장음표시 사용
102쪽
mus AB α a, ACMR, BD m r, BE α κ .Quum auguli ita C, D recti sint, radii AC, BD eruat paralleli; ergo similia triangula EAC, EBD, & Rrν::a--κ: ποῦ igitur dividendo R-rere: a: ne quae analogia expeditissimam habet constractionem. Ducantur quocumque modo bini radii inter se paralleli AL, ΒΜ, & puncta L, M jungatur recta L M, quae producta secabit AB ia E, ex quo tangens ducta ad alterutrum ex duobus circulis tanget utrum O,& problema solvet. Etenim ob similitudinem triangulorum, habebimus LA: M uer AE: B E: ergo LA- MB:MB:: AB: EB, sive R --BE, ut analyss postulat. r . Manisestum est, ex eodem puncto E aliam quoque duci posse tange tem Ed, quae alium circulum tanget in puncto e. Patet etiam solutionem arulatam spectare praesertim circulos inaequalis diametri , quo in easu communi 2 tan gens lineam centrorum secat ad plagam minoris circuli. Quod si circuli aequa' les sint, quum tangens fiat parallela rectae AB, punctum E in infinitum reis cedat necesse est; verum in hac hypothesi facilius rex perficitur; si enim radium erigas lineae AB normalem, & in puncto, ubi circumserentiam secat, tange rem ducati ea utrumque circulum tanget. 34. Quum ex eodem puncto E non plures quam duae tangentes duci possint, existimabit fortasse aliquis, duas tantum esse problematis solutiones. At is vehementer erraret; duae namque tangentes duet etiam possunt a puncto quodam F posito inter A, B, qua in hypothesi facta BF α κ, analogiam habemus R: νζ:a - π:κ, & eomponendo Producto radio M B in N, junctaque L Ni punmim F, in quo haec secat AB, illud eris, quod novas suppeditat solutiones; idest ducta ex illo tangens ad alterutrum cireuiorem utrumque tanget. Ita novae tangentes erunt ΚΗ, kh. Hoe igitur problema, etsi aequationem exhibeat primi gradus, tamen ad quartum gradum pertinet, quum quatuor habeat, easque diversas solutiones. Harum duae, nempe illae, qua praebet punctum F, imaginariae fiunt, sa circuli sese intersecent I at omnes im-ginariae sunt, si alter circulorum intra alterum cadit. I s. Problema quintum. In dato circulo, cujus centrum sng. 6. in C, duo; circulos describere, sese & illum, cui inscribuntur, tangentes ita, ut junctis eorum centris fiat triangulum C EF simile triangulo dato ABD. set factum Zeproducantur latera CE, CF, quae ad puncta contactus G, H pervenient. Radius CG vocetur αν, EI α EGακ, FH α FI Propter similitudinem triangulorum C EF, A BD vocatis lateribus BDm a , BA α b, DA me,
103쪽
is. Constructio. Producta utrinque BD rapiatur BM m Bm α BA , Se D N i Dn D A : ita erunt M N m n m a --b- N in m a e-b. Ducatur, prout lubet, radius aliquis CG; & fiat Μ N: Nm:: CG: EG; hate erat radius unius ex quaesitis eirculis. Ducta deinde CH, quae angulum iaciat GCH M BAD, fiat M N : M n : C H r H F, quae erat radius circuli alterius. Cireuli igitur descripti centris E, F, radiis EG, FH, & sese contingent, & cim culum datum GH, & d hunt triangulum ECF simile BAD.
t 7. Si circulos externos quaeramus, eadem prorsus valebit methodus, neque quidquam erit mutandum, nisi hoe , quod in analogiis pro ν νυν scribendum erit rH-κ, ν--ue ut consideranti patebit.
