장음표시 사용
81쪽
nllmeros aecipi ad libitum posse, ves positivos, vel negativos , quum quadrata semper positiva sint. 14. Quamvis in sermulis numeris applicaadis tempus nolim terere, quum id saeillimum unicuique sit, tamen hic nobis liceat duos numeros quaerere ab unitate diversos, quorum quadrata simul e iant a. Faciamus igitur 1.
I3Mqae ita deinceps. . as. Problema tertium. Invenire duos numeros ita, ut data sit disserentia inter eorum quadrata. Duos numeros esse supponamus m --n, m ς - n, quorum sunt quadrata , m x , & horum difforentia 4mn π m a ex problematis conditione; ergo κα- adeoque numeri n 'stri fient H n, n, qui, uti etiam numero superiore monuimus, nihil interest, utrum positivi sint, an negatrvI. 26. Videamus etiam hie, quomodo formulis numeri respondeaat, S: quaeramus duo quadrata, inter quae differentia fit m a. Igitur a m a, adeoque numeri ad quadratum erigendi ----π, n.
82쪽
ratione si agamus de differentia, erit m quadrato, quod si erti, xi - . Sad quia solutio hujusmodi supponit A r, cum sipponatur qu
dratula si quando esset παχ, tunc fiat κ-π me ποῦ in de πα- E. F. -r in Sh quaeratur numer , qui, eam additus, tum subductas de suo P drato. semper det numerum quadratum, necesse erit, ut --- α -- serm -σ mρ - 2, αρ a ergoris numeri esse debent, quorum quadrataminat sumpta ma, quos jam in lacundo problemate invenimus; ergo ulix substis
isemula habetur, si valor alter ε ejus loco substituatur
- τοῦ ergo χήρ - . Hi ne discimus quadratorum ρ, ε debere esse digere tum m 2 igitur. E laco e utamur sormula--n problemate frauedrata
go. Problema quintum. Numeram invenire, quo in duas partes divise quam dratum unius partis in a duitie, & addita parte alia. ductis in quadratui essiciat. Numerus sit x, ipsus partes F, I ergo , a FGu-- quadratum esse debet; vod habebimus, si , sta m
ε axi. Problema sextum. Tres numeros snvenire pia, ut silmma omnitiae. SElamma duorum ex ipsis, quicumque fiat, det numerum quadratum. Tres numineri sibi επ, κ'- ax- - I οῦ sumnia omnium , at patet estκ --2κ-- P,
x summa primi δὶ seeundi, κ-aκ-i summa secundi δε tertii, Frmara numeri quadrari sint; ergo, ut problemati persecte satisfiat L nihil superest astus, nin talem κ valorem determinare, ut etiam ones' a L DR emuo
83쪽
ma primi ,3c tertii fit numerus quadratus. Fiat οπμ- 1 rana ergo ret
e 3 3 o 3 ga. Proble*a septimum. Iimenire tres numeros tales; fi pro ductis , quae ex duobus eorum haberi possunt, addatur numerus comav a, quadratum semper Prodeat. Tris igitur quantitates est a, Xa-Ha. 'hΦaquadrati numeri sint, oportet. Nunc primae tantum rationem tabcamus, eaque
heant a procul dubio quadratum erit. Qui valores N,ν si perpendantur, in oculos statim incurrit, eos per m n multiplicatos, quantitate a deinde addita, quadrata exhibere na , n ; ergo sfiat K m-n, patet Ν --a, F Halare duo quadrata. Q. E. F. 3 . Problema octavum. Dum invenire numeros, quorum summa sit quadratum, cujus radix esse debeat quadratum primi numeri auctum numero au
tero. Sint numeri x, ergo Nin s m π --st . Utrumque aequationis memo
a. Problema nonum. .Deos numeros invenire ita, ut quadratum prima, altero addito, aequet quadratum secundi, addito primo. Duo quaesiti numeri sat ergo κ'--yms --Μ, seu s ---κ , & divisione iactata per 3 N, est i ν--κ, quae aequatio nos monet, unitate in duas partes quase cumque divisa, eas partes problemati satisfacere . . . . eas. Problema decimum. Tres quaeruntur numeri ita, ut uniuscujusqui quadratum tum reliquorum summa quadratum esse l. Puoniam κ --2 Iquiaratum est, si tres numerus constituamus κ, an, r, primus problemati respondebit. At, lit reliqui etiam respondeast, neeesse est, ut 4π' ' NH-1 et 3 -Da sint duo numeri quadrati. Id ut obtineamus, lemmate utimur qu--
84쪽
maxime simplici. Sint duo quadrata minor v. gr. b' subtrahatur de ma jori a', erit vela -- b. a - b. Duorum factorum semisumma aequat radicem quadrati majoris a ; eorumdem semidisserentia aequat radicem quadrati minoris b . Hae ergo via incedentes subtrahamus e quadrato 4κ --κ-HI quadratum habemus 4 ς λκ m 4Ν 2. N. Factorum semisumma est I, semidisserentia -- I. Prima itaque radix esse debebit quadrati λ , - . -κ DI; ergo I -s Im 4 ε - -κ--I ς alia debebit esse radix 4 2 quadrati 3' I, adeoque -- - 3 -HI m 3 - I. Videamus modo utrum haec
sibi constent. Ex prima aequatione esti m 6κ, seu π ς ex altera pari modo α 6κ, 3c κ m ut antea ; ergo numeri quaesiti sunt - , - , 1.
