quadratis reliquorum 4aterum, 6.61. Semper adhibitum fuit illud triangulum ad inveniendas incommensurabiles : nam si omnia tria latera sunt commensurabilia, poterunt omnia tria exprimi tribus numeris, & tunc quadratum maximimmeri erit aequale quadratis duorum eliqu*rum numerorum ; ut si maXLitum latus est pedum, minimum I mediocre quadratum eX I . eritas. & reliqua quadrata erunt s. & 6. & haec duo simul sumta s. & I6. constituunt tertium Σs. Sed si latus minimum est Σ. mediocre 3. maXi
155쪽
muni latus non poterit exprimi per numeros, quia quadratum minoris lateris q. additum quadrato mediocris s. facit 13. qui exprimit quadratum lateris maximi: Sed ut hic numerus I 3. non est numerus quadratus, sic etiam non potest habere latus sive radicem per aliquem numerum expressam. . Omni tempore selliciti fuerunt veteres in indiganda aliqua me, thodo ad inveniendos diversos numeros qui exprimerent tria latera trianguli rectanguli, ut securi esse possimushaec tria latera esse commensurabilia. En methodum,qua inveniri possunt omnes numeri possibiles huic
'Αy. Si sumantur duo numeri quicunque, etiam ipsa unitas, quorum differentia saltem est: unitas & conjungantur duo quadrata horum duorum numerorum ; resultabit nume rus qui erit radix quadrati aequalis duobus quadratis; Et hic numerus exprimit latus maximum trianguli rectanguli, latus mediocre e Xprime tur numero unitate saltem mino
156쪽
ri; & latus minimites per duos prB-
mos numeros sibi inv1cem additos. Ex. gr. suinis I. & α. & quadrato utriusque I. &4. conjungo haec duo quadrata T. & . & produco dico possit exprimere latus maXimum,& mediocre, & 3. minimum: ita ut 2y. quadratum maximi lateris sit aequale IS & 9. quadratis reliquorum duorum laterum. Similiter si sumo 2. & 3. eorumque quadrata ε, . & 9. conjungo, produco I 3. Dico 13.& rΣ. & s. exprimere latera trianguli rectanguli, ita ut I 69. quadratum de g3. aequale sit X q. & Sy. quadratis ex IΣ. &s. Similiter funitis 3. & q. eorumque quadratis s. & I6. additis producuntur Σs. Dico as .esse maximum latus trianguli, Μ. latus mediocre & I. minimum. Haec omnia facilius inveniantur hac
6. Si disponantur unitates decussatim, omnes numeri constituen- tes figuram quadratam erunt numeri ConVenientes ad exprimendum latus maximum. Latus mininum erit nu
157쪽
.oribus ordinibys figurae quadra , S
latus mediocre erit unitate minus
I. Si haec figura continuata fudi τit, dabitomnes numeros possibiles: Sed notari debet sequih multiplices trium numerorum inventorum idem Praestare ; ut inventis x. 4. & 3. eorum dupli Io. & 8. & 6. exhibebunt tria latera trianguli, ita ut oo. quadratum ex ro. sit aequale 6 . & 36. uadratis ex 8. & 6. Similiter eoriun.tripli ax; Ia.. . idem 13ςiunt: Qubvis enim videt omnes hos numnsos semper eandem servantea proportio-
158쪽
nem non nisi unum triangulum primere nimirum allud quod e rimitiar per 3.-.& 3.&sic omnes hi nu
meri debent haberi pro iisdem. LIBER OCTAVUS.
t. Mamre is est series quantitatum, A quae inter in invicem similem aliquam habitudinem habent,& quaelibet harum quantitatem appellatur
Σ. Quando termini se mutuo insequentes aequaliter Qxscutit vel decrescund; Progressio appellaturrit erica, ut sunt numeri natur liseri e procedentes I. Σοῦ 3. θ F. M.
vel etiam numeri impares I. g. 7. 7. 9. 11. &c. Vel etiam ut '. 8.12.16. vel etiam Σo. In Io. o.
3. Progressio arithmetica potest 'augeri in infinitum sed iis dimi
159쪽
sumantur quatuor termini, quorum . duo priores a se invicem tantum di- stant, quantum duo posteriores ; Hi quatuor termini dicuntur propomtionales in proportione arithmetica, ut in progressione numerorum natu-Talium I. a. 3 . q. t 6. I. 3. s. &C. Si sumamus 2. 3 ::: 9. Io. haec nota x in posterum indicabit proportionem arithmeticam erit eadem proportio arithmetica inter 2. 3. quae est inter s. & Io. id est, Io. excederς 9. tantum,/MRntum 3. excedit Σ. Similiter Io. sunt in proportione arithmetica. Sicut etiam am x :y. s. ubI y. bis repetitur &est medium arithmeticum inter I. 9. . i. s. In propositoue arithmetica aggregatum duorum extremorum est aequale μggregatoi duoquin, mediorum, ut in a. 3 ἰπ 9. Io. aggregatum ex Σ. & Ioc est Ia & aggregatum ex 3. & 9. etiam est Ιχ. Similiter in 7 .
1 g. & aggregato ex s. & 8. quoque esta a. Ratio hujus ex stiatis manifesta est, nam si io . excedit 8. etiam id quod additur 8. nimirum x. e X-
160쪽
cedit tantum illud quod additar I oc nimirum 3. &sic oritu aequalitas. 6. Aggregatum sive su mma primi& uittat termini est aequalis lumina*secundi & penultimi, vel tertii ante- penultimi &c. ut in primo exemplo T. & 9. faciunt xo. & similiter 2. &8. vel etiam 3. & I. Vel q. α 6. sempe fi su t. o. & in medio restat s. qui nias status tanquam respondens Gu- ob quia aequaliter distata primo& ultimo) etiam efficit o. I.Si addaturprimus terminus ultimo &multiplicetur illoru summa per semissem numeri te rminor u produ-
dium erit aequale aggregato omnium . terminorumsimul sum torum, ut hicu I. addatur 9. Ut oriantur Io. &multiplicentur per & sunt enim s. termini ad fient s. qui sunt
usique ad 9. Hoc manifestum est pet
8. Quando termini progressionis sunt continuo proportionales ; id est, si i. est ad 1. ut idem est ad & ut q. ad &c. Tunc progressio appel-