18. Problema sextum . Dato circulo sFir. AEF, & puacto extra IlIum B, quod cum centro jungat recta C B, eui sit perpendicularis BD, quaeritur in hac punctum D, ad quod e centro ducta CD. sit intercepta DE: DB . U cetur radius C A m r, BA m a , BD in D E ακ : erit igitur C B α ν--a , CD α ν--κ. Propter angulum rectum in B est CD CB-- DB , aut
I9. Analysis haec non inelegantem constructionem suppeditat. Producta A C, donec ad circumferentiam perveniat in F, erit FA m aν, FBαχν-- a. Igitur si rectae A B excitemus perpendicularem AG R Bia,& jungamus FG, haec producta secabit B D in puncto quaesito D. Nam ex similitudine triangulorum est P Rm 1ν: F B α ιν--a AG m a: BD α x; igitur si dueatur C D, erit DE intercepta inter punctum D & circulum aequalis D B. ao. Haec quoad problema, prout propositum fuit. Verum si universalius ita Proponeretur; iisdem posuis invenire punctum D, ad quod ducti CD sit BD: DEia data ratione a: n. Tunc vocata DB m x erit DE m -,3c CD mr---οῦ
Possemus hinc quidem eruere constructionem, at minus profecto simplicem . Quapropter quando et agantia in primis quaerenda est, ad alius analyseos genus animum con
al. Sit linea Fig. 8.) CED problemati satisfaeiens . Agatur radius Coprallelus BD, cui per punctum E ducatur perpendicularis FE G, & parallela H. Vocetur CB α FG ia, radius i ν, F Bra. EH α κ, EF ms, unde EG
104쪽
ari Posset ex hac analogia altera ex incognitis dei, quoniam aequationem h
bemus aliam C E mCH-, hoc est ννma ν --κκ; sed haec meth dus nos ad aequationem secundi Nisus perdueeret , cujus implicatior aliquanto esset eonsti uetio. Alia igitur via elegantiae caussa incedamus. Analogia n's docet B F : FE esse in data ratione re n. Itaque ex puncto o ducta O M parallela C ut sit B M α ν, abscinde in ea MN mn, & junge B N. Ex quocumque rectae BN puncto duos normalem in B M, ut QP, erit BP: PQ::r: n. ergo punctum E necessario erit in linea BN; sed idem punctum in circuli circumferentia si oportet; ergo erit punctum intersectionis circuli, δέ lineae B N.
Quare per punctum E intersectionis Ouli, & re BN , tac CED, haru
a ι. Sed determinationes diligenter sunt persequendae. Ex puncto Fig. B dueito tangentem ΒΚ, quae producta secabit Moin L, erit ΒΚm V aa - νν,1uod fit apertissimum durio radici CK. Inisper similia sunt triangula BKC. . BM; ergo ΚC : ΚBDMB: ML; sed KC α MB; ergo ML ΚΒα--νν. Itaque si n as νν, linea BN transi in B L,& ei reulum , tangit, & unica obtinetur problematis solutio. Si n QV aa-νν, veluti MaN, tune rem B a N, quum nusquam circulum inveniat, solutiones omnes erunti in ginariae. Si n 'a a - νν, sed αa, ut MN, duplicem obtinemus intersectis. nem inter puncta A, O, adeoque solutionem problematis duplieem. Si nut ΜΟ, qui casus concidit cum problemate primum soluto, quia proportio evadit aequalitatis, praeter punctum, quod praebuit solutio supra allata, alterum rit punctum O , per quod ducta Co in infinitum abit, quin eum B M eo currat, & ita lineae, quae aequales esse debent, evadunt innnitae. Si denique isn, a, ut M N, juina Ba N, haec prius serabit cir lym inter puncta A, o, quae intersectio dat similem prioribus solutionem. Deinde' serabit in renis cto I fito post puncta A, o. I per centrum C duc IC , haee producia
eoneurret cum M B in R, quo in casu etiam certum est BR: RI esse ut BC: M3Ne: arn, quamvis expressiones rectarum fiant negativae; sunt enim. - , -& in hoc casu y a.