4 3 3 336. Problema undecimum. Sempronius duas emit vini species ς unius 1 ciei pretium sunt 8 Iulii in singulas mensuras, alterius speciei s. Summa ex pensi est numerus quadratus, cui si addideris clo, alius exsurgit nuperus qu dratus, cujus radix est numerus mensurarum utriusque speciei. Quaeritur quinam sit numerus mensurarum Hie numerus sit κε ergo ex conditione problematis κ'- er i numerus Iuliorum, quibus vinum omne emptum est. Problema ps stulat, hunc numerum esse quadratum; ut id praestemus, limites P circumlcri. re oportet. Si hac pedunia μ' usus fuisset Sempronius in ea emenda virue 2 ooni specie, quae valet s, numerus mensurarum esset - , qui numerus cedite major est, quam κί ergo oo s κ . Eodem ratiocinio osteodiatur etiam Ν - ωα8κI ergo erunt m - s π clo, π -8π clo, atque additis
quadratis dimidii coeffieientis κ -s x ἡ- ZI m, α' - 8α-- Iori 6. Supponamus nunc radicum gratia, quadratum primum majus esse quam-, s eundum minus, quam O, & habebimus κ'-sκ--M, 1 8,κ'-8M1o Me 4 qextractisque radicibus κ- Ν - 4α8, aut κ - II, α Ia . Potuissent equidem minus angusti limites reperiri; sed hi ad problematis sol
85쪽
ergo α - ' at x major esse debet, quam II, & minor quantaxa; ergo is debet esse valor ut Ir, &-contineatur. Ex prioma eonditione quum sit 3 I1 o I, ponam 9 - ιι 6 ς ergo
rus Iuliorum antea ignotus , est
38. Superest inveniendus numerus mensurarum speeiei utriusque. Numerus earum, quarum pretium s , sit a, adeoque pretium sR,' reliquarum numerus necelsario erit iI 1 & respondens praelium ρa-8 2, adeoque pretium malum simul sa - 3ζ; at hoc aequare debet Iaa; ergo 91 - 3R 724,ua de get masti , Sc a m 6 - numerus mensurarum, quarum singulae valent s. I a IrHie si subtrahatur de xx I, residuum erit numerus aliarum. Q. E. I. Haec problemata solvisse sufficit, ut addiscant studiosi iuvenes, quid i a similibus praestandum sit. Si quis autem planiorem harum rerum tractationem desideraret, praeter Diophantum , eosque, qui Diophanti. opus illustrarunt , xit aperum via delicet, Bacchetum, & vermatium, consulere etiam poterit Prestetum , Og namium, & Saunderionium initio libri secundi Algebrae elementorum.
De constructione Problematum Geometricorum primi, & secundi gradus.
