장음표시 사용
154쪽
DE LINEIS, SEU LOCIS SECUNDI GRADUs
ET DE AEQUATIONIBUS TERTII GRADUS, ET QUARTI .
De variis linearum secundi gradus s ciebus ,
ac peculiariter de Parabola. I. I Ullam aliam primi gradus lineam esse praeter rectam, superiori librui satis est demonstratum, ubi vidimus illius ordinis esse myia noe p m o canonicam aequationem , in qua m, vel positivae, vel negativae accipi possunt, vel etiam nullae. Nunc ad lineas secundi gradus accedentes ante omnia canonicam earum aequationem exhibendam duerumus, Sc accurate perpendendam. Ea autem est y --q m o. Ii hac loci omnes hujus ordinis continentur, si illos excipias, ubi deest terminus
, de quibus postea. Ut eurvae per formulas indieatae diversae sint inter se , non suffieit immutatio coefficientium unius termini, aut plurium; fieri enim. potest, ut inde oriatur tantum immutatio verticis adscissarum, aut earum lineae, curvae interim specie eadem prorsus manente. Itaque ut variae linearum species determinentur, quae a formula tradita exprimuntur, aliquanto majore industria uti opus erit. a. Sit r. J CED curva quaelibet ab aequatione nostra expressa , in qua ABακ, BCras. Facile est cognoscere duos esse oportere valores o
inveniamus, addere oportet rectae BC quantitatem Id fiet, si ex puncto Α ducatur AF parallela lineae CB & ex F dueatur FG parallela AB;
155쪽
Ita enim erit C Gms --, existente FG α ΑΒακ. Deinde hala iamiae CG addenda est quantlias , quod hoe pacto praestabimus. Fiat FI: IK::a: ι, posita ΙΚ parallela CD, & per duo puncti F, Κ ducatur FΚH ; erit igia
rae coordinatae non sunt, quum in lineam abscissarum non desinant, ideo quingenda erit sequatio inter CH α u, Sc FH, quam voeabimus m a. supponamus itaque rationem FI: FΚ, quae nota est ex constructione, esse ut ath; ergo
erit & κα qui olor in sermula substitutus dabit
mo. Manifestum euilibet esse potest, nos in hac mquatione invenienda nihil praestitisse aliud c quam generalem aequationem a lianea abscissarum AB ad DH transferre. Hi ne aequatio nuper inventa, licet iura duo termini desint, non ideo universalis est minus, aut minus curvas omnes secundi gradus complectitur. 4. Ex aequatione constare potest, duos esse M valores inter se aequales est rum positivum , alterum negativum; ergo sicuti CH DH, ita lineae omnes Parallelae C D ad eurvam hine inde terminatae bifariam secabuntur a line -- FH, quae ideo diameter appellatur. Hinc si ex vertice L ducatur linea parallela ad C D, ea erit tangens; si enim curvam in aliquo alio puncto secaret, jam non bifariam a diametro divideretur. s. In ultimo inventa aequatione summa tura neeesse est perpendere cocti-eientem secundi termini, seu quadrati ex eo scilieet integra pendet curvarum divisio . Gessiciens ille est - . Iam vero tres easus esse possunt I
m -, secundo termino postivo manente, aut tandem ut si mα - , & s 6 . ' .cundus terminus per e secuens negativus . Nune mutata v in ν, & η n ntres propositi casus tribus hisce formulis continentur.3 - bκ - e io posita quantitate Am ι
156쪽
'F ω s c. Species a semper potati. st tiva accipi debet, duae reliquα c vel positivae, vel negativae prout lubet, vel etiam nullae. - o. In prima e tribus formulis, si x in infinitum augeri intelligatur &ainbae positive sint, aut ambae negativae, constat duos esse valoress re Ies & inter se aequales alterum positivum, alterum negativum, at si altera ex speciebus b, ω sit positiva, & altera ne liva, valores s sore immaginarios; ergo habebit curva ducis tantum ramos in infinitum a se invicem recedente . . In seeunda aequatione si x aut positiva, aut negativa fiat. infinita, valores 3 semper prodeunt imginarii; ergo curva nullum nabet infinitum ramum, & delf .minatis limitibus continetur. In tertia tandem si x vel positiva vel negativa in infinitum augeatur, semper F duos habebit reales valores; curva ergo quatuor praedita erit ramis in infinitum abeuntibus. 