장음표시 사용
71쪽
eum valoribus 9 problema solvere jam vidimus: at alii duo id praestare non
possunt, neque ullo pacto problemati inserviunt. Id autem mirum accidere non debet, ut alibi monuimus. Namque aequationes id tantum indicant, inter e thiis bitos valores aliquos esse, qui problema solvant; neque tuto actimare possiimus valores omnes hujusmodi esse, nisi eum aequatio simpliciori methodo fuerit pertractata. Cum enim illam per implexas vias circumducimus, aliae tacitae conditiones involvuntur, quae radicum numerum neeeilario augent. At superfluas m dices a veris facile secernes, si valores omnes in aeqv tion. bus omnibus successive colloces. ita in easu nostro cum Walorem H in secundam aequationem inducimus, solvenda nob s est aequatio primi gradus, ut valorem κ eruamus I at si eundem yalorem substituamus in prima, aequatio gradus secundi solvenda est,qnae via quum implexior sit, mirum non est, si eum veris radices luperfluae misceantur. as. Problema decimumquintum . Datum numerum in xa ita in duas partes dividere, ut earum quadrata invicem multiplicata dent numerum m . Pa
tium differenta vocetur αχχ. maior numerus Ma - π, minor ma ergoa - - κ . me vi seu a - α α se radice extracta a' - π m major itaque numerus erit a --λ3c minor. . a - που ab . Si radicis interioris superius signum accipias, erit quantitas minor quam a , adeoque erit numerus 1 a in partes potativas divisus, salutumque problema ; at si accipias inferius signum , cu' sit ab a, neeessario erit maior numerus & minor negativus. Sit enim zo I4, Sc metaoι; ergo a -m 48, unde π . Accepto signo superiori , fiet M ii, & duo numeri quaesiti γ--r m 8, 7 At accepto signo inseriori , est κα νς : ergo maior numerus m7-- 97, mi Dor - ρ7, idest primus major quam I 4, alter negativus. χ6. Problema decimum sextum. Quaelibet auri libra valet a, argenti b: ut metallum habeam ex his mixtum, eujus valor in libras singulas sit e, quota pars a Ti, & quota argenti est aeeipienda λ Sit auri pars ram, argenti my. A regula aurea, quae etiam trium appellatur, discimus, quod si una auri libra valet a, mrs auri valebit am; quia i rar: κ: a X; pariter quia Ieb:: bs, erit bitu 1or portionis argenti. Igitur quia partes x, y unam libram simul debent essicere, erit Ν-ym I, & quia valores M, debent aequare e erit aquatio alia a --bm e. Iam vero si aequationem primam per b multiplices, & ex altera subtrahas, erit aκ - b N m e - b; ergo κ α - si deinde e prima multiplicata per aseeundam subducas, habes aΗ - by ma - c, unde si m
Est igitur I ret: e b: a - e; quapropter si libra in hac ratione dividatur, habebis auri partes atque argenti, quae ad unam mixti quaesiti libretra necessario reqviruntur Ex. g . sit a m as, b II, em is, erit e b α 4, Sc a se e o; divide unam librat . , in par-
72쪽
in partes, quae fiat ut 4:6, seu ut 1: g; hae partes sint i igitur i librae
