장음표시 사용
132쪽
indieantur; quum vero litterae numerum addimus, tune de eo puncto sermo erit. ubi litera cum addito numero reperietur. Recta C F vocatur cosinus, & notabitur signo Ce, quod idem est ac cosinus circularis. A P tangens arcus dillin. guetur signo Te; hi vero tangens complementi arcus ad quadrantem dicitur arcus colangens, quae vocabitur C t e, idesti tangens circularis. Recta C Pest secans , C Q. cosecans, idest secans arcus complementi: primam dicemus See, alteram C se. Hae denominationes: omnes relate ad arcum AS, sue ad angulum AC S intelligi debent. Arcus cireuli a nobis graecis litteris indicabuntur; ita se . π sinum significabit arcus σοῦ C t e. μ eotangentem arcus 14 Scc. a. Quoad sinus, & eosinus haec sunt animadvertenda . Quando est sinus S Frao, tunc erit cosinus CF ν, cui pariter aequalis erit secans CP, tangens A P erit m α; at C. cosecans, A commm QN evadent infinitae. Si vero lupinponamus eosinum decrescere, & fieri CF m o, sinus, & colerans erunt mr, c tangens m o , tangens, dc secans evadent infinitae; unde quum sinus, aut colinus sunt mo lineae reliquae trigonometricae partim sunt m o, partim m ν, partim i finitae. quum sinus aequat cosnum, tunc etiam tangens aequabit colangentem, secans eos ecantem ,& angulus ad centrum semirectus, adeoque arcus dimidium
quadrantis; quae omnia sunt per se apertissima. . Polito igitur arcu A IS m o, erit sinus I Si F m o, & eosnus positivus C IF α ν: posito arcu eodem minore circuli quadrante, sinus i S a F, & colinus C i F positivi erunt: si arcus A I S aequet quadrantem A N , sinus erit aequalis r dio circuli positivus, & cosinus m o: si adhuc ereleat arcus , sed minor sit lemiis
circumferentia, tunc erit sinus a Sa F adhue sitivus, 3c cosinus CaF negativus: si areus semicircumserentiam A N B aequabit, sinus erit mo, Sc cosinus negativus radio aequalis. Quum autem arcus semicircumferentiam superat, sed munor est tribus quadrantibus, verbi gratia quum est areus AB3 S, tune & sinus Sa F. & eosinus C3F ambo negativi sunt; si arcus aliquat tres quadrantes, ut AN B M, sinus fit m r negativus, eo sinum iterum mo; crescente adhuc arcu, sed ita ut minor sit circumierentia, sinus 4S F negativus ei te perseverabit, at cosinus C F fiet positivus; tandem si arcus aequet circumferentiam, redit sinuam o, & ec sinus positivus m r, quemadmodum in primo eas u. 4. Quod si arcus accipiatur circumferentia major , qualis esset arcus
A N B M A S eonstans integra circumferentia aucta arcu quocumque A S , iidem illi sinus, ac eosinus S F, CF convenient, qui simplici arcui AS responderentita, ut circumserentia illa addita nihil quantitatem sinuum , Sc eosnuum prosesus immutet; quod inde etiam discere potes, quod paullo ante videris, s num.& eosinum eundem pertinere tum ad areum nullum tum ad integram circumferentiam. Idem sentiendum omnino est si arcui AS duae, tres, vel infinitae etiaam addantur cireumferentiae; idem etiam de lineis reliquis intelligendum tam gente scilicet, colangente &c., quae eaedem sunt tum relate ad simplicem arcum AS, tum ad illius summam, & quarumlibet circumserentiarum. s. Si vero arcus negativus acciperetur quadrante minor, uti esset arcus
A S, sinus illi respondens erit 4S F negativus, 3c eosinus positivus C F.