37. Quoniam evidens omnino est; curvam, quae duos habeat ramos infi- os, eandem non esse ac illam, quae nullum hujusmodi ramum habet, & h rum neutram eum ea convenire, quae quatuor infinitis ramis gaudet, hinc tres 3nter se diversae curvarum species oriuntur , quae loea secundi gradus appella tur. Prima species eas curvas amplectitur, quae duobus tantum ramis abeunt in infinitum, & Parabolae vocantur: species alto est earum, quae nullum infini tum habent ramum & Ellipses dicuntur: tertia & postrema continet Hyperbolas, eas stilicet minas, quae ramis quatuor tendunt in infinitum. ι8. Verum ad generalem larinulam paulisper reverismur. Ostensum est in e
positiva, quo in easu ellipsim exhiberi diximus, tune si H-Iκν--mm in duos reales factores retavi non poterit; ergo quum ea sermula in reales factorear
lalvi noμ poterit,eurva semper erit ellipsis. Tandem sermulaν - - ιυ - m in reales factores reislvitur, si fiat m quantitas negativa, quam hypothe
sin ad hyperbolam pertinere iam vidimus; ergo quum larmula reisivi poterit in duos reales factores inaequales, aequationis curva erit hyperbola. Hujusmo di animadversio emit, ut in ipsa generat,4ormula tres iplas curvarum species nullo possimus negotio deprehendere. s. Md jam de singulis curvis ut agamus, a parabola initium ducimus. λjus formula est igitur 3 -bκ - emo, seu translatis terminis3'mbκ--e m b. κ m. Ponamus κH quam suppositionem nihil aliud praestate vi-
157쪽
LIBER SECUNDUS odimus. quam in uno ad aliud punctum abscissarum verticem inuissene; erit Notur seu, si littera n pro et utamur Prabn. si R. 3 AF sit l,
a abstitarum , & earum vertex Α, quum in eo ipso pun- Α fit Oecesse est etiam eidem res ndere o; at crescente x duos esse constat vat res s aequales inter se palativum alterum, alterum negativum; veluti si fiat AF κ: erit FD 3 positiva aequalis FE , quae est 3 negativa, ita ut quo in lar fit abscissa, eo etiam magis ordinatarum valor augeatur, & u illa infinit sumatur, hae quoque evadant infinitae, unde duos exoriri oportet ramos in i finitum abeuntes. Si vero π negativa accipiatur ex A versus T , iam valor sarit imaginarius, igitur etiam curva erit imaginaria. Haec in hypothesi dictata sunt, in qua b l quam deinceps parametrum parabolae vocabimus, quaeque re tangulum efficit cum abicissa aequale quadrato ordinatη fit positiva. Etenim fi negativa esset, ut sermulam haberemus 3 m -bae, tunc reales 3 valores res. ponderent negativis abscissis, imaginarii autem positivis. ao Recta AF eordas omnes parallelas DE histriam secana diameter ap. pellarer, M axis si praeterea secet perpendieulariter. Punctum A est vertex di metri , seu axis, per quem si recta ducatur ordinatis parallela, ea erit rangens curvae; si enim allo in puncto eam secaret, jam non omnes parallelae DE hiantiam dividerentur. Etsi anguliis ordinatarum quicumque esse possit, tamen ut magis elegantiae demonstrationum, & simplicitati consulamus, eum hic rectum initio assumimus, ita ut diameter AF sit axis, & duo rami AD, A E it . in omnibus similes & aequales, ut, si alter alteri superimponatur, perfecte co
r. His praemissis, sit recta quaelibet D G, quae cum axe angulum quemlibet effetat D GFαμ, ut aequationem quaeramus inter AG, DG. Sit A GDG α u; habebimus re Sc.μ: duo ναοῦ & praeterea νοῦ Ccμαώ
mula ν καα1 substitutis, nova exurget aequattO-- --m
quam quaerebamus.' ra. Suppone modo, idest AG imminui paullatim, & eodem temporo lineam DN semper hine inde curva definitam, motu sbi parallelo sequi pun- in constat, quum facta suerit DN tranfisse in AH. At ex ae-
tur AH α - . Signum negativum ostendit, lineam cadere in parte
gativae; u vero postiva evanuit, quod ex ipse motu lineae satis ostenditur.
