장음표시 사용
181쪽
liaeam cadere in partes u negativae. Introducta P in aequationem , eam se ex
CI K linea, quae secet GL V, erunt tunc DL, NL duo aequales v lores alter positivus, alter negativus: igitur omnes D' bifariam Ubum tur in L, atque adeo etiam AH bifariam dividitur in Κ, atque est AKm p;
& revera fi fiat α prodit ex sequatione' l. 12. Sed ut aequationem ad lineam C transferamus, vocetur angulus KCA ., unde angulus CL G α - . . Ex his denominationibus est θ:ρ::
-. Hinc superior aequatio in hanc tra
- m , quae aequatio persecte similis illi est, quae ad axem C Apera
tinet; adeoque constat CI, CM duas esse semidiametros conjugatas. IS. Comparemus jam inter se duos valores ρ, ut aliqua inveniatur aequali
, aequatio esttas inter quantitates ad angulos μ, ω pertinentes. Habemus igitur
haee aequatio locum habeat, semper linea CIL diameter erit in aequales p . tis secans quamcumque cordam D N. I R.
182쪽
14. Relicta hie paullisper hyperbola animum ad assImptotos iterum converistamus. Sint lineae Fig. a. C P, C , quarum angulum PC bisariam dis vidit recta C AG, quae pariter eadem ratione dividit quascumque PQ ad ipsam perpendiculares. Ducatur quaelibet PGN iaciens angulum P GC m M, quaeritur quaenam erit linea CL, quae ipsam PN, atque illi parallelas omnes bifariam secat. Denominemus angulum GCL m ., CAmb, AP m A me, & d .camus Q M parallelam lineae AG; propter similia triangula PAG, P Merit PG α G Μ,& rima GA. Hispositis habemus Se . ur,: GPG ri ,
Quum haee aequatio illi, quam supra vidimus ad lineam CIL Fig. r. peritinere, perfecte identica sit, sequitur lineam eandem C IL, quae cum axe constituat angulum IC A α ω, bifariam partiri quascumque parallelas ad M m eLficientes eum axe eodem angulum tu, sive hae ramis curvae, fiue asymptotis terminentur. Hinc producta utrinque D N in W,U, erit semper DU M N Is. Curemus modo,ut Hlymptotorum aequationem reperiamus. Quoniam Fg.1.
183쪽
e Ce .-:bs e. . . 'κ est aequatio, quae inter abscissita Fg. r. C L diridi ordinatas ad assymptotum L U m. intercedit. 16. Sed videamus nonnulla, quae ex ante denti formula deducuntur, lunt enim plurima, quibus haud frustra utemur in posterum Formula est re
eliduntur. & divisione iacta per Sc.μ, oritur c . Cc. -- Cc.. m b . Se. μ. Se . Ex hac simplici aequatione, quae maxime nobis utilis sutura Ut, liam transeamus media tormula s cap. IO. lib. I. Inventa ) Cc. . . Cc.. r. Cc. Sc... Sc.μ, ex qua, & superiore prodit .
. inventi spaulo supra valoribus, hab
, admisque Disilired by Cooste
184쪽
Ad hyperbolam redeuntes si dueamus rectam D a G parallelam aumptoto C in angulus. A, idest angulus B vG C aequabit angulum ACQ m A CP , qui eit dimidium anguli ab. assymptotis. intercepti .. Erit igitur& b. Ic. - - e. e. - . Si per hane aequationem dividatur formula b . Se . Asc. - . Cc. μ. C . ., habebimus b. Se . . me. Ce., unde est analogia Sc... C . .: Ic: ἐροῦ ergo necesse est, ut angulus . , quem diameter lineae Da Gcum axe efiicit, aequet semiangulum assymptotorum ACQ; adeoque constat di metrum C a L. cum ipso assymptoto confundi, neque' curvam lecare nis In puncto infinite distanti. Quum itaque quantum ad hanc diametrum inutilis sit in quatio, quam aliis. intervire vidimus, iterum de aequatione ad assymptotos i qui nos oportebit.
b οῦ Sc. . Se . . . Ce. μ. Ce. ., habebimus b. Se . . V e. Cc..,' or Sc. . PCc . .: α:e: bἰ ergo angulus . M lCA minor erit quam anguius A Cinadeoque diameter Cl secabit angulum ACQ. 3c quod coalequens. eit, etiam hyperbolam. ini puncto I . . De hoc casis haeseri-is.. Intelligatur modo ducta D 3G parallela CI L. Hae producta secabitassymptotum CP, ramumque hyoerbolae ad in puncto n, & Dn bifariam ci- videtur in a L a secunda diametro C M , ita ut spectitis tamquam abicillisC3 Lmκ, 3c tamquam ordinatis 1 L DraF, sit aequatio ad lacundam ut
D 3GC α ιι minorem angulo PCA; erg0 Se . Ad Cc. . .'αre: b, & b. Se. μα c. Ce. - . Haec erit. hypothesis, de qua nihil hactenus dictum est . Posset ea quidem. eadem methodo, qua supra usi sumus, pertractari, verum expeditius ex antecedem ibus eruetur. Itaque si linea quaecumque D G eum axe angulum intercipiat semiangulo assymptotorum minorem, ducatur illi para tela Cl L, quae byperbolam lecabit in aliquo puncto I, datusque erit angulus ACI, quem vocabi.