Hinc videre est sinum negativum cum eosinu positivo ad duplicem'arcum pertinere, nempe & ad arcum positivum tribus quadrantibus majorem, & ad arcum negativum, qui minor quadrante sit. Si arcus negativus quadrantem superet,
sed minor sit semiperipheria. ut Ag S, sinus, & eosinus sunt negativi; adeoque sinus, 3c eo sinus negativi spectant Sc ad arcum positivum semicircumferentia maiorem sed minorem tribus quadrantibus, Sc ad arcum negativum, quem modo M a assum
133쪽
assumpsisti . si arcus negat trium major duobus quadrantibus, sed minor tribus,
veluti A Ba S sinus erit positivas, missi in negativus, prout contingit in arcu p sitivo, qui 'st major quadrante, sed minor semicireumferentia. Tandem quum ariseus me tiuus major est tribus quadrantibus , quemadmodum areus AB a S. tuae finus, re eosinus positivi erunt, quod idem de positivo anu, qui ouadrante minor sit, diximus paullo ante. Constat igitur,qirumlibet sinuum, & connuum combia
tionem ad duos diversos arcus pertinere alterum positivum, negativum alteram; nos tamen in praxi, quotiescumque sinus erit positivus, quicumque tandem is rit eo sinus, politivos arcus accipiemus; & contra negativos, quum snus erit ne gativus; ita enim arcus semper habebimus semicircumferentia minores; quare ab arcubus ad angulos transitu uisy, erunt hi semper duobus rectis minores, quod necessarium est, ut finuum canones possint triangulis applieari. lo. Quod spectat ad langentesis & cotangentes,' si arcus A i S fuerit positivus quadrante minor, ejus tangen AxP3 3cimtangens N TQ ambae sunt piati et Si areus suetit quadrante major, sed minor semicircumserentiae, tangens,& cota gens sunt negativae . Mirum id fortasse videbitur tironibus; at si apud l. recta saluant, tangentem arcus semper esse debere in linea x Pa P, quae ei reulum tangit in puncto, unde arcus ipse originem ducit, & eam puncto P definiri, quod est intersectio radii pioducti,& lineae a P a P. admiratio omnis evanescet. . Etenim evidens omaino est, radium C a S productum ex parte Q lineae A i P oecurreranon posse; futurum autem ut eam secet, si ex posita parte . produeatur, v dein casu tangens Aa P fit negativa. Quoad colangentem , quae semper accipieris da est, in linea IQχa tangente circulum in. puncto,i quod ab initio arcus quadrante distat, res alia explicatione. non indiget. Si arcus fuerit major duobus quadrantibus, sed tribus minor, tangens, di colangens fient iterum positivae, quod simili , ae antea, ratiocinio potest ostendi. Denique tangens, & colaningens sunt iterum negativae, si arcus tribus quadrantibus sit major, sed minor
. Si vem accipiatur arcus A s negativus, eius tangens, & cotangens sunt negativae; arcui negativo A 3 S respondebunt tangens, & cotangens stativae; in a tu negativo A i S. uerum fient negativae; A positivae in arcu negativo Ar S.
Patet igitur, tangentem, & cotangentem positivam quatuor arcus indieare, nempe arcum positivum quadrante minorem, arcum positivum majorem semicirca larentia, at minorem tribus quadrantibus, arcum negativum majorem quadran. te, at minorem semicircumierentia, & arcum negativum majorem tribus quadrantibus, at minorem integra circumferentia. Totidem pariter des ant arcus tangens, 3c colangens negativa, iique erunt, quos antea nominavimus, si pinfitivos sareus in negati vos mates, & contra . Inter primo tangentem, & coram gentem positivam, tangentem, & cotangentem negativam semper indicare posse arcus semicircumserentia minores, seu angulos minores duobus rectis. Inser secundo arcus, quibus tangens positiva sit, & colanges negativa, vel viceversa, absurdos esse arcus, & impossibiles. 8. Notandum est etiam, unum, eundemque sinum FS, tangentem A P, 3e seeantem C P ad arcum AS pertinere, i& ad arcum S B , qui est illius complementum ad semicircumferentiam AS . Hinc si quadrantem circuli, aut an.
gulum rectum voces m ω, & quemcumque arcum ali uri, aut angulum
quatuor arcus, seu anguli μ, habent aequales finis, xosinus Oe.; hoc tantum discriminei quod aliquando absolute aequales sunt, aliquando, ut aequalitas habeatur, oportet alterum ex ipsis accipere negativum. Exhi-
134쪽
Io Exhibebimus ea, quae in Gibus, & eosinibus aecidunt,.quum si ei te sit. deinderem omnem ad reliquas etiam lineas trigonometricas extenderi. En iotae
est sinus summae duorum arenum ia, ae aequat duo producta sinus μ in manu π, sinus ae in cofinum ιι, divisa per radium. Q. E. O. , II. Corollarium primum si duo arens si, in aequales sim, patet, finum.
