장음표시 사용
191쪽
ax. Dueatur iam quaelibet E Μ, Quae angulum ema mmotofistat Σα - . UNrecto angulo M at, erit angulus Μ E F m ω -ε--; ergo sinus anguli M E X. α
cta EM lit parallela assymptoto CH, in qua hypothesi μ m a. , & μ ν ri
ergo quum terminus ultimus destruatur facta a
est rectangulum coordinatarum. Quapropter u detur aequatio fe m Xy, statim .escimus, eam ad ahmptota hyperbolae pertinere. Igitur sit linea abicissarum sit CG Κ, ducatur CH, quae angulum faciat H CL complementum ad duos rectos anguli coordinatarum C G aecepta deinde CG is, ductaque GBmgParallela any toto CH, hyperbola inter assymptota CH, CK transiens Perpunctum B locus erit nostrae aequationis. 3ι. Descriptae autem hyperbolae inter data asymptota CH, CK, quae transeat per datum punctum B, duo axes faciIlime determinantur. Angulumassymptotorum H CK bifariam dividat recta CF; ea dat primi axis positi Nem. Per.oatum punctum B normalis ad C F ducatur L BΙ, & -dia Uopoditionalis inveniatur inter I B, B L, quae orthogonaliter applicetur in AP, A dicimus C A esse primum lemi em, A P, aut A secundum, cujus rei d monstrario ex dictis satis patet. Patet etiam rectam C E esse diametrum, quae dividet bilatiam chordas omnes parallelas rectae tangenti perbolam in puncto E. Sit haec RES. Haee ex dictis bifariam dividetur in E; ergo quum smilia snt triangula S ME, SCR, erit C M M M S, quae est fimplex proprietas ran gentis hyperbolam. 34. Postulat hic ratio, ut non prius capiti finem in ponamus, quam ea de Mneralissima formula tradiderimus, quae adhuc videatur desiderari. Hactenus
192쪽
docuimus, eam noR ad aliat euros e nurere, praeter qu m ad parabolam, ad ellypsim, & ad hyperbolam, quotiescumque in ea non dent terminus 3 . At si ille terminus absit, probandum nunc est, formulam ad hyperbolam tantum spoctare. Termino F deficiente formula semper ita exprimi poterit --
α s. Si fiat , nova orietur aequatio κω nu mum nρ- - m o. Nunc videamus, quaenam aeciderit curvae mutatio
ex hac substitutione . Esto PQ Fig. s. curva aequationis; fini Auran, BQmst, quae unisum tantum valorem habet. Ut Inveniamus u , oporiet prura μddere quantitati si quantitatem p; igitur ex uuncto A duratur . A F mρ p Iallela ordinatis, & ex F ducatur FG parallela AB. Erit G C--ρ , AFGαχ α AB. Oportet secundo addere etiam mn, id est lineam quae ita la habeat ad re quemadmodum m ad unitatem. Sit itin Fod OKeret rem p sta ΟΚ' parallela ordinaris: due FK; manifestum en GH parallelam oΚ in se ram x propter similia triangula; ergo CHM3 -mκ--ρ m. vi. Ita iuves 'in est aequatio inter. FG , CH. .. At transeundum est ad aequationem inret FH, CH , ut ordinatae desinant in abstissas. Hae de caussa fiat Fo: FΚ:: 1. Munde vocata FH. c erit ri Iolt, adetoque κ --S; ergo adhibita subinstitutione v πω - - πρ -- o, seu in o. Nihil itaque mutatum est, i ed tantum aequatio translata a. linea
- Μ. Sed substitutiones prosequamur Sit η--nkm π,. unde x Μ-nε. Substituendo habebimus xu-mnx--mn ε - n ρ-εν - ο . AG piatur EDran F, erit D H α a- -nkακ, manente adhuc HC m u. Fiat praetereau - mn F, erit πη--mn --mo, Posita igitur parallela o di natis D E mn, & ducta Et parallela D H, erit IC m ω - nn my , REI permanet κ. EP quihust omnibus patet assumptam aequationem non elisnstrema hae ma is universalem, quae quum ad hyperbolam inter adymptota pep. tineat, eodem etiam prima spectabit. acl. Verum quidem est, tria posse evenire in ultima aequatione: fieri enim potest, ut summa ter norum, qui noti sunt vel mo, vel sit negati v , vespositiva. Sed his novam dissicultatem non pariunt. Namque si sit mo, loemetarmabitur a duabus rectiae, quae eoincidant cum assymptotis; s sit quantito negativa , abscissis positivis respondebunt positivae ordinatae, 3o vice versa a
scissis negativis ordinatae negativae; si tandem sit positiva, positivae abstis, o dinatas habebunt ne alivas, Se viceversa. Haec de linearum secundi ordinix dis visione, deque peculiaribua earum proprietatibus dicta sussiciant . ' Di iligod by Corale
193쪽
De generalibus quibusdam linearum secundi ordinis proprie.