gulus μ. Hinc lineae omnes D 3 Ln , quae facient cum axe angulum A 3GD α ιν , bifariam a secunda diametro C M secabuntur, quae parallela est D G-ao. Hisce de hypei la demonstratis, ut reliqua detegamus, non aliam sequemur methodum ab illa, qua usi sumus quum de ellipsi ageremus; verum quum calculi similes persecte sint, tys tantum hic innuere fiassiciet, ut brevius rem conficiamus. Qiamvis in antec ente aequatione anguli μ, ., quos utraque diameter cum axe efiicit, alter per alterum determinentur; expeditior nihilominus erit se
185쪽
ai. Dato angulo μ - quem intercipiunt duae diametri conjugatae, ut angulos μ, . detorminemus ex calculo ellipseos Cap. num. 13.) ad aequationem hanc deveniemu1 -δ. Ce. μ - cujm ope ex angulorum differentia data - - ω, nota fit eorum summa ν --πs led lumma,& differentia quantitatum habita, etiam ipta quantitates notae nunt; ergo noti erunt anguli , . . In hyperbola aequi latera , in qua c - O , cruo. o. ra b - e Ce ergo quum C e. - - . infinitus esse non posse necessarici erit C e. --. o. idest angulus rectus. At si fiat e , b, quod in iis hyperbolis accidit, in quibus angulus atlymptotorum curvam ampi Hens obtusus est, Cc. . - - . negativus erit , &, quod consequens est , angulus
his Nu 'Idiimetrorum, quae conjugatae dicuntur,
α-. Horum prisus substituatur in valore m, qui it1 set
. Hine si multiplicemus m per n, habebimus m n be, ex qua aequatione discimus, ductis ronis MI BA. triangula MCI, BCA aequalia esse, & aequalia pariter esset parallelogramata quaecumque, quorum diagonales sint duae diametri im)urtae.
186쪽
; ergo hac aequatione ex su riore detram erit
- b . Hinc monemur,. b . Se . . -e . Cc.μ ferentiam inter quadrata duarum quarumlibet diametrerum conjugatarum di realiae quadratorum axium aequari atque adeo constantem esse.
blema lalvitur, quo quis ex datis axibus ab , ,e duas quaereret dimotros, s sientes angulum αμ - ω, & ejus inversum, ex datis duabus diametris sonja-gatis cum eorum angulo aeter invenire. Ut haec resolvamus, incipi n. tu illitatestim si i ias calculum intriaucere , quae methodus duin is Videbitur non contemnenda. Supponamus igitur primo datos ares. aeqv tio al-ν τ multiplicetur per a ta a, & primae s ccessive addatur, ε
R ex illa subtrahatur. Habemus .
187쪽
quarum summa & disseren praebet
Drmulae etsi imaginaria involvant. tamen reales sunt. Qitia si saerat, illas ad
est reale. Si b invenimus non munus m , qu m
188쪽
is. Transeamu ad problema alterum.& ex datis semidiametris m,n, eum eorum angulo quaeramus semiaxes o, c. Eadem, qua antea, metirudo obibnebimus aequationes
quae formulae reales sunt, quaeque ad realem etiam formam reducuntur, ut suis Pra praestitum est. Longitudine diametrorum, a at axium detecta, eorum qu que politio facile determinatur, si anguli tu ,. , quos diametri cum axe primo
δ7. Oportet nunc eam tangentis proprietatem, quam ad diametros in eIl pii pertinere usimus. in hyperbolae quoque diametris demonstrare. Primo qu axis , linea BG cum eo angulum faciat m- Vociatas m DG u, demonstratum est num. Ita, hane valere aequanoacm
gimus, duos esse vaIorea v. Donee 2 CA, eorum alter est positivus , alter negativus; si et ra C A, ex valoribus unus io: si denique valor ute que aut positivus erit, aut negativus; decrescente magis ζ valorer u ad aequa- cedunt, qua habita tangens quoque habetur. Haec sit T I Fig. 3. R ducatur IS ad axem normalis. Necesse est, ualorem R. determinare, quo Posito duae aequationis radiere aequales fiunt. Id ut eveniat esse dinebit
189쪽
in bL b - 1 κ - , & ia unam partem reductis terminis, iis, qui - b Ν , i a 3 delentur, deletis at Ν'- ab Fae emo, & radiee extracta b mo, seu καbb' ergo ebr. b: , C S. CA:: C A e CT. 18. Haud ita tamen haec proprietas axem sequitur, ut reliquas diametius respuere videatur. Intelligantur enim esse CA, CB duae diametri conjugata non se orthogonaliter secantes, quae vocentur m , n. Ad has spectat motioni 3'm n . N m . UMetur angulus D F C α ω, & duratur DG eficiens eum CR angulum D GCπαμ, ut sit angulus FDG m ω - μ. Quaeratur aequatio i ter CG G Drau. Habebimus F. ure . Ierior α ' --.
κ - - , quibus valoribus in aequatione substitutis ea est se
ut duae radices, idest, duo valores u aequales sint, necesse elu, ut quadratum dismidii messicientis v, una cum homogeneo comparationis fit mo. Ideo expurgata
190쪽
33. Ut ra es olvamus, quae ad peculiares hyperbolae proprietates spectant, 1uperest, ut de illius aequatione ad assymptotos agamus. Sit itique hyperbola DA E, cujus assymptoti CH, Fig. 4. CΚ, axis C AF,& tangens PALEaxi tecundo aequalis . ordinetur H ΕΚ, & vocetur ΕΚ rati, CF m N. Quaeramus aequationem inter π , M. Quoniam ex triangulis similibus habemus E H