장음표시 사용
91쪽
illi semper responderet ordinata, quemadmodum sormula postulat .Et fi fiat hypothesis A o; hoc est ymo, tunc lineae illae duae parallelae in unam coalest rent, adeoque aequationis locus esset eadem linea abscissarum. Si contra suppo. natur deesse 9, ita ut si Am x, locus erit linea recta parallela ordinatis, seu linea in quolibet angulo eum linea abscissarum, quam secaret in puncto ab e rum vertice distante per quantitatem A, quae quantitas si nulla fiat, sectio Grit in ipso abicitiarum initio. 12. Ex iis, quae hic tradidimus methodus aperitur, qua geometrice val res determinemus duarum incognitarum, quotiescumque duas habeamus indete minatas aequationes primi gradus. Sint hae duae aequationes γm --- ,
3 m , & locum utriusque investigemus. In infinita Fig. 4.) MN
punctum A sit initium abscissarum κε capiantur AC rab, CE ran,& in qu cumque angulo M EF, fiat EF m a, ex superius dictis constat rectam ductam per puncta F, C sore locum primae aequationis, cuius coordinatae sunt quaeli. t AU m Ν, 3c quaelibet respondens V αἴ,& parallela rectae FE. Iam v To quaeramus locum aequationis secundae, sed ita ut ejus abscissarum initium stidem punctum A in linea eadem M N. Igitur sit AG α ὰ, G P m m,& fiat PRme, sed parallela ordinatis loci prioris hoe est parallela F E; scimus rectam ductam per puncta R, G locum esse hujus secundae aequationis. Nune autem si R G producta iecet in aliquo punctoqlineam PC pariter quantum opus est productam, &ex puncto concursus demittatur Q.V parallela FE, dicimus eam esse s a duabus aquationibus revisitam. Etenim quum per primam aequationem y debeat pertine re ad lineam FC, & per laeundam ad lineam RG , idque verificari non possit nisi in puncto concursus, necesse est, ut sola Via illud punctum. ineidens sit sab utraoue aquatione requi sta. Et hoc pacto etiam κ determinatur; ea namque erit Α U. quae respondet ordinatae QU, quae ducitur a puncto concursus duorum 'corum. Ita fit manifestum, quomodo duorum locorum intersectione getometrice M inveniantur valores duarum incognitarum primi gradus. 23. Ut haec constructio plenius intelligatur, nonnulla sunt hic animadverte
da. Si ratio n a eadem stetit, ae ratio m re, erit in triangulis C E F, G P R , CEIE Fod G P. PR, quae triangula quum aliunde aequales habeant angulos in E,& P, necessario erunt similia; ergo aequales anguli ECF, PGR, atque ind lineae FC, RG parallatae; atqui lineae parallelae, etiamsi in infinitum producantur,
numquam se intersecant; ergo in hoc casu nom possent determinari valores N, 9, qui proinde quibuscumque datis majores erunt existimandi. Si rationesu: a,m: Caequales non sunt, loci concurrent quidem in aliquod punctum: at videndum est utrum angulus PGR major vel minor sit angulo ECF. Nam si sit maior, quod Contingit cum n : a: et m: e, tune punctum concursus erit ex parte B, si vero minor. sit, hoc est si n: a: α:m re, punctum eo acursus erit ex altera lineae a scisi ram parte, nempe ex parte D. Huum rationem ex vulgari geometria satis patere existimamus.
