장음표시 사용
161쪽
ro. Posita R O tangente Si A vertim viametri A F euiuslibet . daeatur D O ipsi diametro parallela ex puncto D. ex quo pariter intelligamus ductam
ordinatam DF. Quoniam demonstratum est rectangulum ex parametro, & a seissa aequare quadratum ordinatae, verum erit pariter, rectangulum sub Par metro, recta DO aequare quadratum AO' Igitur vocalix Ao π, olim It & parametro ram, erit x m. my. Patet hanc aequationem ad parabo al/m pertinere L sed abscissas x an tangsnte accipiendas ordinatu a elis. m. ctas diametro parallelavia ' Q. Hinc facile est demonstrare, aequationem felleratissimam semper esse ad parabolam, quotiescumquα desit in ea praeter quadratum etiam rectangulun κν. Iis enim terminis deficientibus poterit ea aequatio semper ad hanc formam redigi κ .pκ--ny o, ergo addito & subtracto - , erit κ' ρ
vertieem abscissarum, habebimus -- e mo, se ns
m-- - - - s. Si raratim iterum 2 - - 3 mu, qvie substitui qmisa nihil praestet aliud, quam xx avia recta abstindere F, aequationem ad lineam abscissarum priori parallelam transferet; oriatur m amaria ad parabolam in qua abscissae in tangente rapiuntur, ordinatae autem M parallelae ducuntue diametro, cujus est parameter m. . Animadvertere hie plane oportet, curvari realem esse si posita n positiτα, u etiam positi v aeeipiatur, Ec contra si v fit negativa, curvam esse imaginariam . Viceversa si ponas n negativam, Sc u positivam accipias, curva erit imaginaria, si negativam realis. Haec patent vel l viter consideranti. Hactenus de Parabola egimus omnium linearum se odi g dus facillima; ad alias auac est transeundum, quae majorem sine requirunt i dustriam
164쪽
C A T UT SECUNDUM. De Ellipsi.
t. Inspiciamus iam sermulam secundam Cap. L s. --em
4 α 4 aquam ad ellypsim pertinere diximus ramis infinitis carentem. Si transieramus riginem abstillarum facto π - - α ζ, oritur aequatio simplieior - Ha'
tiam necessario sere, quotiescumque - - sit quantitas negativa. Nuae ut aequationem ad commodiorem formam perducamus, sit b loe ---, 3c
α. Radice extracta est y b'- κ', unde distimus, ordinatae F duos esse valores positivum alium, alium negativum. s Fis. r. ὶ Si π mo, erit y α cte' ergo posita linea abscissarum CF, & C earum initio , si accipiatur linea CBαCb m e in quocumque tandem angulo cum linea abscissarum, puncta B, b ad curvam, de qua loquimur, pertim bunt. Si nunc supponamus πnon amplius esse m o, sed paullatim crescere, sive id fiat positive, sive negative, quod rem non immutat, quantitas -κ' minui quoque paulatim de obet , atque adeo etiam si, donec sit prorsus nulla, quum iacta est κ α b. Igitur si in litrea abstissarum seremus C Am C a m b, puncta A, a erunt in curva, ut tra quos limites', & eurva fieret imaginaria. Necesse est ergo, curvam hanc spatio finito eontineri, atque in se ipsam redire, ut in figura apparet. 3. Linea A a , quia rectas omnes parallelas ad Bb. Si hinc inde ad eurvam terminatas bifariam dividit, voeatur diameter, & eadem de causa diameter ain Milabitur Bb, quae pariter bifariam dividit parallelas omnes ad A a. Rem ita se habere facillimum en ostendere; nam aeceptis CF, & c aequalibus, ex aequat 'ne constat eosdem utrique respondere valores erro FD id, adeoque o Daqiralis, & parallela ad 1 F; atqui 1 F bifariam dividitur a Bb in puncto C;
165쪽
ergo etiam do bliariam ab eadem dividetur in puncto o. Demonstrationem mulibet alii parallelae applieari posse, manifestum est . Duae diametri A a, Bb, quarum quaelibet bifariam dividit rectas ad aliam parallelas, dicuntur diametri conjugatae. Sciendum est etiam, quotiescumque diameter usurpatur tamquam lunea determinata, intelligi etiam hinc inde per curvae intersectionem definitam, ejusque ita acceptae dimidium semidiametrum appellari. . 4. Si antecedentem aequationem in analogiam vertamus, erith re ; unde constat, sumpta quaeumque CF m re esse rectangulum a P Α :F D C A CB . Tertia proportionalis post A a, Bb, quam voco me, dicitur parameter diametri Aa; unde habebimus zy et: ab eo. Eadem
aequatio potest ita dilponi - .c - 1 - π ' igitur e ses e re ob , se a
rectang. bo B: O D : C B : C A . Et inventa tertia proportionali post B A a, quae vocabitur parameter diametri Bb, erit -9 IN Gae ad param trum inventam. Ex his facile apparet, eandem aequationem, easdemque propri tates ad utramque conjugatam d metrum pertinere . Nos deinceps parametria omissis formulas tantum , quae respiciunt diametros, retinebimus. s. Quamvis autem coordinatarum angulus pro libito assiimi possit , illum tamen, ut in parabola praestitimus, rectum accipiemus, 4uo in casu diametri axes appellantur. Ratio cur id faciamus est, quod recto angulo assumpto , 8e eadem demonstrantur, quae etiam ad obliquos angulos pertinent , & nitidiores profluunt ealculi. In hac hypothesi si duos ellipseos semiaxes CA, CB aequales sint, quum sit , α e, erit etiam radeoque y' 3eb αι 'sy'. Atqui si dueatur C D, ea erit m ; ergo CD i b m CA, quae est ei culi natura; ellipsis igitur, eujus duo axes aequales snt, est circulus. o. Positis, ut antea CF m x, F DraF, C Arub, CBie aequationem nostram b - α attente pertractemus. Ducatur recta DG , quae eum axe
Si valores isti N, F, quos modo invenimus, in aequatione substituantur, fiet illa
166쪽
m Ex C , quod centrum ellips- deinceps vocabimus, duratur CM DrauuIa D G, & supponamus punctiun G successive moveri in linea CA, & DG motu sibi puallelo punctum G comitari, ita tamen ut semper hinc puncto G. 1llinc curva terminetur: patet suum G in C incides, hoc est quum ficta erie CG nrao, lineam DG ineidere in C M; at in hac hypothesi stiluatio m
m - C M, quam brevitatis gratia vocabimus
; igitur si ex puncto Α dueatur AH parallela DG. erit AH
, quam dicemus map. . - . - --8. Nostra aequatio, si primus terminus a Gessieiente liberetur . est
tamen Ionge alia est ab ea, qua usi sumus num. quaeque respondet lineis D Fad axem ordinatis: propterea vide ne eas invicem confundas . Elia igitur CKIrecta serans LG α U, sequetur esse DLmst, cujus patet ex aequatione duos
esse valores, eosdemque inter se aequales, alterum sciliret positivum, negativum alterum; ergo lineae omnes DN bifariam in L dividentur, adeoque bitariam divisa Diuiliasu by Coosl
167쪽
His erit ΑΗ ia Κ, & ΑΚαρ; quod etiam ex eo fit manifestum, quod, is sis in aequatione b, supersit' - ρ .