a . Si animum ad analysin hanc nostram advertas, eam latissime patere deprehendes; non enim necesse est, ut a ulus M BC sit rectus, sed lanicit . ut rectae l. Fig. 8. in Mo, FG, PQ accipiantor paralleiae BC. Artificium. etiam perpende , quo per intersectionem lineae rectae , si ei reuli ad elegantem constructionem devenimus. Hujusmodi methodus saepe utilis est, quum. datum haias in problemate cireulum ' eo entes clxeulo per rectam secato, solutio non raro maxima eum elegantia sese offert. as. Hanc quidem viam sequuti sumus ea maxime de eaussa, ut analyseos artificia patefierent e nesue enim primo intuitu cognoscere lieet, quaenam stomnium methodus simplieissima. Caeterum problema hoe ita brevissime solvitur. Ex centro C s Fig. Io. sit c OR parallela BD, abscinde C Rita ut Co: CRhabeat rationem datam, quam habere debet D E: B D, et junge BR. Per punctum E , ubi haec circulum secat, ducta CED ea erit, quae determinat punctum D. Etenim quum sint similia triangula CER, BED, habebis DE: DB :CE α Cor CR, quae est ratio data. 16. Problema septimum. Super Fig. Ir. ΑΒ triangulum ejusnodi AC B
105쪽
eonstitiaere, ut, ducta normali CD, sint AB, AC, BC, CD continue proportionales. Sit recta AB α a, A Dακ, DB m 9, ut si a m N --st, dein mum DC m g, ut fiant AC ra , κου- - ac BCm FH- a . Ex condutionibus problematis valebit primum haec analogia A B: Α Co: C B :C D, sive: ύκκ- - Ea & quadrando κ κ-Ha& dividendo any 99 di permutando simul ac dividendo 1πν - :dκκ:aa; ergo transitu adaequalitatem facto any et η- κ sive χων Ση --κ'y ma , & e tracta radice - κ&Σαο, seu 2ζακy. igitur DC est media proportionalis inier AD, BD; ergo rectus est angulus ACB. 27. Rectum angulum esse, poterat brevius ita ostendi. Ex superiori analogia est AB. CD α AC. BC; sed area trianguli est dimidium rectanguli AB.CD; ergo eadem est dimidium rectanguli AC. BC; atqui patet hanc aequalistatem haberi non posse, nisi angulus ACB rectus sit; constat igitur angulum hunc rectum esse. 18 Hoe demonstrato convertitur problema propositum in hoe aliud: Super data hypotheausa A B triangulum regansulum deseribere , cujus latera A B, AC, BC sint eontinue proportionalia. Retentis iisdem denominationibus erita : . π--z a d . κ - -- prosuUituis Ay, positaque apro F, s.ctaque divisione perda,habebimus a. κ :r j .azκPIκ29. Α D ergo debet esse media proportianalis inter AB, B D, seu dividenda est AB in extrema, & media ratione, quod notissimum est problema ab Euclide solutum. ag. Ex facta analysi haee oritur constructio. Super AB tanquam diametro deseribe semicirculum, eamdemque divide in D in extrema, ac media ratione; ex D excita normalem DC secantem in puncto C circumserentiam circuli ACB. tum junctis AC, BC, erit triangulum ACB illud, quod quaerebatur.3o. Duplici in hac solutione artificio usi sumus: primo namquet ex una problematis conditione proprietas deseri adi circuli est demonstrata , et inde ad simplicius problema lolvendum res omnis deducta est. Hoc ipsum deinde in alterum conversum est, de cujus solutione jam constat. a I. Problema octavum . Circulum deseribere , qui per duo data puncta Fig. it. A, B transeat, et datam circulum tanPt, cujus centrum C. Data puncta jungat AB, quam bifariam dividat perpendicularis DE; in ea centrum circuli reperiri certum est. Sit illud F, ex quo dueantur FB, FC, quae s cabit dari cireuit ei reumferentiam in G puncto contactus; igitur erit F B m FG. Excentro C demittatur in D E normalis CE, et vocentur FEmκ, FBm FGm ν, DB m at, ED m b. CE i e , et radius datus m Triangula rectangula F D B, FEC duas praedem aequationes Hymbb-1bΝ Νη--aa,rr Harit Hys m ec Νm, quarum si primam ex altera detrahas, erit rν - - ar,
s . Problema igitur in aliad coavectum est, in quo dato circulo, cujus cen
106쪽
trum C, et puncto H in recta D H, a 'tur de .ducenda CF ita, ut' sit H F
FG::r: b, seu ut . radius ad ED. Hoc autem, quod ex N. as. facile solvi.tur, iis etiam tonstrum. Accipe post e tertiam proportionalem HI, et iunge IC, cui parallelam ducito HG. Punctum G. est illud, quod requiritur; ducta enim CGF, propter triangula similia FGH, FCleu FH: FGr. H id CG mr, seu at ν: Φ. Circulus igitur, cujus centrum F. 'et radius FG. tangit circulum datum, et transiit per puncta A, B. Punctum aliud g, in quo HG circumferentiam serat, duas esse ostendit problenistis solutiones. Quare fiducis g C s, invenies centrum i alterius circuli ijsdem conditionibus praediti; sed in primo casu cireulorum contactus exterior est, in secundo interior. 33. Problema maum. Snperduis duabus rectae partibus f FP. 13. C A majore. CB minore duobus constitutis triangulis sequi lateris AEC , CF B, jungatur E Fferans AB productam in D; tum centro D intervallo DC describatur circulus C M: quaeritur in ejus circumferentia punctum M , ex quo ductis Μ A, B, sit A C: BC:: MA: MB. Primum inveniamus valorem radii DC. Ex simi
lis A B, sintque CP α κ, PM m y. AEquatio ad cireulum exhibet --τ . π.- ακmyy. 3c ex triangulis rectangulis est α U MB, iκ -υς ergo ex conditione problematis adb: e - - me
quae proportio necessaria quum sit, ostendit, hoc non problema esse,ded theo rema, & ubicumque accipiatur punctum Μ, suturum semper AC: BCr: AMOBM. Hanc revera esse descripti circuli proprietatem, ita Mile potest demo strari.