tionalem post radium , post eosinum areus dimidii, 3c ejusdem sinum bis acerptum. Corellarium secundum. Invento sinu summae arcum' duorum; serii est invenire sinum summae arcuum trium , quatuor G. I Etenim Invetito sinu arcus, qui est summa duorum, eodem pacto invenietur finus summae hujus, &'alterius arcus, & sie dei neem; quare patet, hoe problemate viam aperiri, quasnum arcus multipli secundum quemcumque numerum reperiamus, de quo alb
135쪽
H. Propositio secunda. Datis finibus, R eosnibus duorum armum ina qualiam PA,QA, invenire sinum eorum differentiae PQ. Esto arcus P Α m riareus Q. Ami,. Ob smilia triangula CLO, CF est, Cc. μ'Sc.μ:: Crix:
LO α ---; Ergo POα----; ex similitudine
Si armi positivo addendus esset Meus negativo, manifestum est summam itia subtractionem transire; & contra subtractionem in summam, si arcus negativus e positivo sit detrahendus. Si igitvr in superiore promvitione arcus QR assu Pius fuisset negativus, formula snus prodiisset, quam in hae invenimus, &vLcissim formula inventa in prosinfitione hae, posito arcu QA negativo, esset ea, quam invenimus in antecedenti propositione. t 3. Propositio Drtia. Datis finibus aF, PR, & eosnibus C F, CR a cuum QA, PQ, invenire e num arcus P A, qui est eorum summa. Sint a cus Q Am , PQ m π. Similia triangula Ce F, POR dant Ce .sa: Se. ι
x s. Idem ex propositione prima elici potuisset; verum essulo qirutam strigonometrico opus fuisset, quem hic addendum in juvenum gratiam existi.
136쪽
deletis terminis, qui eliduntur, & radice extracta,erit tandem, Cc.μ επα
Propositio quarta- Datu sinibus, & infinibus siorum inaequalium arcaniax PA , Q. A , invenire cinnum ditarentiae PQ. Sint arcus Q. Am ia,PAmae. Ex similibus triangulis C Q. F , P L T habemus
positione suisset negativus, hanc eandem sormulam eosinus summae iuvenissemus; quae formula etiam ex propositione secunda erui potuisset, in qua sinum disse. rentiae arcuum quaesivimus. Calculus illi, quem paulo antae tradidimus, omnino fuisset similis; adeoque illum brevitatis gratia praetermittimus . ID Propositio quinta. Datis tangentibus sHm3.1 A D, S R duorum arcinam AS,SU, summae tangentem AF invenire. centur arcus Α-a, SV m π. Duiscatur DP parallela ad SR; & ex puncto Q duae perpendiculares demittantur O ad CA, Q L ad AD. Quoniam auulus CD rectus est, angusi duo simul QDL, CD A unum rectum estisiunt; atqui etiam ouo anguli A C D. CD A unum rectum aequant: Ergoe hi duo duobus illis aequales sunt Ergo stdetrahas utrinque angulum C A communem, supererit angulus A CD aequalis angulo QDL. I tur triangula CAD, QDL, quae habent praeterea angulos rerios in A, & L, similia erunt; adeoque C DIC Am CS: rQ D: DL - atqui ob similitii linem triangulorum CD , CSR est etiam CD. CS: a DeSR ; ergω DLiSR, & ALm do erit summa tangentium A D. SK- H bemus praeterea CA: A D:2DL. L m R o, hoc est raTe-iare Triae Ao
18. Idem ex sinuam regulis iam traditis alio modo obtineri potuisset- Sese
Si igitur accipiamus Ce.μ-- . inventum ita propositioie tertia, Rex propositione prima; & denominatorem communem ejiciamus. erit, νοῦ παοῦ ς .u. c. π - divisis pom.