auri, eum i librae argenti libram metalli mixti essicient, cuius valor erit is . Si plures quam duae essent res permiscendae, patet plures etiam requiri conditiones, ut problema determinetur. 17. Problema decimumseptimum. Duo dolia habemus, in quibus vinum est qua mixtum: in uno vinum est ad aquam ut a: θ' in alio ut es' quaeritur qua nam liquoris pars e primo dolio sit extrahenda, quaenam e secundo, ut tertium impleamus dolium, in quo vinum ad aquam sit ut men. Aquam & vinum indieent initiales litterae A, V; ergo in primo dolio habemus Se in secundo σφ fA. Liquor e primo extrahendus sit ire, qui debet extrahi ex altero my; erit igitur AE m m V-n Amm V, &-AE na; ergo a π - es m m, & bΝ ny n, uado
na n - 6 invenies , y a8. Methodus non hisce tantum finibus eontinetur. Sint enim pIura simul permixta v. gr. A, B, C, in ea ratione, quam sequentes indicant formu ae a A--ι' --e , ea fB.gC, b A- 1B--εC : ex prima comb natione accipiatur κ, y ex seeunda, ex tertia si in nova mixtione debeam esse 'B, C ia proin portione m , n, p. Igitur erit aκ a b NB-Hem Cey n o B--ν ν C m m AH-n B pC. hea -- ἐκ B-- t i line tres enascentur aequationes. quae problema solvent, scilicet a v aes a se bRAE m m a, b κB--ΟB- in Brans, ex C- - est C sa C m pC,us de valores erui poterunt. Facile est dignoscere huiusmodi methodum esse universalem, & ad qu-meunque miscendarum rerum numerum protendi pollis. a . Problema decimum uum . Uas habes plenum vino σ, extrahis men suram vini. mi , & aquae tantundem infundis: extrahis deinde liquoris se mi ii aliam mensuram in b.& iterum vas aqv insu- ε sa imples; idem tertio saeis &e. Seire velles quam tum vini in vase superfit post datum quemcunqne harum extractionum numerum. Manisellum est post primam extractionem vinum in vase contentum esse in a - b; at in secunda quum vinum aqua Dimixtum fuerit, M scias quantum extraxeris vini. De ara be: b: - . a - b; igitur vinum extra.. a b ctum secunda viee erit . a -b; at jam antea secundam extractio.
ergo post nem vinum, quod superest in vase, erit a - , -
It invenies vinum extractuma -b ; namque α'
73쪽
Eadem methodo i yenies, vinum post intractionem quartam esse
Potes igitur tabulam enformare, in uua videbis seriem geometrice deerescentem, & exponentem num'
ratoris a di aequare extractionum numerum, exponentem vero denominatorisa esse eundem extractionum numerum unitate imminutum p ergo inferre etiam Potes vinum residuum in tuo vale post quemlibet numerum n extractionum esse
post secundum annum fit injo enumeranda, erit igitur in hae hypotesi κ :
. Sed neque hie est annus, quo Titus solvere teneatur; igitur quum fructus o. Problema deeimumnonum . Titus post entum annorum numerum num rare Caru debet pecuniam α a; facta hypotes, quod fructus pecuniae annuus ut ejusdem pars quaeritur, si nune se velit onere liberare , quid Caio .debeat dare/ Vocemus αλ id, quod nunc debet Titus persolvere. Fructu b ius pecuniae M post primum annum est ; ergo sum.
At si tempus nondum advenerit; quoniam pecunia est
post finem primi anni x--, erit fiuctus secundi am
ni ergo aucta est pecunia usque ad sum.
Si pecunia sit danda post annos debet
pecuniae N . - sit κ . , pecuniae summa post annum tertium erit mm. x. 221 - - - a si tres fuerint anni eonstituti , &
74쪽
, tricam, in qua duo exponentes numerum aequant annorum; recte igitur inser
re possumus debere nunc Titum pecuniam m-- posito n pro quolibet an-
noram numero , quo elapso pecuniam a solvere debuitatis
De resolutione problematum semide terminatorum .
