장음표시 사용
61쪽
6. In omni p/rallelogrammo anguli oppositi sua aequales. Sit parallelogrammum o b c d, dico
anguluin o esse aequalem angulo c: nam angulus Oest aequalis angulo exteri
ergo etiam o est aequalis c. . Linea ducta e X angulo ad angu-
Ium oppositum,dicitur Diagonalis vel Diameter, ut b d. 8. Omne parallelogrammum dividitur bifariam, id est, in duas partes aequales, pe r diagonalem. Diagonalisi ae dividit parallelogrammum ob c d in duo triangula obd & b c d Probandum igitur erit haec duo triangula esse aequalia. I. angulus o est aequalis angulo c. 3. 6. Σ. angulus ob est aequalis ang. cdb: I. 3I. & ob
eandem rationem etiam angulus o best aequalis ang. cbae. Habent igitur haec duo triangula omnes angulos reciproce aequales; &praeterea, latus h d est commune utrique triangulo :E. etiam totum triangulum o b d est aequale toti triangulo cdb Σ Ι .39. In omni parallelogrammo latera
62쪽
xa opposita sunt aequalia inter se, quoniam totum triangulum o b d est aequale toti triangulo Ecb per praecedentem : E. etiam latus c a erit aequale lateri , ο & latus o diateri bo. Q. E. D.' Io. Duae diagonales ac & b d secant se mutuo in medioe: nam in triangulis a e ae & b e c, la- όtus a d est aequale lateri o b ῖ. 9. angulus e ad est ara i qualis ang. ec I. 31. ὶ δν μOb eandem rationem angulus a de est aequalis ang. cbe ; I. 31. in & ulterius angulus aeae est. aequalis ang. ceb, I. Σ3. quia i Dsi ad verticem oppositus. E. latus Ze est aequale lateri ι e& latus a e lateri ce. 2.1 . Sic igitur duae diagonales sunt divisis aequaliter in e. II. Omnis linea recta fg, transiens per medium diagonalis e d1vidit parallelogrammum in duas aequales partes .Probandum est,tra- Λ ue
esse aequale trapegio, olf α β ε, c. I. triangulum is es est aequale
63쪽
triangula dege nam latus de est aequale eb per hypochesin; angulus festaequalis angulog; I. 3I.) angulus in e utrinque est aequalis, quia est oppositus ad verticem &c. E. triangulum feb est aequale triangulo g e α
2. Iq. Σ. totum triangulum a d, est aequale toti ob ae 3. 8. in Ergo si detr1angulo a d b auferatur parvum triangulum feb& per compensationem ei iterum addatur triangulum denresultet it trapezium a gae aequale triangulo ad b, medietati s semissi totius parallelogrammi. Q. E. D. xa. Si in d1agonali iasumatur punctum e, perque illud transeant duae 1 ineae lateribus parallelae, nim.& he i; resultabunt quatuor paralle-
haec duo appellantur ρώ-b f russelogramma circa diametrum in & reliqua duo pa rallelogramma ehari& e i cg, quae appellantur complementa: duo verti complementa cum uno parallelos rammo cimc a diametrum emciunt figuram, quae Voca tu r gnomon,quale hic est spatium lineis notatum. 13.
64쪽
13. In omni parallelogrammo complementa sunt aequalia. Probandum erit ehaj esse aequale egc i. Totum triangulumba desit aequale toti tr1angulo baec 3. 8.) Similiter triangulumes, est aequale triangulo ebh 3 8. &/ etiam e h a est aequale eg ae q. 8 . Ergo si ab aequalibus triangulis b da,&baec,
auserantur aequalia, nimirum si auis. rantur ab una parte e fb, & e δε ae, &ex altera parte e i b, & edi restabit ah una parte parallelogrammum ehas aequale parallelogrammo e i cg, quod restat ab altera parte Q. E. D.