tur ADM,DMBeirca communem angulum D habent latera proportionalia,
107쪽
3s. Hanc circuli proprietatem elegans solutio consequitur plurimorum . quae oponi lolent, problematum, Ad exemplum datis ut antea sHe. ra. A C. V k, 'uali et HH, in ea punctum H determinare, ex quo ductae HA, H B sint inter sese ut A Co C B, seu in quo sit angulus A HC BHC....ie xyyy IR 'aikδ xς--Senim puncta, in quibus circumferentia des.
eripta radio CD lineam H H serant, problemati latisfaciunt. Illud etiam probi ma nullo negotio enodabis, quod adeo multos torquere experientia deprehendimus. Datis tribus lineis Η 'Is. AC, CB, BG ini eadem recta jacentibus Puncium Invenire, ex quo omnes sub aequali angulo coni pietantur. Super rectisnta tria ad eamdem partem constitue triangula aequilatera. et Ilianea jungens puncta E, F determinet punctum D, & jungens puncta L F d terminet punctum Κ. Centris D Κ intervallis DC, ΚΒ deseribe duos eire Ios, qui se intersecabunt in H. Punctum hoc illud ipsum est, quod quaeritur. Li. R imuli nusquam secent, problema nullam habere potestro. Problema decimum. Super data basi P. 16.) BC triangulem isest Ira constituere , cujus angulus ad verticem A lit dimidium anguli ad basim . xroblema hoc caeteroquin ab Euclide solutum eo animo proponimus, ut studi u radicum omnium aequationis usum distant investigare. Trianguli quaesiti ABC angulus hasis alteruter ut C bifariam dividatur a linea CD, ita tres anguli
A, B A C D aequales erunt, & triangulum A C B simile triangulo C D B. inaesi vocemus AC m ΑΒ mn, BC in a, valebit analogia
aequationis radices, quarum prima est positiva, tera negativa. Si quis tamen ex eo, quod ex analysi eadem profluant, exi-niniaret, 'baa propositum problema solvere, erraret is sane vehementer; uniae enim uiui esse potest radix positiva CF. Namque quum in ea hypothesi sit latus C Α m CF αα -- aa -- maius quam a m BC m DCm DA, erit angulus ACB α ABC α BVC α A--DCA, & angulus A ra DCA; ergo angulus A C B duplus erit anguli A . At in casu altero, quum sit - α' idest latus ΒΑ α BCα CD Fig. i . punctum D Reeessario cadet ultra A in latere BA producto, quod determinabis applicata CD BC, 3e eruat triangula A CD, BCD aequiorum; igitur aequa ira
108쪽
auli B, D, AC B; sed angulus DCA, seu DAC aequat duos simul B, ACR.
&angulus C AB aequalis est duobus DCA, D; ergo CABm B D ACB. quod idem in , angulus C A B ad venirem trianguli triplus est ansuli in basim . Itaque smul eum proposto aliud problema solutum est.