I. DRoblamata semideterminata proprie ad indeterminatorum classem pertinent, L quum in ipsis impossibile sit aequationes tot instituere , quot sunt incognitae: at aliquibux additis conditionibus , ita solutionum numerus imminuitur, ut saepissime determinatus fiat , aliquando etiam nullus. Et si vero instituti nostri ratio non postulet, ut de hoc problematum Denere tequamur , ne tamen rei analyticae studiosis novi accidant prorsu&, hoc capite adi quod eorum specimen tradere duximus opportunum. Duas it Uue bic additarum conditionum sp Cies considerabimus: prima erit, ut numeri integri sint, & positivi; altera, ut sint quadrati, vel cubi &c. va. Quoad erimam: aequationibus omnibus, ad unam redactis, in qua duas esse incognitas supponimus, limitex primo determinaro oportet, quibu& tris a gressis, aut una quantitas, aut plure& fierent negativae; ita enim tentam inun numerux valde minae tur Deinde uni ex incogniti L diger fi succelli e allignandi valores, qui tamen hujusmodi sint, ut altera non sit tractio. Ita ibi utiones om nes polubiles obtinebimus Methodu& tribus exemplis, quae sequuntur, declarabitur .' 3. Problema primum. Quaeruntur duo numeri π, F tales , ut snt 3 κ-sy m g ergo H Ut numerum negativum fugiamus , debebit esse, p. id est κ, atque, ut vitentur fractiones , oportebit, ut ses persecte dividi possit per s . Iam vero ii numeri tantum iunx divisibilex per s, qui desinunt vel In Zero , vel in s; ut autem δκ- ς desinat in raro, necesse est. 3κ desinere iis 9; utque ino desinat in f, debet 3 terminare in . . ergo nulli alii num ri possunt valorem n exhibere, nisi, qui per 3 multipluati , vel in o desinunt. vel in . . omnium igitur minimux est 8, sequitur 33. deinde 38. 'rubux re pondet Fra 3, 6, 9 &e ut in tabulis vides. Notandum cum valores N, tum valores y duas crescentes arithmeticas series emimare et pr)maedi fierentia est s, alterius 3 ex quo discimus , tabulam in infinitum natio negotio produci pol. se, & numeros omnes, sibi in ipsx respondentes . probi inati satisfacere , ac illius infinitas esse solationesia 4 Problem secundum. Quaeruntur duo numeri Ν, 9,
1ta ut sit a x-Hay m ao, vel κ m . Statim apparet debere esse νανo, secus κ esset negativa. Eodem pacto probabimus esse debere N MI ooi ι -
75쪽
vem -- non est pura fractio, sic aequationem exponemus κ - 6 3 a -- v 35- - a. --. Ut fractio det numerum integrum, stante s V io, facile est cognoscere, at alium valorem habere non posse , nisi γ, Φ, ι, quibus respondent
valores καa, neque praeter has alia Invenitur solutio. Animadorae dum primo est, non referre, quod numerus integer ex is ctione ortus sit negativus, cummoao F praetcriptos limites non excedat; secundo valores 9 Inventos eile in arithmetica
serie decrescente, cujus disserentia 3, & valores in crescente, cujus dii serentia eli 2. s. Problema tertium. Invenire duos numeros N,9 tales, ut, iubtracto s deg κ, reliquum sit 73. Igitur erit 3Ν s m 7s , aut 3 o. Patet e debere 3π s, adeoque Ν I. aequationem ita disponamus9 α κ- ά g . Ut seactio det numerum integrum, vides minimum valorem , qui possit assignati κ, ei se . quo in casu est fractio m -m3 ; ergo I m I . In
veniemus deinde valorem m it, cui respondet y 4. Tandem duae series arithmeticae crescentes oriuntur, qu rum prima habet differentiam 7, alia 3, in qάlinas numeri quicumque analogi problema solvunt: adeoque infinitae sunt solutiones. Fortasse melius erat aequationem ita diss
