장음표시 사용
171쪽
finali aequatione illud est manifestum, quadrata duo lamidi Metrorum conugat rum duo aequare quadrata semiax um adeoque etiam quadrata duo prim in quis buleumque diametris coniugatis constantem. summam. τεbibς ς e i β. HAE duae proprietates, quas demonstravimus, plurium mblematum tot tioni vi in parant, quorum in ea vae hujus usu maxima eu i utilitas. ita optirmum estor D. iis duobus sevit axibuxi,e, duas semidiametros invenire , qua
dunt imaginatin. Impossibile igitur in Das habere diametro angulo concurrentes, cujus sinu -με sinum liuin divisus minor sit quam Duarum
semidiametrorum eoniugatarum quantitate inventa, earum positio determinatur determinati angulis m , quos essici Ut cm axe, quemadmodum num. 13. en
II. Problema almum. Duabus semidiametris m, n datis,& earum angulo semiaxes V, e invenire. Duae aequationes ita dis paptur b - c m
8 At si untiae , b -- e , semidiametri eva-Τ , postrema haec multiplicata per a primae aiu
172쪽
datur, & subtrahatur successive; & habebimus b' 'Faberi'e' m
Rulus, semper aeterlainantur se, laxes. Di ametroiam Aero Hagnitudo de anguit, in quo concurrunt, non curvae naturam, sed magnitudinem inmum axium, eorumque nroportionem immutat. Posset etiam problema solvi , quo ex , d tis duabis si antetris earumque angulo ς duae t runtur aliae dis tri , t quae 'gulum alium datum efficiant. An apioni m ex problemate iseu o ηiscimus 'ex diametris. axes invenire, & ex pri- quascumque di metros ex axibus; ideo superfluuis daei iis in hisce teinpus tractu e I8. Et si monuimus rectam ab extremitate axis vel diametri cujuscumq- ductam, quae parallela sit axi vel diametro conjugatae, et lyosim tangere; nihilominus utiae fuerit simplicissimo calculo ostendere, tangentem ad quamcumqRealiam . em 'translatam pulchera ma donatam esse proprietatδοῦ quae his i ne silentio tegi nν debet. Ut id primo demonstremus quoad axem, in mem riam crevocare oportet, a epta in axes Graz, DG quae cum εας es-ficiat an ulum rab, nbs invenisse iam num. 6. val Ere hane aequati Eis q
inserre, posita quacumque duos fore u valores. Donee si, VC A, valorum alter. erit post 'us, alter negativus, mia a C A unus e. valoribus erix o, realis alter di iacta demum C A uterque ualor aut positivus eritέ aut hegati,iis; ita ux adhue 'crescente et olores ad aequalitatem accedanis desus qua les fiant, ultra quem limitem vit uterque imaginarius. Sit CT illa, absciitan cui,duo aequites respondent valores ti, iique sint ii T. ., Const i T I esse saygem tem curvae a Ducatur 1 Si normali frax C A. Ut. proprietatem tangentis , k r perramus, videndum est. quinam debeat elie v lor ut duae aequ* i0p. nO- arae radices aequalea fiant. Hae de cauta addito quadrato dimidii coefficiemisi,
173쪽
aequales sist, necise est ut homogeneum comparatimis evadat m a est, si
Ce. ι; ergo substitutione iacta in valore ac supra invento, erit et
ι - α i b Fb M . . l- arx deleti he terminis, qui mutuo eliduntur, e ab Na x x m Mun. de radi .extracta P -κτ α o prodit b in ζ; ergo κ. b. ebrat, idest CS: CA::CA: CT. Hine ex quocumque puncto i tangente ducta, quae cum R. M in aliquo puncto T concurrat, & em contactu demIssa ad eundem axem normali l S, erunt semper CS, CA, CT continue proportionales. I Hoc theorema non en istis acinia laeum habet, sed ad diametros meiam quascumque petiinet: CA, CB diametros conjugatas esse supponamus no ortho. Disiligod by Corale
174쪽
inhogonaliter, sed oblique sibi occurrerites, easque -- . is quas, ut jam novimus , spectat mitratio . Dolim D F C
- ----, qui valores re &stia aequatione substituuiuint.-... -υ
hujus aequationis radices Vtiales sint ,necesse omni o est, ut homogeneum eo Iuratioala una cum quadrato dimidii coefficientis v sit mo. Hine divisione sis cta per Q. Se . . ,3e multiplicatione per in Sc. μ --n'. Sc. . -- , rietur - - - ιδ α o, seu ia
adeoque sibstitutione valorum iacta Lmm
175쪽
n t m C B . et M A G nu 19 ιιο io. Ex punctis A. a diametri Aa verticibus tangentes ducantiv x, . 'earallelae diametro tonitigatae Bb, qu e tum tangen e 1 T coiic miri tan- ponendo AT, & componendo a Te STr.'CT: AT; atqui hisce quatuor propter triangulorum similitudinem proportionales sunt ax, IS, Ct, Ax; ergoax: IS:. Ct. A X; ergo A X. a x I cIt; at paullo ant probatum M LS-Ct πι
C B - ergo A X: si quae pulcherrima est taagentium proprietas.