158쪽
xddito dimidii coeffetentis quadrato
ra & iaspiciarma quid oriatur nova ex hac substitutione. Ut at o ineatur, necesse est tantum ad. dere quantitati u α DG quantitatem quae est dimidium rectae A ri
laltve AH biistiam divita in Κ, R ducta KL axi uela, erunt KL me DLmst; hoc ergo unum accidit . ut sequatio ad aliam abscissarum lineam
transferatur priorI parallelam. a1 . Si sat nunc hypothesis sim o invenimus Ioitur proin
figno - indieant quantitatem illam ex parte a negativae sumi oportere. Sit hypothesis alterata
ς in qua panciam immutatur originis abscisiarum I oritur
, quam vocabimus qua ordinatae angulum eruiunt πιιι, parametro m
m, ut ut aequatio illi perfecte simili, . quae axem respieit..is 3 - Rura omittimus pmblemata , quae addi possEnt, quaeque exm mino calculo laeillime solverentur. Duo tamen silentio praeterire non licet, quippe quorum usus fit maximus in analytieis inquisitionibus. Dato axe AF, illius vertice A, & parametro rab, invenire diametrum . . cum qua ordin taeangulum contineant ejusque parametrum. Ex A axis vertice ducatur in
in K ducatur axi parallela KL, quae erit diametri positio. Capiatur deindα
159쪽
quae postulabantur, inventa sunt. Sicuti autem AH ex utraque axis parte duci Dotest ira constat, duas esse problematis solutiones . 16. Problema alterum siti data diametro LL, ejus orti I, parametro m& angulo ordinatarum πιιι, axem, axis verticem. ipsiusque parametrupiaveaire. Quoniam δι
termitiatur. Hoc habito si abscindatur I Καα-- - . & ia duo angula
demissa AF 'irallela ad IL, ea erit axis. Animadvertendum tantan est, pu ctum A verticem non esse axis, nisi angulus IK A sit acutus.1 . Quod ad tangeatem spectat, haec tantum addimus. In sequatione, quam supra invenimus inter lineas quaicumquo AG & DGmu, idest in aequat.tione νυ et 3 . νι M. Ce. μ
, duos valores u tuas ficto calculo aequales M
se deprehendentur, quum erit -- o. seu quum Git
160쪽
seu κ -aκη - atmo, & radlae extracta κ- io, unde x in sini R TM: AS. Hinc relate ad axem pulcherrim 'ngentis fit nota proprietas, nempe si ex quocumque puncto I curvae tangens clueatur,-ari occurrat in ,& in. axem ordinata I S demittatur. distimus, tiaram TS semper a parabolae
inguTS. SI; atqui TA est dimidium Τεο ergo A eris tumidi 1 SI-AR. T VJ r8. Huiusmodi proprietas ad quaseumque diametros pertinet. Si AF diameter quaedam, cum qua ordinatae DFist angulum siniant DF A mae, laaequatio illius mκ ms . Ducitur linea quaeumque D s In angulo D GF miri de erit angulus GPF m π - Ut aequationem habeamus inter AG m at, A DG u, fiat 3 cu'.: Se.μ: Se. ποῦ ergo F 'f'e; iterum ur F c. r
Facta itaque valorum substitutione, erit aequatio ma --- - .
ilone deprehendetur, valores u aequales ine non posse qum sane requiritur, ut ordinata in tangentem transeat , nisi ς
. Itaque si, ut fignum - ostendit, accipiataei
AT-- L, A ducatur TI, haec eantam tanget in puncto I. Voc
tur nunc T A ut fit ara ista, ordinata Is αν . abstisia A Sm M. Habebimus quemadmodum antea e s e . ε; ergo