33. Ut autem rei hujin caussam intelligas, cur videllaei ex duabus radicia has altera primo problemati inserviat, altera secundo longe diverso, anima , pacto ad aequationem divenerimus . Fecimus angulum aequalem BAC, unde aequalitas infertur linearum BC, CD, DA, quae utrius quo problematis propria sunt. Diximus deinde esse A B: BC:: BC: BD; at haec quoque analogia ad secundum problema aeque pertinet. Quam quum BD in primo casu sit π - a , in altero erit primi problematis
aequali ππ-aκ α aa, secundi vero ΜΜΗ- an m .sar ut si in hac sumatur πnegativa, κκ - an m a a priori identiea. Quum igitur haec omnia utrique problemati sint eommunia, mirum effa non debet, quod ex una eademque aequatione utriusque solutio eruatur.39. Sed ut melius cognoscant an 6seos cultoees, quid radieum diversitas Lbi velit, atque addiscant, quo pacto diverss quasi viis ad ejusdem solutionis m tam pervmite possint, aliam hic iuvat eorum gratia analysim addere, quae iisdem verbis duo aequi crura triangula respiciat , tum illud, cuius ad verticem
angulus dimidium est anguli ad basim et tam illud , cujus angulus ad verticem anguli ad basim est triplus. Quaesitum triangulum sit si S. im)ABC, basis latux BAακ et euomui lineae RM, AN ita, ut angulos lac, ant M AB, NAC muales angulo BAC. eaedemque lineae producantur, do nes concurrant eum BC in punctis D, E. Certum est triangula A B D, ACEfore isostella ergo AB i BD ra AC m CE i κ. Simiuia sunt praeterea tris angula EAU, ABC; ergo CB: BAr: BA: BE, et analytim in primo
tri Mul ad A t. κ. a --α, unde a. a κακκ, et in triangulo Hiero admir Pa - Μ, unde a a -- κακα, quarum aequationum auem in aheram transis, scepta x negative .
o. Triangulum utrumque divisionem exhibet inreumserentiae in quinque Bartes. Etenim si circulo euilibet inscribas triangulum A BC, cujus angulus Rsit dimidium singulorum ex sFim aαὶ angulis B, C, arcus BC eris quinta par circumserentiae, et AB, AC nnauli duae quintae partesia Contra inscripto D angulo A DE, eujus angulus A nt triplus singulorum D, E, arcus AD, A Eerunt singuli quinta circumsereatiae pars, di areus DBC E tres quintas partes
t. Problema undeeimum . Triangulum datum Fix-xio A BC in data rationem: ndividere per lineam datae parallelam . Dividatur BC in D, ut sit B De DCre m. n. Ex punis, C agatvr CR parallela datae , quae ita R incidat in A productam . necta GH parallela CR dividat triangulum ita, ut sit trapetium AH GD ad triangulum C HG. . m. n. Ea bis clare consequitur, aequalia e triangula ADC, GH C, 8c sublato trapetio communi CH PD, remanere adi u lia triangula GDP, AH P. Problema igitur nostrum in hoc verti potest. R ctam GH oarallelam CR ita ducere, ut aequalia snt triangula G P D, AH P. 3. His constitutis agantur H Q, Ho parallelae rect s Ao, BC. Uoce
- m - π, CQ m n Similitudo triangulorum A CD, HCQ. item
109쪽
ob triangula similia GDP, C DR, D G: DPe: CDI D R, N. seu n- - ny e na-ay ea n a et unde mediis simul, ct intremis in se duAis, et facta divisione per n , aequatio oritur prima s m na ay. Alteram ut invenias, animadverte in aequalibus triangulis GPD, AH Pparallelas G D, H Ο ioci tes in halis DP, A P eue perpendicularibus, seu altitudinibus triangulorum pmportionales; ergo sicuti producta batam DP, AP in perpendiculares essent aequalia, ita aequalia erunt produm earumdem basium
unde facta divisione per x--F, habes κ= m n. π 9, 3c -pi Hic v Ior in aequatione prima substitutus lassiciet ε κ'
seu ut RD ad mediam proportionalem inter RD , & kA α ε - - a. igitur inter RD, RA De invenias mediam proportionalem RP,& per eunctum P age GH parallelam CR ab hae triangulum divisum erit in data ratione. . Determinationes in hoc problemate maximi momenti sunt, ac dissicurutatis. Agatur BE dividens AC, ut sit A EO EC:r BD: DCra metu, tum CF par allela BE. Sit 1 intersectio linearum AD, BE. Ajo FI esse mediam pmportionalem inter FD, FA; quod ita demonstro. Ex hypothesi A Er ECer BD: DC; atqui in triangulo*m similitudine AEt E re AI: l F; item B De DCr: Dir D F r ergo AIo I Fo: DI: D F, & componendo F A d FI :: Fle FD. Q. E. D. Itaque u linea