1. T TT algebraicae operationes geometricorum problematum solutioni inseris vi ni, primo quidem geometricae quantitates litteris sunt exprimendae eadem ratione, qua alibi usi sumus, nempe ut inerenitae postremis, cognitae aliis litteris indicentur. Deinde ad aequationes veniendum ductas ex problematis conditionibus. Hae autem aequationes aliquando sponte veluti occurrunt , aliquando vero magna opus est arte ut inveniantur, & multa simi antea 'ra dλ, ex. gra. parallelae ducendae, perpendiculares erigendae, efficiendi anguli, si
86쪽
viam sternent, qua ad aequationes perveniamus. Monere tamen juvat, similis triangula, angulos constantes, & celebre Pythagoricum theorema plurimum iahac re valere. Caeterum, quum omnia a variis problematum circumstantiis pendeant, nullas a nobis amgnari posse constantes regulas, certum est. Praestabimus tamen quaecumque possumus, curabimus scilicet, ut exemplis , & probi matum solutionibus rem omnem quam maxime illustremus. a. AEquationibus inventis, iisque per traditas methodos resolutis, dum m do gradum secandum non excedant, incognitarum valor per cognitas expressus determinatur. At hoo valore habito non omnis consecta res est, quum de Pr hiemate geometrieo agitur. Oportet namque insuper, ut problema geometrico solutum dicatur, valorem illum in lineis, aut aliis geometricis quantitatibus exhibere. Quod quidem quum dissicultate non careat, ideo ab Analyseos praec pioribus nonnullae traduntur regulae, quas constructionum, aut locorum geometricorum nomine appellant. Nos itaque hic methodum nostram sequentes co structiones docebimus, quae problemata geometrica primi, & secundi gradus res. piciunt. is 3. Quod spectat ad aequationes primi gradus , quum in iis analytiens valoe incognitae subtractione vel additione, multiplicatione vel divisione terminorum inveniatur, geometricus pariter valor linearum additione vel subtractione obtunebitur ι vel ad summum tertiae, aut quartae proportionalis inventione . Sit x meta b-e, iacta rectarum Sc e summa, ab eaque detracta b, quod superest erit x. Si fuerit m - es, fiat ut recta e ad restim a , ita recta b ad quartam, hoc est methodo ab Euclide tradita post rectas e , a, b qu ri
proportionalis inveniatur, ea erit x. Sit κ m , fiat e - dr e - b: ec se, ad quartam, quae erit N. Sit κα - - - . Si fiat -m L -ξ g patet
lare quae duae rectae La nihil aliud sunt, nisi duae quarta, propo tim les, prima post c, a, b, altera post n, b, d, easque in figura, ex ge metria invenire jam didioimus. . Sit κα . . Tota ars, ut ex superioribus exemplis conjici pi test, in eo est sita, ut numeratorem in factores duos lineares resolvamus adi nituendam proportionem, in qua denominator sit primus terminus , secundus M tertius duo illi factores, quartus vero quantitas invenienda. Nunc autem quum ab--ed resolvi ita nequeat, ad substitutionem confugimus, qua id o tineamus. Animadvertimus rem egregie procedere si loco unius termini, V. gr. ab alius aequalis adhibeatur, in quo una ex litteris sit secundi termini ex. gr. c, ut autem hunc terminum habeamus nihil aliud opus est, quam facere c: a z: bad qu/rram proportionalem, quae vocetur f; ergo emab; ergo erit nostra πm adeoque facto minu: HΘd: re ad quartam, inventa erit incognita. s. Sit π m L . Fractio illa idem est ac productum duarum quantit fd en ab mtum , - , quod productum dividitur per m. Voca igitur duas illas quanti
87쪽
rit quarix proportionalis post n--ρ,ue,c q. Qaantitates na, n, ρ, ρ inventa quarta proportionali determinantur. Harum substitutionum ratio est manifestinsima. A lce methodis procul dubio fiet semper in aequatiostibua primi gradus, ut lineae reperiantur analyticis valoribus respondenteS. 6. Quoad aequationes autem secundi gradus, quum eae per radicum quadrotarum extractionem solvantur, adeoque ipsi incognitae valor quadraticas radices involvat hinc necesse est docere quomodo hae quantitatex geometrice exprimantur. Sit X m dab, eleva ad quadratum καab, ergo a: π::κrb. Est igitur
.e , sea da b media proportionalis inter a , b . quae invenienda est, ut docet geometria. Hinc disce radicem producti ex duobus factoribus nihil esset aliud, quam mediam proportionalem inter factore1 eosdem ' T. Sit κα. a --b . Statue duax rectas s Fig. r. J A Bia, BC m L quae efficiant angulum in R. rectum , & duc AC. Per prop. 47. lib. I. Euclid.
Panguli, cujus duo latera sunt a L. b. 8. Sit Μ Describatur semicirculus Fig. 2. ACB, cujus diameter fit ABie,3c eentro facto in B, intervallo CB α a describatur a cus secans semicirculum in C, deinde iungatur CA. Ex gi. libia 3. Euclid. an.