Ιε. Parallelogramma qUae sunt super eadem basi, ct in iisdem parallelis, sunt inter se aequalia. Sit parallelogrammum ab aec, dc aliud abfe, ita ut basis a b sit commu- . A e fnis utrique, & linea c d producta transeat per e f; timulque hac ratione duo parallelogramma inter duas parallelas constituantur, nimirum inter lineam a b &lineam of parallelam lineae ab e Dico parallelograminum abaec esse aequale a bse. i. c dest. aequalis e quia iam haec quam illa aequales suili los 3 neae
65쪽
neae ab e 3. 9.) Ergo si hisce duabus
lineis aequalibus addamus lineam EGerit ce aequalis aes. Σ c a est aequalis ἡb 3 9.ὶ 3. angulus ae e est aequalis angulo b aes: I. 3 I. in Ergo totum triangulum a e c est aequale toti bi . Si jam de quovis horum triangulorum
aequalium auferatur triangulum album de o, quod est inter duo parallelogramma, & cuivis allorum etiam addatur triangulum lineis contrariis notatum o ab; resultabit ex hisce ab una parte parallelogrammum ab c. aequale parallelogrammo aes' ab altera parte constituto. . 1: . Parallelogramma, quae sunt in
e s s eisdem parallelis ah & vi & super aequat bus
basibus, alterum superri P A a b, & alterum super g h, ita ut a b aequalis sit g h, sunt ae- . qualia. Nam si quis concipiat tertium parallelogrammum a e fb, hoc aequale erit abaec, 3. I . in quoniam est super eadem basi ab, & in iisdem parallelis ab & cs: Et idem hoe parallelogrammum a es, etiam est Nquale g rite, quia utrumque habet
66쪽
eandem basim, ni m. ef nihil enim resert sive basis sit in inferiori lineas insuperiori l&sunt in iisd. parallelis, ni m. D,& b a. Ergo etiam hier est
aequale abaec, quia sunt aequalia unitertio a es b. I 6 Triangula super eadem basi a b& inter easdein parallelas ab & ce constituta sunt aequalia. Triangu-F tum ab c ess aequale triangulo aeb, quia si quis concipiat lineam b d parallelam ac & aliam bi
parallelam a ' resultabunt duo pa-
rallelogramma ac d b,& a ei b, quae cum sint su per eadem basi a b& i n eis. dem parallelis, erunt aequalia. 3. I . Sed triangulum ac b es: dimidium parallelogrammi ac d b, & triangulum a e b est dimidum parallelogrammi a efb: 3. 8.ὶ Ergo haec duo tria
angula inter se sunt aequalia. 17. Triangula super aequalibus basibus constituta & in iisdem parallelis, inter se sunt aequalia. Demonstratio est: facilis.18. Si triangulum cum paraIlelo- grammo eandem basin habuerit, in
67쪽
eisdemque fuerit parallelis, dimidium erit parallelogrammi. Triangulum a b e est dimidium parallelogrammi a e s b.
I9. Pentagonum est figura quinque laterum & quinque angulorum. Si omnia latera sunt aequalia, & omnes' anguli aequales, pentagonum est
ao. Nexagonum est figura sex Ia-terum & totidem angulorum; H - - Iagonum septem Octogonum octo &c. quae quoque regularia iunt, si omnes anguli & latera omnia inter se aequalia sunt. 'ΣI. Pol gonum in genere omnis di. citur figura, quae pluribus Comprehensa lateribus, plures efficit angu- los: sed vocabulum hoc raro adhi- . betur, nisi figurae pluribus quam quatuor aut quinque lateribus constent. 22. Omne polygonum 'dividi potest in tot trianeula, quot habet latera. Si Intra figuram sumatur punctum,a, ubicunque id fuerit, & ex eo con-- cipiantur ductae lineae versus quemcunque angulum ab, ac, a d &c. tot erunt triangula, quot. fuerint latera polygoni. 23.
68쪽
χῖ. Anguli polygoni omnes simulsum ti conficiunt bis tot rectos dem iis quatuor, quot sunt latera polygoni. E. gr. si polygonum habet septem latera, quorum duplum est I . ab iisque auserantur quatuor, brenant decem : dico omnes angulos hujus heptagoni, nimirum angulum o h h una V sta in
sumtos esse aequales his decem angulis rectis. Nam si ex puncto a ducantur ad angulos septem lineae a b, a C a d &c. ad constituenda septem tri. angula, quodlibet horum triangulorum habebit tres angulos duobus rectis aequales : 2.9 ita ut omnes anguli simul sumti in septem triangulis aequales sint s . rectis. Sed quodlibet horum triangulorum unum habet angulum circa Verticem in puncto a; ita ut si omnes poneremur circa hoc punctum , totum circuitum implerent. Ergo hi septenianguli coeuntes ad punctum sequales sunt quatuor rectis , r. 22 ) &per consequens omnes reliqui anguli, qui conficiuntur ab ipiis lateri- B s - bus
69쪽
bus heptagoni, aequales sunt decem rectis; in E. D. q, Pol gonum etiam re-
ducendo lineas ab angulo ad angulum; sed tunc numerus laterum excedet numerum triangulorum duobus.
70쪽
GEOMETR. ias. IV. 3 3 . LIBER QUARTUS.
v. T Inea circulum tangere dicitur, Lia quae cum circulum tangat,non tamen eum secet, licet producatur ultra punctum contactus. Linea a tanot circulum c prout etiam circulus clangit circulum de sed in blinea circulum trausit eumque secat 2. Linea transiens per circulum, eum secat in duas partes, quae appellantur Amoso, est segmentum minus, ta majus;
haec lineat secans dicitur ehorda & par i circuli,
sectae Choa d cum arcu confluetuit in duobus ex mis duos angulos mixtω, qui Upellantur auguli segmenti, ut HI . .