Ut antem aequationem ad lineam C I perducamus, vocetur angulas IC Ara π, unde sequitur, esse angulum DLC m l . Ex his denominationibus est bre M. Sc. μ επ: Sc. π; adeoque ρ - - - . Praeterea Sc. μὰ σά S
'πια m - Μ , illi persecte smilis, quam ad axes spectare iam vidimus; quare necesse est, CI,CM duas esse semidiametros coniugatas.
168쪽
minis, qui invieem eliduntur, & divisione facta per se. μ, erit et C e . 1
A b e, qua in hypothesi elli sis in circulum vertitur, sinus anguisti VLCαμ- nullus est; atqui angulus, cujus cosinus sit nullus, est rectus eris D in hir lo. diametri omnes axes erunt. Posito angulo D G C acuto, βι e, insinus anguli DLCαμε π erit positivus; ergo ipse angulus D I C Autus, adeoque MCI ejus ad duos rectos complementum erit obtusus. Contra accidit si b α e. Hinc sequitur ita sibi invicem occurrere di ametros conjugatas ut earum: acutus angulus a majore axe dividatur, obtusus a minore. Id infertur Iiam ii .angui s Fg. a.) RGC α - sit obtusus. Etenim tuic angulus GCL2α πerit negativm, A nςMtivus pariter ejus sinus, angulus vero DL C aequabit μ-ν,
er 'sinus anguli DLC α ιι - π est negativus; ergo angulus D LC obtusus. &M CL acutus, qui secatur ab axe majore CA; oppositum accideret, si Animadvertendum est Fig. a. angulum ae esse angulum' quem diameter V Iessicit cum axe, & angulum H esse. anguIum M Ca, quam diameter conjugata MC iacit eum axe eodem C A in partem alteram proclueto. Ia. Ex aequationibus , quas saperiori calculo obtrauimus , sicile alter anagulorum μ, π ex altero inveniri poterit, suppositis axibus b, c. Aperte id con-
169쪽
do eadem ex dato angulo ae angulus μ invenietur. 23. At si dato angulo μ 4- π, quem diametri duae comprehendunt, quaerantur anguli quos inciunt cum axe b, hae via incedere possumus. ADRmpta iterum aequatione m e . Ce . . . Ce. , Enim duertimus
M. μ. sc. π. Harum aequationum facta additione , 3e subtractione , oriuntur
Sc. 1a .rc. π , qui valores in reassumpta aequatione substituti dabunt b . Cc. μ π C c . μ - π m e'. Cc. ι -π-- Cc. ι ποῦ ergo b - c. oe. --e Ce. μδτ. Hine dato angulo μ et' habebitur angulus --π at summa data ac differentia , statim quantitates fiunt cognitae; ergo e gniti fient anguli Si esset e m b manifeste apparet laturum Cc. με r o, unde deducitur angulus, π semper rectus; hinc impossibile est in hae hy thesi, in qua se omnes diametri conjugatae ortygonaliter iecant, angros deis terminare, quos iplae essiciuat cum axe. Quod si e f, quum μ ε π recto maior esse debeat, ejus eosinus erit negativus, adeoque positivus olor Cc. μ v. Histe inspectis, quae ad angulos pertinent, nonnullas diametrorum conjugatarum proprietates demonstrare opus est, quae usum babent quλm maximum. 1 . Accipiantur iterum valores π, m A duplex vatur ρ, Icilicet
Si minus ex his vatiuibus p in valorein m introis
170쪽
ostendit hare ultima aequatio, ductis duabus rectis ΜI, BA triangala MC I BCA aequalia esse, ouod sane est evidens. Namquequum sit MCran, CI di perpendieularis eadeas ex Μ in s C pmductam, si opus fiterit. semper ego debeat in erit semper ea vi aeqdationis ti
Hine etiam sequirur aequalia esse inter se parallelogrammia vimnia . ovie et IIpsi inseribi possunt iis, ni eorum diagonalea sint duae diametri coniugatae olim proprietas diligenter est animadvertenda. rs. Ex .duobus V laribus P, quos supra invenimus. 3c ex valore u seimua