ratibus, quae ex earum aequatione eruuntur. s. J Evertimur nune ad generalissimam aequationem, eamque smundum at hoc
pacto ordinamus y F. mx 4 pN o. quum sit, duos dabit valores ordinatae 3 aut ambos reales, aut ambos imaginarios; si calus tamen excipiatur, in quo desit termi 'ira 3 2 .. Ior X semper realis, aut potius e duobus alter aquationum secundi gradus, ut radicum duarum Ini coemeienti sin s contrariis aecepto. Itaque duarum rit m -ια - n. Esto linea secundi gradus FKE Fg r. abscissarum AB eapiatur A Brax. & huic respondeant ordin R : Habemus igitur BD--BE α -Iκ-n - . A B-n . Amella deinde Ilia abscula AH. cui ordinatae duae re pondηρ HV, HG h. c. AH - m. Iam veto ductis FP, G. parat talia lineae abstitarum.& su tracta secun aquatione e .prima prodit BD-HF--BE-HG -ι. R A Η, idest P D - E α - ι. H B, seu QE P D α ι. H B; ergo disserentia inter QE , & P D est ad HB interceptam inter utramque ordinatam Indata ratione I: i, Aecipienda autem est linearum QE P D disserentia, qui ouum in partes oppositas tendant, altera respectu alterius haberi debet ut negativa. a Caeteram si in easdem abirent partes, eorum summa esset accipienda, ut tet inordinatis a H 1 F, a Ha G. Valebunt namque aequationes ροι. HB-n, a Ha F-χHi G -ι. Aa H-n: ergo ductis AF α Pi G Q' parallelis liniae AB. & subtractione facta secundae renuationis a prima erit BD -a H ah --BE-- Η ΣG l. A B-μι. AxH, seu a P P a v ι. Bahi; igitur summa linearum a PD,1 E ad abscisiarum differentiam, sive ad interceptam Ba H erit in data ratione III. . intelligamus tectam BED sibi semper parallel' moveri. donec tangem fiat, & abeat in L Κ. Hoe. motu constat, puncta sectionis E, D accedere sele paullatim, donec in contactus idem ambas aequales fieri, satis est mantissum o ;/hst habebimus eodem, quo antea, artificio M E MDoLB, stu ΚΜ Q j. in ratione data. Sit pariter alia Η GVor uis par ilela, pi' iv
1:rtur, quod polita M E M D . unde M E M Drao, erit pariter NG NY-ο,S N G m N F . Hi ne proprietas illa sequitur, quam superioribus capitibus ac peculiares curvas parabolam , et lypsim,& hyperbolam pertinere iam demonstra vimus; scilicet lineam e contactu ductam, quae bifariam diu dat chordam a quam tangenti parallelam, reliquas omnes eadem ratione dividere . . Ex alia quia earum aequationtim proprietate productum radicum aequat terminum ultimo aequat:onis; igitur in eadem, qua antea, bypotneu er B E. BD in 7- ρας-- . Si in generalissima aequatione sit smo, inveni
196쪽
bae reales fuerint , necesse est prorsus , ut linea abscissarum curvam in punctis duobus i , Ο secet , ut ita ΑΙ , Ao esse possint radices duae . Igitur erunt x - AI,κ - Ro duo sermulae Lctores, qui inter se multiplicati formulam . ipsam κ' - -κ-- - restituunt; ergo BE. BD m m. κ - AI.κ - A sed