gulus ACB rectus est . ergo per Q. lis r. ejusdem AB AC -- BC, seu AB - B C m A C ; ergo e -I O A C . Et κ αι AC i A C ; deoque nihil aliud est Iri' - a', nisi latus trianguli rectanguli , cujus basi
Facta substitutione habes π α af-- ed. Pone ed se; fit g nota, quia est quarta proportionalis post f, e, d; igitur π α ι f--gf f a -- . Erit itaque κ media proportionalis inter L 3c a -- g. Animadvertendum est etiam po tuis te Duiliaco by CO le
88쪽
tuisse sermulam construi statim ae post primam substitutionem obtinuimus. Si enim inveniamus duas medias proportionales, unam inter a ,s, auterum inter e , d, eisque ire angulo recto constitutis basim iungamus, patet eam fore da I ed. - --
m ergo π m Iri quatra sismuς construere. 1. Quae hactenus dicta sunt, quamvis ad quamlibet primi & alterius gradus aequationem construendam sum ant, nihilominus si quis iis apte uti ne ictat, atque eas rectas seligere, eas rectarum positiones, eos angulos, qui magis ad temticiunt, in construci iones longas, & nimis implexas incidet; quae tamen, recte' confideratis problematis ei reum stantiis L vitari facile potuissent, ut constabit in e empliL 13. Hae primi Sc secundῖ gradus aequation ex alia quoque methodo construun Pr, quam locorum geometricorum nomine appellant. Quoniam ea valet etiam in superiorum graduum aequationibus eonstituendis, ideo utile hic erit illius originem, atque usum in simplicioribus diligenter inspicere . Esto linea quaecumque Fig. BC D vel recta, vel eurua; & aliae ad libitum ducatur linea xI N recta, quae hine inde ire infinitum produci intelligatur, quae secet ne, aut non ig-cet B D, nihil omnino resere, quamvis in figura secare supponitur. in recta M Ndeterminetur quodlibet pun m A ad arbitrium, & ex R lineae quotlibet A.V Au, etiam infinitae numero accipiantur; Ex omnibus. punctis. U, u totidem rectae V Q, uq ducantur ad lineam BD in angulo quolimi, sed omnibus communi, ut sint parallelae inter se. Hae rectae Ud, uq dicuntur ordinatis linteae BD lineae AU, Au in partem utramve a deter nato, puncto A proficiscentes, vocantur abscisae, quarum cuilibet stra respondet ordinata I punctum A dicitur abscissarum initium ; abscissae: & respondentes ordinatae dicuntur inter se coarmar quae, ut facile intelligi potest, erunt indeterminatae, sed una determinata, determinata erit etiam alia . Hae figurae construmone, & definitionibus praemissi quaelibet indeterminata abscissa vocet ut x, & respondenς ordinata F , si ex iis is
quae propriae sunt omnium, coordinatarum lineae B D, obtineatur aequatio ex pressa per solas incognitas ψ. y & alias cognitas, ea aequatis dicitur exprimere: relationem coordinatarum lineae BD,&ipsius lineae BD aequatio vocatur .at animadvertendum est, quod si in aequatione π,1 unam tantum habeant pote itatem
nec sint invicem multiplicatae, scuti aequatio est primi gradus, ita dicitur in eo casu linea BD esse primi gradus, & in genere linea BD semper ejus gradu&vOcatur, cujus est aequatio ipilus cootis natarum relationem exprimensis. Sicuti vero linea quaelibet suam habet respondentem aequationem ita aequationi cuilibet sua responde: linea geometricat. Id ut clare intel igas, si ae
89쪽
quatio si m N, quae cum primi sit gradus; lineam quoque primi gradus desi-
θlnabit. In linea recta quacumque M N indefinita , determina punctum quodI
et C, & cape rectas quot lubet CV determinatas; jam si rectas hasce loco M'fuccessive in aequatione substituas, necesse est prodeant luccessive totidem determiis nati valores s totidem abscissis CV respondentes, qui in nostro hoc casu erunt quartae proportionales post b, & assumptam quamcumque C U. Sint hae qua rae proportionales lineae UQ: illas applica lineae MN unamquamque ad puncium illud V, ubi sua desinit abscissa, sed idem sit omnium angulus CUQ, hoc eli, sint parallelae. Iam vero si per puncta omnia Q. ducas lineam, ea erit linea aequationis 3 m F& revera manifestum est lineam B D relationem exprimere omnium c ordinatarum CV, UQ, eamque esse lis eam rectam, quae necessario secabit MN.
in puncto C initio abscissarum I est enim triangulorum omnium rectilineorum pro prium, ut quaecumsue CV snt ad suas Ud inter se parallelas in constanti rati ne, ut hic contingit, ubi coordinatae fiunt inter se in ratione br a. I . Diligenter praeterea animadvertendum est, quod se uti ex C abscissas CV sumpsimus tendentes in partem N, nihil prohibet quominus alias abscisi s Cusumamus ex C tendentes in partem M; at cum hae in partem primis contrariam ferantur, hine si illae suerint positivae, hae negativae erunt cap. I. num. q. Pariter cum lineae MN, B uti diximus, in C se mutuo seceat, necessario ordinatae uetrespondentes singulis Cu, tendent in partem contrariam illi, in quam serrentur ordinatae UQ; unde si hae sint positivae, illae negativae sint oportet. AEquatio tamen nostra coordinatas has etiam amplini constat; nam scimus, eandem esi
. rationem inter coordinatas negativas, quae inter positivas.