24. Si supponamus brari erit καb, & y m a. Patet primum , quia tunc puncta Q, U incident in C; ergo A Crab α A U i x; patet alterum, quia ex eo quod puncta Q, U unum punctum estietant, necesse est tota linea QV omnino evanescat. Id ipsum analysis ostendit. Etenim quum duo valores F, qui sunt
92쪽
α - . b, seu- . κ - b mor ergo alteruter ex factoribus primi membri est m o, at non primus, quum eae quantitates ad libitum assumi possint; ergo Ν - bra. o &κ b. Iam vero si lom κ substituas ι in utroque valore,
23. Denique quum rectae B D , QG non possint se mutuo secare nisi in unico puncto, sequitur unicum ab iis valorem N, F exhiberi . 26. Facile etiam apparet, quamcumque determinatam aequationem primi gradus tradita methodo retolvi posse; quum earum quaelibet possit ad duas indete minatas aeteationes gradus ejusdem nullo negotio perduci, altera incognita introducta . Ea qua ratione id perfietatur. Multipli eanda est prius aequat lo deterin minata per binomium m n m & n sunt quantitates ad libitum sumendae deinde incognita in n ducta iacienda aequalis formulae alteri, in qua nova incognita reperiatur, unde orietur aequatio primi gradus indeterminata; tertio eliminanda est per substitutionem ipsa ineognita multiplicata per ra, qua iacta substitutione alia exurget aequatio in determinata. Loeis utriusque descriptis, quaesitae incognitae valor eorum interses ione determinabitur. 27. Exemplum. Sit quaelibet aequatio determinata primi gradus π m si illam per m--n multipliees, est min-- n. a. Pone terminum n ag a C, habes primam aequationem indeterminatam; & substituto hoc nπvalore in superiori aequatione, ni κ--as a C ra m -- n. A, seu mΝ m 'as' a C aequationem secundam indeterminatam; ergo laei duo
κ determinabunt. Hi autem non differunt a loeis N. 13. , nisi in denominatore, qui in his est idem, in illis diversus. Quantitates C ad libitum p tes assumere , prout ad utilitatem , atque elegantiam magis conferre ex illim veris. Si faceres 'ex. gr. a C m n a, 3c m negativam stilumeres, loci essent F
--, 9 m valde simpliciores. Vides rationem men posse esse quamcumque, dummodo non sit aequilitatis, quia non duo loei essent, sed unus tantum . Facile est etiam obtinere duo loea determinata , quia in quibuscumque. formulis sustici et determinatas accipere rationes a d n , m .a8. Quemadmodum hactenus ostensum est, quascumque primi gradus aequati nes duarum rectarum intersectione resolvi posse; ita nunc ostendemus resolvi a quationes quascumque determinatas gradus seeundi intersectione lineae reictae, Se ircuit. Id ut praestemus notandum est, circuli, cujus radius ν, aequationem esse
ν πιν , si abscissae a eentro dueant originem,& ordinatae diametro sint normales . Sit enim circulus Fig. s. in B G D, cujus centrum C , in diametro D Rcapiatur C F ακ, FG rus perpendieularis ipsi D quum CG πιν sit hyp tbenula trianguli rectanguli, patet suturum semper N --F r .
ast. Hoc praemita accipiamus aequationem generalem secundi gradus m -- Asem β B, in qua potest esse a o, & tunc erit aequatio incompleta. Si aequationera multiplicemus per in' - n', habemus in. - - - . Ic A N
93쪽
' A, qui mani seste est Ioeus primi gradus. Quadrando
. A ; ergo substituto secundo hoc memqubro pis primo , quod in aequatione antea multiplieata reperitur, habebimus
a B, hoe est multiplieato 3c diviso termino ultimo per et
parata eum ea, quam iam esse p riam circuli demonstravimus, nempe cum d 3 st, ostendit radium esse debere quem v
go. Igitur radio m ν descripto cireulo B G D hie erit locus ultimae aequationis, cujus abscissae CF m κ, ordinatae FGras. Nunc ut alium locum F
puncto C ineipiant, fiat C A m A, A erigatur C E perpendicularis D B