ω α A B ; ergo BE. BDram. - BI. - ΒΟ m. BI. BO. Itaque rectanguis tum B E. BD est ad rectangulum Bl. BO::m: I, seu in data ratione. Quod si alia quoaue ordinata priori parallela esse intelligatur H GF, eodem pacto i veniemus HG. HF:HI. HOa. m: I; igitur erit B E. BD: BI. Bo r. HG. H F. HI. ΗΟ. Idem aecidit sive pu sum sectionis intra curvam radat sive extra; adeoque theorema oritur univeris sale. Si duae rectae datis parallelae eurvam in duobus punctis secent, rectangula sub interceptis inter punctum concursus linearum & puncti sectionum cum cudiva sunt in data ratione. s. Si duo sectionum puncta in unum concurrant, quod fit, quum secans linea in tangentem vertitur, veluti L Κ, tune, factis aequalibus radicibus, erit quadratum L Κ ad rectangnium ΟLI: o rect. D B E : rect. OBI, seu in eoniast ali , ut antea, ratione. Si vero diameter habeatur veluti Κ M R eurvae in . duobus punctis Κ, R Meurrens, erit KN. RN: NF. N G α N F : ΚM.RM: MD. MEMMD', quam proprietatem in curvis supra explicatis veram esse,
demonstravimus. o. Ex hisee proprietatibus, quae ex general ssima aequatione immediate profluunt, aliae quoque deicendunt, quibus omnes pariter secundi gradus lineae praeis ditae reperiuntur. Fig. a. In primis rectae duae ex puncto A ductae curv.im
in punctis I, O, M, N secent. Lineae AN paras ela sit DE, quae lineam alis teram in C intersecet, cui parallela FG secet AN in H . Si A o fiat linea abscissarum, erit A l. A Or A M . A N. : C l . Co: C D. C E. Si deinde tanquam lineam abscissarum mnsderemus AN, habebimus
mutuo, & curvam in duobus punctis intersecantes, hisque duae aliae sint parallatae, quae idem praestent, eruat proportionalia rectangula sub interceptis inter punctum intersectionis linearum , & puncta, in quibus secantur a curva, adminque erunt in ratione aliqua constante.
. In linea secundi ordinis duae chordae sint parallelae AB, CD, rectisone AC, BD junctis, claudatur quadrilaterum ABDC,& ex quolibet curvae puncto M dueatur MN parallela lateribus AB, CD: dicimus intereeptas PM, QN aequales sore. Etenim recta, quae bifariam dividit AB, CD, eadem ratione steat MN; sed ex vulgari geometria recta eadem bifariam dividit etiam Pup ergo quum in puncto eodem bifariam dividantur rectae M N , PQ, erit ae ario PM m QN, Se quod consequens est M Q NP. Itaque si quinque habeamus nota curvae panti Α, Β, D, C, M, iacile est sextum
N invenire a. 8. Demonstratum est paullo ante M Q. N: BQ. Da esse in ratione eo , stante' ergo quoniam Num M P, iq ratione eadem sit oportet M P.M IBa. D Q. Haec vera sunt quicumque sit locus petam Μ in curva, ut facile v appa-Diuitigod by Cooste
197쪽
apparet. Quare si quodlibet aliud accipiatur punctum Κ, ex quo chorAs A
C D sit parallela G H occurrens lateribus productis in G H, erit in constante ratione omnino eadem ΚΗ .ΚG. H B. H D. Si per punctum M ducatur RMs parallela lateri BD,quae chordis AB, CD oceurrat in punctis R, S, quoniam RV m B., & MSα D, erit M P . M Q. M R. M S in constanti ratione. Itaque si ex eodem eurvae puncto M duae rectae ducas tur M Q, R S, quarum. prima chordis A B, CD parallela reliqua duo latera secet in punctis P, altera vero parallela lateri BD ebordas parallelas inveniat in R, S, semper habebimus M P.M. in ratione constanti ad M R. M S.