to enim facilius erat, dignoscere S aequalem numeris I, 4, 7 dare fractionis numeratorem per 3 persecte divisibilem. 6. Etsi omnia, quae attulimus exempla, viam ostendunt, quam in hujusmodi problematum solutione sequamur; tamen sateri oportet, esse hoc iter densissimmis tenebris eircumfusum, & incerto nos ferri gressu, quum incognitae valoret ..uaerimus, quo posito sit fractio numerus integer. Exercitatio tamen , & induria quantum ad depellendas tenebras juvent, satis compertum . Ut melius res cedat, opportunum erit ad sequentia animum advertere. Si sit ita, ut nulla habeatur fractio, perspicuum est, quemcumque valorem positivum y, initio ab unitate facto, daturum respondentem valorem ποῦ quapropter in infinitum abit numerus solutionum. In aequatione πma 'quicunque valor 3 , qui minor sit quam dabit valorem κ positivum,& integrum; & quemadmodum fi
4 41 6 hoc easu solutiones obtinebimus infinitas. Quapropter si absint factiones, eam iis abest dissicultari aia bu σ
76쪽
terminos redueatur, quod semper fieri potest. Nunc eam ita esse suppo. Mates, videmus, si fiat si m c , c, 3 e, aut cuicumque multiplos, stactionem integrum numerum exhibere, & problema solvi. Si vero st ,b ν - , eodem pacto disposita aequatioth m m m - - , patet, eos tantum numeros multiplos e prodesse, qui deat' si - , adeoque finitum ose numerum solutionum, aut nullum, fi nullus sit ejusnodi numerus, quo iacasu problema est impossibile. Tandem in aequatione κ -m-- ii nu numeri multipli e iuvant, per quos est i '
8. Quum hae non verifieantur smpliciores hypotheses, res tota est in talibus valoribus 9 inveniendis, qui dent fractionem 'numerum integrum, si-
ve a, Sc b sint numeri ambo positivi, sve alter positivus, alter negativus Certam hic methodum ad eos inveniendos tradere oportet, quae, ut si clarior, opportunum est operationem totam exemplo aliquo ante oculos ponere; quoniam ita facilius deinde erit, universaliter illius rationem ostendςre . - .
q. Exemplum esto tam & valores s quaerantur, qui hanc facti
nem reddant numerum integrum. Quoniam uterque terminus dat impuram si '
ctimem, eam, divisione facta per 33, purificemus,&scribamus a stri Patet obtinuisse nos inruatum, quotiescumquest numerus integer fractio σHanc igitiar infiniamus. scrutemurque, an termini factorem aliquem habeant communem. Invenimus habere quidem, & hunc esse a . quem praemittimus i ctioni ita a. α etiam facile est agnoscere, quod si numerus. int
39 sit numerus integer., erit pariter si multiplicetur per a; adeoque eo resi
ctam rem esse, ut inveniamus valorem S ita, ut.
ro. Puras fractiones, in quibus termini numeratoris inter se sunt num ii primi, vocamus fractiones reductas Sippohamus p numerum 'quemcumque
tactionem , & si s in ap--78 a. Faciamus iterum -- - νς ergo prae Muta, Se stactione reducta ρ αε Ponimus tertio, ut supra,
77쪽
rus potest esse . . . . . - - .ai. Si quis paullo attentius operationis seriem eonfideret, iacile inseret, quando nam in Iractione --valores si haberi possint, per quos illa nume
rus integer evadat, & quando obtineri nullo modo possint. Videtieet tune adoptatum finem perveniri posse intelliget, quum in fractione reducta. numeri csunt inter. se primi. Etenim in nova Dactione, quae oritur, dividitur e per b,& ressiduum dat ira Aionem aliam heductam; iterum in nova fractione e dividiatur per primum residuum, hoc deinde per residuum secundum; in qua opera tione, quum b, e sint numeri primi, necesse omnino est, ut ad reliduum peris veniamus unitati aequale. od ubi obtinemus. voti com tes efficimur; nam a fractio ultima novae incognitae aequalis fiat, huic quilibet valor integer poterit assignari ἀ11. At, si b, e non essent inter se primi, tunc res im stibilis prorsus fit; quum tarossibile sit obtinete residuum aequale unitati; quod sic potest nullo negotio demonstrari. Mi reducta fractio ' , ia quaa , b sunt numeri latEt se prist. Quoniam supponimus e primos inter se non esse, habebunt in v - aliquem factorem, qui vocetur ra, & fit e ng. Patet a babere non posse factorem n Fiat hoc nosito