talis, ut fit m: n r: C ACE, ducta linea per puncti A, E, ea erit locus alter, qui circulum serabit in G, g, & duae ex iis punctis demissae perpendiculares GF ,gi, determinabunt duos valores' CF, C , seu duas prersitae aequati uis radices, quae ambae positivae erunt, si tendant ex C versus B, ambae negativae si ex C versus D, altera positiva, altera negativa, si altera versus B ait ra versus D pr edat. Si C A sit major quam radius, quod in hypothesi m m n non accidet, nisi B sit ne aliva , tune punctum A extra circulum erit positum;& si negativa fuerit quantitas Α punctum A in oppositam cadet partem, scilicet versus B. 3r. Si punctum A intra cireulum cadat, aequatio duas semper habebit rea. les radiera, nam semper linea A E in duobus punctis circumferentiam secabit , ex quibus demissae perpendiculares in diametrum totidem determinabunt val res κ . At si punctum A si extra circulum triplex oritur ealas; vel enim recta Α E circulum secabit , vel tanget istum, Mi fugiet prorsus. Si primam accidat, duae sunt pariter radices reales; si alterum radices ambae aequales erunt: quod patet , quia linea secans quo magis ad tangeatem accedit, & propiora nune pu
94쪽
M intersectionum, eo etiam magis aecedere perpendiculares debent ita, ut quum in contactii buncta intersectionum coincidant, coincidant etiam perpendicularea ab iis demissae, adeoque utraque radicem eandem determinet. Si vero linea neque secet, neque tangat circulum, tuae sane radices erunt imaginariae; quod non net nisi CE sit maior radio. Erunt pariter imaginariae radicis si radius circuli fuerit quantitas imaginaria, quod est manifestum. 32. Si quis locum primi gradus optaret, qui cum linea abscissarum datum angulum eficeret, is rem obtinebit, dummodo datam accipiat rationem m: n. 33. Quod spectat ad radium ei reuli, quisque videt, ut illum inveniamus, mportere geometricum valorem quantitatis radicalis reperire, quae etsi ex traditis regulis possit semper geometrice determinari, tamen non minorem videtur habere dissicultatem, quam eonstructio jam resolutae aequationis. Nihilominus fiet saepe saepius, ut parum aut nihil laboremus; imo aliquando datus circulus poterit obtineri. Hae de mula voeato ν radio circuli dati necesse erit, ut sit .-
aequatio quarti gradus, quaequum methodo secundi tractari possit, poterit etiam semirer resolvi: sed quia in genere ad implicatam constructionem perducit, ideo hic imperfectum caleulum relinquemus. Eadem de causa silentio praeteribimus methodum , qua aequationes secundi gradus duorum circulorum intersectione ς' struuntur; calculus enim longus & implexus evadit. Praeeipue quum methodus i tersectionum non fuerit a nobis proposita, quasi simpliciores ita fierent semper eonstructiones primi & secundi gradus, quae sane expeditius multo & elegantius possunt alia via obtineri, sed tantum, ut a primordiis suis methodum indicar mus, qua deinde in altioribus gradibus uti opus erit, in curvis stilicit describendis, quae radices aequationum suis intersectionibus ostendant. Praeterquamquod id non fuerat omnino praetermittendum , cujus ope industrius analysia eles alissimas saepe obtinebit eonstructiones. 3 . Verum quotiescumque constructionem perfieis per .cirtutum quemcumque, eamdem perficere potes per circulum datum methodo facili, quae in figurarum similitudine habet fundamentum. Supponam .in Fig. s. per inters ctionem cireuli BGD, cujus radius inventus sitis&lineae Ggdeterminatam fuisse incognitam CF, & oporteat eam per circulum datum, cujus radius Σαώ
determinare. Sit hie cireuius m. o. ΗMI, eujus due diametrum H l --r llelum BD, divide ΚI in L in ea ratione, in qua CD divisa est in A; dus L M in eo angulo, in quo ducta est A G, & dimitte ordinatam M N anal gam ordinatae F G , recta Κ N analoga rectae C F habebit ad C F rationem, quam habent radii a , f. Ergo si abscindatur Κo, quae sit ad KN::f:a, erit K m CF, aequalis incognitae quaesitae, quam titerminare oportebat. Quum si vult sint figurae similes, metbodus haee, quae unico exemplo est declarata, omni bus casibus sine dubio applicari potest. Κ a 33. Ut Duiliaco by GO le