o. Si pro CD sit quaelibet alia chorda DL, & jungatur ΑΚ , & RVS
producatur, donec in V secet ipsam DK, habemus quadrilateri AB DK Iatera interiesta a quacumque M Q. parallela chordae R B in punctis T , Q, &ab RV parallela lateri BD in punctis R. V, quae duae lineae ex eodem veniunt puncto M ad arbitrium sumpto. His .positis erit M T. M : RM. MV in ea.dem constanti ratione. Ut id demonstretur, animaduertendum est, esse M P. M Q
quam analogiam si comparemus eum superiore
Io. Nunc si postremae analogiae anteeedentes dividantur per M., & cotia sequentes per MR, oritur M T: M U. r M P: M S. Hinc quoniam mutatio pun- 'cti K nihil aliud praestat, qurri puncta intersectionum T , V ad alia lora tram 1ferre, patet constantem fore r tionem MT: MU, ubicumque punctum K accipiatur in curva, donec immotu a maneat punctum M. Ii. Ex hisce generalissima quaedam insertur limatum laeundi ordinis prietas. Data sint in qualibet ex iis curvis puncta quatuor A, B, C, D, me. . quae jungant rectae ita, ut quadrilaterum perilatatur ABCD. Si ex quoeum-tque ejusdem curvae puncto M ad quadrilateri latera rectae quatuor ductae latet inligantur MF, MK. M G, M H, quae angulos datos efficiant, erit rect guin, tum sub duabus tendentibus ad latera opposita in eonstanti ratione ad rectanguintum sub duabus reliquis, hoe est ME. MGr MH. MK in ratione constanti Hoc ut demonstretur, ex Μ sint duae rectae, M parallela ad A B secans latera
AD, BC in P, Q, , RM S .pat et a lateri BC reliquis duobus oecurrenuia R, S . Ex demonstratis constans est ratio M RiMS MP.MQ: sed pter datos angulos F, G. Κ, rationes MRγM R, i MS: Μ G, MP. M HI H : MK omnes datae sunt: ergo ΜF.ΜGe ΜΗ. MK est in ratione eo
ia. Sit CBA F. tangens lineariiseeundi ordinis, ex qua
198쪽
duae parallelae BE, CG euream secent in punctis D, E, F, G. Demonstravimus esse B A': CA : BD. BE:CF. CG. Inter duas BD, BE abscindatur meastia proportio lis ΒΗ, & pariter CL media proportio lis inter CF &CG;
recta, quae per contactum transibit. Itaque si recta e contactu discedens ita
BE lecet in H , ut B H sit metata proportionalis inter BD, BE, quamcumque aliam lineam parallelam BE secabit eodem pacto in K, u st CK media proportionalis inter CF, CG; & si recta quaedam ita dividit BE, CG e,
per contactum transibit. De iis hactenus proprietatibus egimus, quibus maxumus Newtonus usus est, ut plurima solveret problemata ad descriptionem lineis arum feeundi ordinis pertinentia. Ex hisce aliae proprietates erui possent ; verum quum tribus superioribus capitibus plura de iis dicta sint, ubi de tribus e rum smiebus agebamus, ea sussicere existimamus.
De descriptione linearum secundi gradus.