zροῦ ergo- 9 nergo s g p esset numerus iateger, numerus immer esset etiam -- ,: t- qui hoc est impossibile; quiaquum fit is integer, etiam- integrum numerum esse oporteret, quod est eontra hypothes m. 13. Et revera si hi reduru si actione esset in qua numeri II, 33 π sunt primi, nostra operatio esset ergo P- - , quae, quum p numerus integer esi e debeat, numerum integrum aequare nunquam poterit. Hac generali methodo docemur, utrum - numems in teger esse possit nec ae . & quotieseunque id fieri potest, quinam sint olores S, qui id praestent.. Non desuest tamen artificia exercitatione addiscenda, quae valde laborem immimant, & a Ionseribus saepe calculis liberent. Addumus hic tria alia problemata, ut theorix magis etiam, si fieti potest, exemplis il
I Problema quartum. Coturnices nummis duobus veneunt , Turdi L. Passeres - , nodi habes msi nummos 7or attamen vis emere too harum avium pix , quaeritur quot ex fingulis specie v emere debeas P Numerus sumicum vi Tuidorum 3, Passeram, Habentur statim hae duae 'aequati
78쪽
nes NM-s-HR Ioci, an si let m N. E secanda multiplicata per x primam detrahe; oritur 3 --3m4o, ex qua Po res inseris, esse debere seu κ α i , &ναμ. Nunc formulam Atm- - considera. Si iacis m I 3, erit si a, si Ν m o, erit 3 4,& a m 84, atque ita deinceps, ut in tabula potes animadvertere: Trederim igitur solutiones admittit problema, non plures, neque pauciores; nam extra praeseripitis limites statim occurrent negativi. Nota valores trium incognitarum tres efficere series arithmeticas: prima de crescit, & habet differentiam x; alte .crescit , ejusque differentia est 3; tertia decreseit eum differentia 2.as. Problema quintum. Triginta partim viri, partim mulieres, partim pueri simul manducaverunt; sumptus integer 7s, sed viri solveruat s , mulieres 3, pueri vero a. Quaeritur virorum numeras, mulierum , & puerorum Vocato virorum numero x, mulierum At, puerorum. et, unusquisque intelliget duas ex propositis coaditionibus aequationes descend re; nem- sκ--go --aam: s, κ--F--xm go. Secunda multiplicata pux, & ita subtram e prima dat 3κ--ymas; ergo παs, Multiplia nemus jam secnndam aequationem per 3,& ex se ducto primam subtrahamus; erit -2κ ζα Is: ergo R. Is -- Ν; sed a εα Io: ergo Rαχ s. Quia vero limites κ sunt omnium arctissimi, ideo his utimur aequationibus sim II 3π, ponimus Ναε, invenimus F m 3. 2m 23. Quatuor solutiones, . quas admittit probi ma ostendit tabella, in qua etiam valorum serit , & setierum differentiis sincile est deprehendere. Is. Ploblema sextum. Invenire quot modis possit quis solvere soo Iulios aureis partim adhibitis vulgoraeebini quorum valor ax Iuliorum est, partim s meare Oppie quorum. valori ιγ. Primae speciei numerus esto ri, ait rius s. orietur igitur aequa;iq a I HIIS M soo; unde hahmus debere G κα - . idest π 14. Exaequatione est να δ'' . -- -κ-- Τ 21 ε εχ ιγ
43-parq; quare habebimus X, at num 'ris integris expressos. At opus etiam est vitare numeros negativos. Si s uit AE o, Smaa; si ima, tune invenitur κ α assem ergo, exclusi
79쪽