x. CVperest ut tertiam formulam aggrediamur 9 - σκ -ἶκ - e mo pertici nentem ad eurvant quatuor in infinitum abeuntibus ramis praeditam , quam
hyperbolam vocari diximus . R quationem dividamus per a , ut sit 1 -κ o hae v addamus simul & subtrahamus L quadratum dimidii eoen
possint accidere, nempe ut o sit major quantitas, quam - , vel aequalis , ol minor, sngula iste erunt perpendenda. - . sex. ordiamur a primo casu. Ut formula commodiorem aecipiat formam, froco quantitatis- ---- serjbaturit . di loco ita sit et vertatur in
176쪽
178쪽
ergo extracta radiisce, γα--b', unde duos esse discimus valores 1 inter se aequales, alterum positivum, alterum negativum. Si sit π α o, erit 9 imaginaria, imo im ginaria erat, quoties X vel positiva, vel negativa accipietur minor quam b. I. gitur, posito C initio abscissarum Fie. I.)si abscindantur C A , C a m b, interpuncta A, a nulla erit curvae ipsis vero punctis A, , quoniam tunc x ab , reia pondebunt 3 m o. At erescentibus adhuc abscissis x vel positive vel negative: patet lore etiam, ut crescant ordinatae 3 tum positive, tum negative, adeoque quatuor illi efformentur rami, de quibus diximus , quorum duo ad x negati. vas, duo ad positivas pertinebunt. Ex puncto C, quod centrum appellabimus, ducatur Bb parallela ordinatis. Linea A a ex utraque parte producta quum bifariam secet cordas hype holae omnes , quae parallelae sunt ad Bb, qualis esset corda DE, diameter dieitur. Si lineae 'ducantur Dd diametro A a parallelae, hae bifariam secabuntura recta Bb, quae, ut vidimus, numquam occurret hyperbolae . Ratio est manifesta: nam duabus acceptis aequalibus abscissis CF positiva, & Cf negativa , patet ex formula eundem prodire valorem ἴς ergo F D, id inter se parallelae aequales sunt; ergo Dd parallela erit.& aequalis lineae Ff; ergo Quum haeebi fariam di .idαε- a CD, quae eli parallela ordinatis, etiam Dd necessario ab eadem dividetur bifariam in puncto O. Igitur etiam Bb erit diameter, &Aa Bb voeabuntur diametri conjugatae, ita ut, quae curvam secat, nempe A adicatur prima, alia vero secunda. . in ellypsi sermonem habuimus saepe de diametris conjugatis , veluti delineis determinatis, & eae revera duabus curvae sectionibus definiebantur. At hos pacto in hyperbola nequit determinari nisi diameter Aa m 2b, secunda vero nequaquam, quum nuiquam curvam inveniat. Ut tamen determinetur ex quadam analogia ad ellypsim, fiat x m o, & habebimus 9 m e a, quae est quanistitas imaginaria. Mutemus itaque signum quantitatis sub radice existentis, &erit si te, quam tamen cave, ne existimes esse ordinatam curvae. Ita acceptis CB, C brae erit nobis deinceps Bb diameter secunda hyperbolae. s. Ex aequatione habemus analogiam κ -b '9 Pr e , quae nos monet
rectangulum a FA esse ad quadratum F D : o C A : C B . Si post a A . bB
ergo summa quadratorum C O, C B est ad quadratum OD, ut CB . Inventa autem tertia proportionali post bB, a A, quae erit secundae
parameter, nova consurget analogia , quae ostendet esseCO CB : ut bB ad suam parametrum.
179쪽
6. Proprietas haee, quae ad secundam diametrum pertinet, non ita leviter est praetereunda, quia maximi est usus. Vocata igitur Co m κ, ODαν, iateliquis ut supra denominationibus retentis, erit π -e m Revocemus a, quationem -- m o,& supponamus esse quanti-
tatem negativam, de qua hypothesi nondum est actum. Si pro scribamusta & e' pro - - - , & κ pro g, habemus . in xy- e: Haec igitur is
mula non ad aliam ex vam spectabit, sed ad hyperbolam, eo
ne, quod ubi in priore sormula κ accipiebantur in pruna secundae parallelae, in hac π aeeipiendae sunt inmae parallelis. Altera igitur sermularum in alteram vertitur, F abicinae in . dinatas tranteant , & vicissim ordinatae in abscissas. .
. Reliquum est, ut agamus breviter de hypothesi tertia, in qu - - . . Posito - pro - , & κ pro T, oritur aequatio -.s' m x , & extracta rλdi -x, quae formula duplieem rectam indicat. Facta CF linea abseis. satum sit C A m b, & parallelae ordinatis dueantur A P m A Q.: e: si junga tur C, C , hae lineae in infinitum protractae erunt locus aequationis, in qu CF erunt x, Fx erunt y positivae, FY negativae . 8. Iam tero si hyperbolam cum rectis, istas modo descripsimus, mns e velimus, primo dicimus semper lare FX Fla. Etenim quum ex luperi us
ergo D x debet imminui, & quoniam DF, DY in , se te in infinitum κ, ita Ox in infinitum minuetur , cta C P semper ad curvam magis accedet , quin tamen illam umquam tanst. Idipsum ex secundae diametri proprietatibus facile demonstrari potest. E.
180쪽
tum C Ο α κ ereseunt in infinitum OD, ac rD; ergo in infinitum decrestat oportet RD; ergo CP semper curvae propinquior fiet, sed numquam ad conis
tactum deveniet. Hae lineae, quae hoc pacto ad quatuor curvae ramos accedunt, quia umquam illos assequantur, byperbolae assymptoti dicuntur. 1 o. interim ad primam diametrum redeuntes illam tamquam axem consuderemus, supposito angulo coordi tarum recto, qua in hypothes, si duo axes aequales sint, hyperbola vocatur aequitatem. Sit recta D G, quae cum axe a gulum emeiat & iisdem, quae supra retentis denominationibus, vocetur
vator in ea, in qua sumus hypothes, imaginarius quum sit. sequitur numquam futurum, ut C M parallela rectae DG curvam inveniat. Nihilominus, ut an Iogiam cum ellipsi servemus, figna luantitatis sub radicali existentis immut mus, sitque C M α ---, quam deinceps vocabimus