95쪽
3s. Ut autem pateat, quantum in histe res,ns industria valeat, plaeet hie aliud addere gemos constructionis traditum a doctissimo Rabuelio, quo per ci culum aequationes secundi gradus omnes re Blvuntur. Notum est ex geometria, quod sit linea F t. q. ) G H duos secet eoncentri eos circulos ABC, GΗF,lian 'a GA inter ouas circumierentias intercepta ex una parte, aequat B H interea idem inIercepta ex parte alia. Etenim ducta ex D communi centro Do pedipendiculari ad GH, ex Euclide lib. 3. prop. 3. eorda utraque GH, AB bis riam in O dividitur; ergo GomHO, AO M BO; ergo etiam G Ο - Aovi Ho - ΛΟ, seu GA BH. Q. E. D. '36. Hoc praemisso , ut construamus aequationem e-az rabe ductis ad libitum ree is EF, GH, quae se mutuo in aliquo iuncto A intersecent in qu eumque angulo, & aecenta in earum alterutra AB in a. 3c in alia AF α b, FC m e , per tria puncta A, B, C circulus dueatur, cujus centrum si D, d inde intervallo DF a ter describatur ei reuius primo concentricus, qui lineam primam secabit in pundus G, H, alteram in E; dicimus A H esse radicem p sitivam, AG radicem negativam aequationis propositae. Facilis est demonstrario. Nam quum per theorema praemisium sit A E α FC: erit AE me; ergo rectangulum E AF α be. Praeterea vocata AH me, erit HBm AG - οὐ ergo rectangulum G AH Σπη'-aac; atqui rectangula EA F, G AH per propo. 3s. lib. t. Euclid. aequalia sunt; ergo - ag α be . quae est proposita aequati . Pariter vocata GA α - a, erit AH α - ergo rectangulum G AHm x supra. Si habeamus aequationem Embe, constructio in hoc tantam a priori d fieri, quod AG erit radix postiva, AH radix negativa. 37. si esset b m e , tunc esset etiam FCMRF; ergo coinciderent puncta A & C, quod contingit tantum quum linea A F est tangens ei reuli A BC. DOscribere igitur oportebit in hac hypothesi cireulum, qui per datum punctum B transeat, & lineam AF tang t ia dato puncta, quod est problema notissimum. 38. Si construenda proponatur aequatio e- anm-be, ductis in quocumque angulo rectis Fig. 8. 7 AB, AC, in prima accipiatur ABma, in altera A F-FC α e, & per puncta A , B, C circulus describatur, cujus
centrum D. Intervallo DF alter dueatur circulus primo concentricua, qui AC
secet in puncto E, AB vero in punctis G, H; dicimus duas AH, AG esse radices positivas propositae aequationis. Demonstratio est praecedenti fimillima. 39. Eadem eoastructio inservit etiam aequationi a--be, sed AH,
A G tune eruat radi res negativae. In hac tamen quotiescumque sit -αbe, cir-
cuius radio D F descriptus rectim A B non secabit , quod indicio erit aequationem realibus radicibus carere. Quamvis, ut clarius elegantissima haec eo structo traderetur, cireuli duo concentrici descripti sint; ea tamen circulum
ABC necessario non postulat; sufficit enim punctum D determinare, in quo facto centro, & circulo GH F deseripto radices AH, AG eodem pacto obtinebimus. Puncti autem D determinationem faeillimam esse ex geometria scimus; quum nihil aliud requiratur, quam lineas AB, AC iam cognitas bifariam secare in O, V, & perpendiculares erigere, quae se mutuo secantes in D punctam quaesitum exhibebunt. 4o. H
96쪽
U. Hujusmodi determinatio fiet etiam expeditior, si angulus in A rectus sit atur; nam quum hic in semicirculo necessario esse debeat, recta conjungens punia B, C erit circuli diametere ergo centrum D erit punctum illud, in quom hilaritan dividitur. Haec constructio satis superque ostendere potest, quantum hilae in rebus analysiae valeat industria. Idipsum klia docebunt exempla capitis MMatis, ubi nonnulla solvemus problemata geometrica.
Problematum aliquot geometricorum primi, & secan si ' . gradus Glutio exhibetur.