- οι negativis, hae solae inveniuntur solutiofles. At De problematum genus negatura omnino non ςAcludit, quae indieant non me ereditori, sed illum mihi da re, quidquid illis exprimitiir, debere. I tur iacto e m gerit m m. , ἔν' 1M quod ostendit illum mihi debere aci aureos minoris pretii , cui ego ψo aureos pretii majoris dederim . Si iacimus qmo, est m - ι I, 9 i 43, unde discimus restituendos nais aureos majoris pretii xi post solutos 43 pretii minoris. Consule tabellam , quae hinc inde in infinitum produci potest. Atque haec satis superque sunt quoad ea problemata semideterminata, quae negativos, & fractos numeros excludunt. ai 7. Ad eam problematum speciem veniamus, quae secundam conditionem postulant num. I., nempe, ut numeri sint quadrati, cubit&α, in quo celebre Di phanti opus versatur. Plures, atque plurimum inter se diversae sunt methodi quibus in horum problematum solutione auctores usi sunt; ita ut, si de singulis vellemus hic agere, nimis longa res esset, & quae una sibi volumen integrum postularet. La r esset praeterea in re positus curiosa magis, quam utili, & ab instituto nostro aliena. Non enim haec funditus perlerutari volumus, sed ta tum analyseos hujus specimen exbibere; cujus reii gratia: p- emata nonnulla hic solvimus, quae merbodos, & artificia patefaciant. quibus ejusdem generis alis pariter solvi possint. Haec autem numeros fractos non excludunt, sed irra tiona , quapropter in eo ara omnis est sita, ut ita incognitas quantitates nominemus, ut radicum extractiones sutiantur, k arceantur quantitates surdae, a quibus problematis natura abhorret. I8. Problenis primum . Duos invenire numeros, quorum quadrata in summam collecta dent numeram pariter quadratam. In solutione utimur hac sim
Hieissima methodo .. si drato m' amn 'n' addatur quadratum aliud
4m n , summa est m-. -n , qui numerus est et euis duo
quaesiti numeri sunt m -n , amn, quorum quadrata simul sumpta aequantquadratum numeri 19. Eadem arte solvemus problema. Invenire duos numeros ita, ut, quadrato unius a quadrato alterius subducto, disserentia sit numerus quadratus. ει quorum quadratorum differentia est
m n numerus quadratus, cuius radix amn; aut numera duo erunt m lan , mn, qui ad quadratum elevati interis distant per quadratum numer m
λλ Si unus e tribus numeris detur Masem D ille, cujus quadratum a quale est quadratis reliquorum . multiplicabimus tres numeros inventos per unde orientur numeri
ra quadratum aequant tertii dati. Alia etiam via inveniri potant duo linum' ri, quorum quadrata simul aequeat quadratum dati α a. Sit unus e numetriis
80쪽
quaesitis nκ, alter igitur ex eonditionibus erit aequatici
ar. Problema secundum. Invenire duos numeros ita, ut eorum quadratata saeui sumpta duorum aliorum quadratorum summam aequent. Accipimus duos hosce numeros m a amnb - utrumque ad quadratum elevamus ,
alias sub aliis selibentes potestates analogag m, n, & invenimu2
Accipimus quadratorum summam, in qua termini omnex, ubi reperitur ab, liduntur, quo consilio numeri electi fuerunt. Summa est m a -am n a .
qui sunt duo numeri quadrati ' adeoque numeri assumpti dant summam quadratorum aeuualem quadratis duobux numerorum a , m --n'. b. Q. E. F. A. Nonnullae animadvertere oportet, ut harum sermularum rectus sit usuruSi fieret min. numeri iuventi iidem essent, atque assumpti; ad quo nug toria solutio. Pariter si facimus meis: ra: b, primus ex assumptis aequabit primum inventorum , & secundus seeundum iaas. Si quia optaret numeros duos esse datos, e. g. a, b, tanc quatuoTn
meri dividendi erunt per quo posito, fient
, a, b, A extremorum quadrata simul quadratae aequa
bunt priorum. Solutionem eamdem habemut etiam ita. Singamus quaesitos numeros, quorum quadrata esse debent m mN- a, nκ b. M. go ex ea conditione fiet amaκ- a' δκ - 1nbπ-b a