Is . Hoc generali tradito hujus methodi specimine, facile omnino est digno. scere , aequationes quaslibet primi gradus, in quibus duae incognitae sive indete minatae reperiantur, ad rectam lineam pertinere. Hujusmodi aequationes omnes hac generali formula continentur 9 , in qua m a summam representat terminorum omnium, qui cogniti sunt, eaque positiva esse potest, vel nygativa; m est coefficiens quilibet positivus, vel negativus abscisiam x multiplicans, n vero coefficiens qui eumque quantitatisy, seu primi membri aequationis, quod in altero in divisorem transit, ut F sola ex una parte remaneat . Hanc
autem aequationem ad lineam rectam haectare, se saeile potest ostendi. in linea recta ut antea indefinita M N determinato ad libitum puncto A, quod si initium abscissarum positivarum versus N, & suppositis nune positivis quantitati-hus m,n, i,§a AC ma fiat in angulo quocumque linea A Rm -- per R, C ducta recta BD ea est, quae propositae aequationi respondet. Nam sumpta quacumque AU α κ & ordinata Udis,& parallela rectae A R erit sem
Ua, adeoque seu quod idem est ne me: A--κ:ιν, unde ν Σ ,
quae est aequatio proposita. A16. Si in aequatione esset Amo, patet etiam esse m o, ac proindα
nullas fieri rectas CA , AR, & aequationem nostram ad hanc reduci -
90쪽
Ia hae hypothesi quum nullum aliud punctum habeamus in figura determinatum praeter C: eum quo coincidit A, directio lineae BD nullo modo est determina. ta. Ut hoc incommodum vitemus. fiat x n--b; b est recta quaelibet determin ta , indeterminata exhibet differentiam inter x 3c b; erit igitur, sustituto n
vo valore N in aequatione, θ m , quam conItruere jam novimus.
n ns bMethodus enim praecedens docet faetendam AC m b, A , per R, C ducendam lineam BD, quibus positis, erit A initium abscissarum A V m z, Ua erunt ordinatae 3c C initium abscissarum re, per quod transit linea
aequationis. . mκ17. Haec ut methodi vis appareret. Caeterum aequationem hoc pa brevius construere potuisses, etiamsi unteum punctum C habeas determinatam . ς Cape CA n, R AR m n , vel CA aequalem euicumque datae, AR verona C A α --, per puncta R & C due rectam BD, patet eam esse, quam quaesis
vimus, & C initium abscissarum M. 18. Si quantitas a esset negativa, eius signum mutetur, ut fiat positiva, & aequatio nostra fiet s m. - , saeila est inferre , quam nam constra
ctio subeat mutationem. Etenim posito a initio abscissarum, eum illae quan titate os imminui debeant, sumenda erit Fig. 3. a C A ex parte opposita versus N, Sc in parte ordinatarum nitivatum saetenda ar M TE, & punctar, C lineam determinabunt. Nast. Si positis m, n, a positivis, re aecipiatur negativa, sed mi or quam
et, sequitur, quantitatem - negativam esse, sed minorem quam - ergo, I
determinatae κ mutato signo, aequatio 3t m - dabit At positivam; quod optime figura etiam ostendit. Si vero Μ negativa sopponatur m A, patet esses m o,& revera quum in C lineae MN , BD secentur, constat nullam esse omdinatam. Si tertio supponatur m negativa major quam Α, tune aequatio dabit 3 negativam, adeoque omnibus Au respondebunt ultra punctum C ordinatae u qin partem adversam positae. ' .aα Si quantitates na, n negativae essent, scimus ex hoc nullas mutari oportere,' nam quum earum una sit in numeratore, alia in denominatore, mutati signorum utriusque valorem eumdem relinquit; quapropter min haberi possent pro positivis. At si una tantum esset negativa vel m, vel u , tunc mutaretarquidem positio lineae BD, quae ex opponis parte lineae abscissarum esset dimcenda, & ordinatae, quae prius erant positivae, fierent negativae, & viceversa. Si A fuerit negativa, quid accidat ordinatis, figura satis ostendit. χι. Diximus aequationes primi gladus indeterminatas quaseumque ad gen talem formulam ν -' si adsint termini utramque indetermi natam eontinentes; at si eorti alter deficit e gr. continens N, tunc formula esset hujusmodis mP, & loeus respiceret lineam rectam lineae abscissarum ρο-