ι primum. Datam rerum Fig. r. A B uteumqae in C divi. I iam iis producere in E. ut sit resiangulum A E B aequale quadrato C E. Vocetur AB M a; CB b,& BE κ quantitas incognita, cujus determinatio
siluit problema. Ex proposita conditione esse debet AE-EBαCE ; ergoa κ. π α b--κ , idest a X κκα b se l. κ unde π α - Itur a- quae analogla ostendit incognitam BE α κ esse tertiam proportionalem post a - a F, & b. Ηine sequens oritur constractioia εα Capiatur CD mb, ut habeatur ADMa-x . Ex punctis C, B duae erigantur parallelae CL, B H, quarum prima sit m AD. altera m CB,& puncta L, B jungantur rem L B. Huic parallela agatur H E cone rens cum Actia E. Haec determinat BE , quam quaerimus. Ex similitudine enim triangae iura L CB. HBEetit CL ma -ab: CB α b::BH α b: BE α -
AC : CE:: CB: BE, & eomponendo ΑΕ : CEe: CE : BE; igi cur CL est media proponim lis Inter A E, adeoque A E. BEαC Ε . Q. E. D. Uerum hic determinationes quaedam nullo pacto sunt praetermittendae Si , α punctum D semper radit inter Α, & C, & locum habet praecedens constructio. At si ι α p vim D cadet in A . adeoque erit 6 D edigo etiam CL m o. Se punctum L eadet in C, 3t L B laeebit supra C B; ergo H E parallela L B lineae An non occurret nisi in puncto infinite remoto . Tamdem si z-, punctum D cad et ultro A, eritque A O negativa;quare CL .
senda est in partem priori oppositam, & quod consequens est, etiam HE parallela Z B lineam Λ B in parte priori amsa lacabit. I. PL Disitired by Coos e
97쪽
s. Problema seeum um. Ia dato triangulo sFig. a. ABC inscribere quadratum, inius latus unum eadat in basim BC trianguli. Quadratum ii seriptum . sit E DFG. In hasim BC demitte uerpendicularem AH, quae ob datum tria gulum data erit. Voca BC m a , ΑΗ mb, HLm FGram. Ob fimilia trianis gula ABH, AFLest AH: ALe: AB: AF,&ob xlia similia A BC, A FG est AB: AF: UC: FG; ergo AHib: AL α ι - κ:: BC m a: FG α π, seu auternando brae: b - κ: ,8c componendo bH-a ; est igitur L H quarta 'proportionalis post notas quantitates.
o. Constructio. Producta indefinire BG fiat HM α BC,& MNα ΑΗ, ut fit HNma b. Iungatur AN, eique ex Μ ducatur parallela ML, quas cabit A H in puncto L hoe punctum L illud erit : per quod ducta FLG hasi B C parallela, R demissis normalibus F D, G E, quadrilaterum E D F G est qua
7. Demonstratur. Propter paralleIas A N, LM milia erunt triangula AH N LHM: ergo M Ni A H: A L H M i BC: H L. Item ob similia triangula A SC, A FG ut AH: AL:: BC: FGr ergo BC: FGr: BC: HL; ' ergo F G m H L, adeoque E D FG quadratum est. , 8. Si angulus A C B sit aeutus allatae sollationi nihil deest. Si rectus sit, patet, 'uadrati latus G E coincidere eum G D. Si denique sit obtusus, rig.
EDv G quadratum utique etiam tune erit, sed non triangulo in strinum , quoniam ejus pars extra triangulum eadet. Idem dicito de angulo B. - 9. Problema tertium. Construere triangulum aequi laterum ABCIequale quadrato statae C N . Bas BC sit normalis A D, voceturque DC m κ, adeoque quodlibet latus trianguli quaesitima ποῦ ergo A Dm ψεκα - π π α π 3
ergo trianguli ABC area mn , 3; ergo vocata CN m a erit re is 3 m. AEa ,
natutum triangulum aequilaterum aequabit quadratum rectae C N. at. Si fuisset κ α να , sumpta recta CG α n- r. a, eonstructiol n a a eodem modo. ae antea, pera retur. I 3. Problem quartum. Datis duobus eireulis, quorum centra sint trig. s. A, B, ducere lineam, quae utrumque tangat. Sit CD tangens quaesita, quae pro ducta concurrat in E cum A D. Ducantur Α C , BD ad puncta contactus. Vos mus Disitired by Coos e