137쪽
, stii pro Damonibus his aliis substitutis, quas iis aequales es-
ealculus illi si ilis, quo usi sumus ia propositione antecedente. ar. Propositio septima . Datis colangentibus duorum arquum μ, π cotan gentem summae invenire. Ex iis . quae praemisimus N. p., radius est medi proportionalis inter solangentem, di tangentem; ergo xc c.
x .; sed tangens areus ιι--m ex ptopositione quinta in
di substituto loco tangentiam: ipsarum valore dato per radium , & tingentem,
138쪽
Propositio octava. Datis colangentibus duorum arcuum inaequalium , ει, eotangentem differentiae invenire. Ex dictis in propositione superiore est sarr: zreTc . π-μ. ; sed ex propositione sexsta Te . . -
as. Pinpositio nona. Datis Tangentibus, & se tibus duorum areuun π, 11, secantem summae invenire. Sint arcus AS m μ, SV m . . Ex similibus
igitur so e .m in m. AEDEM DI. . Q. E. O. Patet hine rationem
tangentis summae areuum ad ejus secantem esse, r. T c. la DTc. π: See. Q. et . Propositio decima. Datis tangentibus, & seeantibus duorum arcuum serantem differentiae invenire. Sint arcus AS ι, AU π. Propter triangu
139쪽
Ex hae sormula, & ex illa, qua tan sens armum differentiae exprimitur, eo stat seeantem differentiae esse ad ejusdem tangentem zzS e c. π . a: r .ae -- Te . Si ex his autem formulis serantium summae, aut differentiae aris euum tangentes eliminare volumus, id facillimum est, quam habeamus semper T e m QSee - r .as. Propositio undecima. Datis eoserantibus Sc tangentibus arcuum et , ita, summae eosecantem invenire. Ex Numero v est C s e e ν : : seer Te; ergo
o. Quum sit Cte m V C s e - ν' poterunt costeantes summae, & differentiae arcuum per solis cosecantes cognitas obtineri . . a . Propositio decimatertia. Anguli cujuscumque sinus est ad summam c snus & radii, ut tangens dimidii anguli ad radium. Deserino semicirculo
A D B, eujus centrum C, sit angulus f A CD m ., suus illius DE, tangem A O, & eosinus E C. Ducta recta D B, erit angulus D B A α - , liuic D Bs ex centro parallelam iacias CF, erit angulus ACFαDBAE: , ejusquω tangens AF . At ex similitudine triangulorum DE B, FCA est DE: EB;
FA: AC; ergo Se. ε: Ce. ε--r.': T c. Pro Q. . E. D. 28. Hoc etiam modo propositio potuisset ostendi. Ex eorollariis prop.
140쪽
Extendamus propositionem, Sc demonstremus, sinum anguli esse ad dissesentiam sinus totius & cosinus, .ut sinus totus ad tangentem dimidii. Ex similitudine triangulorum FAC, AD E erit, DE: AEO: CA. AFI idest se. ε:ν-Ce. ε
saepe utiles esse, experti sumus. Quoniam Sc .e: Cc.e-lar: e Te . :r, erit et
z: T c. tata: ν..His, quae veluti fundamenta sunt calculi trigonometrici, prae-
missis gradum iam faciamus ad ea Theoremata demonstanda, quae ad triangulorum doctrinam pertinent. x So. Theorema primum. In quolibet triangulo Fig. s. ABC latera sunt inter se ut sinus angulorum oppositorum. Per tria puncta A, B, C describatur circulus, cujus centrum ist Q. Ex centro duratur radius dA,& QM perpendicularis ad latus A C. Quoniam recta QM bifariam dividit arcum A C, erit angulus A M aequalis angulo A BC Euel. lib. a. ), & AR dimidium lateris AC,' atqui AR est sinus anguli AQR ABC, posito sinu toto A; Ergo AC est duplum sinus anguli oppositi B. Idem potest de aliis lateribus AB, BC demonstrati; ergo erunt latera omnia dupla sinus angulorum oppostorum ἰ eoque inter se ut ipsi sinus. 31. Si angulus ABC esset obtusus, produeatur rig. o. RQ in M. A cus A MC erit bisectus in M; ergo angulus A M in ABC, & A R ut antea dimidium lateris AC; sed AR est linus anguli AQM; ergo etiam in hac hypothesi est latus AC duplum snus anguli oppositi B. Q. E. D. .. . 3δ. Theorema secundum. In quocumque triangulo si latus unum A C Fig. 7. O a bila-Diuitiaco by oste