triangulum dividens debeat esse Θllela CF, determinanda quum fit media proportionalis inter FD FA habebimus FI. Parallela autem rectae C F per punctum I ducta est B l E. quae dividit triangulum in ratione data, quia aliunde constat. Hoc determinxto si C R serat A Fpost puncta D, F. eonstat, punctum P determinans RP mediam proportion lom inter RD, RA, cadere intra puncta A, I, & recta H G parallela CR transiens per punctum P cadet intra triangulum, & problema lalumn exhibebit. s. Si vero Ce secet AF inter puncta D, F , punctum p determinad mediam pro retionalem inter r D, r A, cadet intra pnacta D , I; igitur bgp.rallela r C transiens per punctum p exibit a triangulo, & praebebit extranum triangulum g Bu. in hoc casu linea gh non dividet triangulum in ratione da
110쪽
AGusabunt post haec fortasse analysim, quod post inventam aequationem riteque constructam quaesiti problematis solutionem non exhibeat .. Videant hi potius, diligenterque perpendant, quidnam ex analysi quaesivimus. Postulavimus scilicet, quonam tracto ducenda sit GH datae parallela, ut ei lent aequalia triangula DP, AH P. Hoe obtinemus, etiamsi parallela datae Cr extra triangulum concurrat eum CB in g; nam triangulum g Dpm Aph. At si linea H G eadat intra triangulum omnis, ex aequalitate triangulorum descendit, datam triangulum ABC divisum esse in data ratione; sed si pars lineae gh extra triangulum, sit , aequalitas triangulorum idipsum non demonstrat. 46. At enim puncto r cadente intra puncta F. D, quo pacto solvendum problema 8 Industria opus est vel maxima, ut ex praemiisa analysi, ac solutione in data ratione triangulum dividatur, si punctum r non eadat post puncta D,
F. In triangulo itaque dato a1. A BC primum linea BC dividatur ab AD ita, ut sit B Dr DC a: men ; tum B E dividat A C, ut A EO ECmrnia Agatur CF parallela BE. Si linea, per cujus parallelam dividendum est triangulum eoncurrat cum A D post puncta D, F, ex dicts problema accipit solutionem, & linea dividens triangulum desinit in latera CR , CR. Si vero concurrat ad alteram partem puncti F, tum due CG dividentem A B ita ut sit AG GR: tmin, & secantem AP in I. Lineae autem CG sit paralis tela AM concurrens eum B E in M. Si linea data, cui ducenda est parallela, concurrat cum A intra puncta F, I, hujus. parallela ex puncto A ducta ie-cabit BE ultra puncta E, M; ergo ex tradita solutione dueetur linea dividens triangulum, prout oportet, quae consistet inter latera AB, AC. 47. Ad reliquos casus evolvendos agatur CH, ut sit B H: AHII men: quae secabit AP in L. Hure sit parallela B S. Si data linea incidit in D Apost puncta D, L, huic parallela ducta ex puncto B seeabit A D post puncta
D, S; ergo ex tradita solutione assignabitur linea consistens inter latera n R,. BC dividens in data ratione triangulum. Si vero linea data incidat intra puncta I, L, nulla adhuc habetur solutio problematis. Hoc autem Ideo accidit,.
quia posita est C D B D q8. et apropter ad complendam problematis solutionem, ita dividatur BC
in Ο, ut sit CO: BO 2 : men,& ducatur, producaturque A O. Similiter
ducta B L ita ut sit C Κ : Κ R : e me n agatur C V u parallela BK Si parallela datae ducta ex puncta C eadit p st puncto O, u, seu D, V, habetur una solutio, & linea dividens consiliit inter latera BC, CA. Notςntur puncta I, 1, in quibus CG,'C H secant Ao. Si eadem Oarallela cadat intra puncta O, i, seu D, L, habetur solutio per lineam terminatam a lateribus BA, A C. Demum si cadit post puncta G, i, sive D , I , soluti
nem praebet linea consistens inter latera B A BC. Adverte in spatio ii, seu i L. per secundam hane divisionem lateris CB duplicem obtineri solutionem, in quo spatio per primam solutio taem nulla habebatur .. Quare in omni calu duplici modo dividi potest triangulum in ratione data. Exeipe tamen hyanthesim in m n, quia in hac puncta D, o, item E, Κ, item G, H in unum coeunt ..4ς. Facilius idem problema hoc modo solvitur . diit tri ingulum: ABC dividendum in data ratione m: n per rectam datae parallelam. Ex ver
tue B agatur BD parallela datae, quae secet lineam AC. Si angulus DB