1 AD deseribendas lineas seeundi ordinis veteres geometrice conum aut e I A lindrum plano secuerunt. De lictione cyli miri tractavit Serenus phil sephus athenienss: de sedione coni, quamqvim ante Appollonium Pergaeum non nemo loquutus fuit, tamen Appollonius ua theoriam hanc perseeit, ut illi unice reserenda esse videatur. Exoratamur a lecti, ne cylindri, Se examinemus , quaenam lineae secundi gradus ab hac sectione oriantur. Positis circulis duobus APB, M N s Fig. i. J aequalidus, & parallelis, quorum centra jungat linea CD, agantur ad eamdem agam radii CB, DN, qui in eodem plano exi stant eum linea CD. Jungatur BN, quae ita moveatur, ut puncta B, N e dem tempore arcus aquales percu rant ΒΡ, Nd; lolidum, quini comprehenditur inter circulos parallelos, & superficiem genitam a motu lineae B N, v eatur cylinder, circuli AB, MN bases cylindri, recta CDeylindra axis, recta DX, quae a centro D ducitur normalis in planum circuli APB, dicitur altis tudo cilindri. Si . Dx coincidat cum DC, cylinder voeatur rectus, si non e 'incidat, obliquus, se scalenus. Ex hac cyuadri genesi iacile colliges, p anum secans cylindrum per axem, aut per quamlibet axi parallelam exhibere in lupe
ficie cylindrica duas lineas rectas parallelas, similiter planum parallelum batibus praebere circulum iisdem basibus Qualem. a. Secetur iam cylinder plano K. R H, Fie. 1. quod nec si parallelam biss-bus, neque trant eat axem, aut ejus parallelam. Communis sectio hujus plani secantis,& plani baus An sit recta L. Ducatur illa bastas diameter A B, quae, producti si opis est, incidat in L U angulos rectos. Per AB, ω per axem e lindri transeat planum. AMN B, cujus extremae lineae AM, BN signent in
pilano secante, & in superfieis cylindrica puncta L, H. Iuncta ΚΗ, sumpto que in illa quolibet puncto 2, in plano AMN B dueatur per ZQP parallela AB, & aequalis. Per hane rerum Q P transeat planum OR P parallelum
199쪽
basi, quod . ut dictu in est, praebebit circulum. Recta vero RZeommunis sectio planorum KRH, QR P erit perpendicularis QP, quia L est inpendicularis A B. Di .isa Κ H aequaliter in G, voco G H α b, G Z m M , Z R . erit
Ergo b de reb - π :ν , quae est aequatio ad ellypsim, cujus centrum G iniistium est abstitiarum, axes sero conjugati sunt, mitor ΚHmab, minor stilicet diameter basis. Sectio igitur plani, & cylindri curvam nullam exhiabet aliam praeter et lypsim . Si aequales ellent anguli QPH. ΚHP, fieret ΚHi P seu b e. R aequatio inventa in hane mutaretur bb - ακα 99, quae est aequatio ad et cu um aequalem basi cy ndri. Sectio hare locum habet dumtaxat in cono scale. no, quia in rccto quum QP sit normalis re 9 s A M, BN, fieri nequit, ut angulus ΚHPm anguram rectum QPH. Vocatur autem haee sectio subeo traria, quia, quem angulum iacit QP cum B N, eumdem facit Hic cum A M. Quamquam in hae se9.one planum non sit parallelum biti, tamen communisse dilo plani , & cylindri est circurus aequalis circulo basis. . Ex his lacile cognoscitur, quomodo per seistionem cylindri deseribatis et lyplis data, cujus axis major α ab , minor rate. Descripto enim cireul AB, cujus diameter ABmae, eIeva supra illum eylindrum rectum sumo rectum, ut facilitati serviam, caeteriim eadem valent etiam in scaleno)coneem
que plano quolibet per axem transeunte AMN B, inter parallelas AM, BN accommoda ΚΗ m ab . Per ΚΗ transiens planum , quod sit normale plan AMN B, ita secabit cylindrum, ut sectio KRH sit et lypsis quaesita. s. Ad conum transeo. Si ex puncto Bi Fig.3, posito extra planum circuli A Cducatur ad circumferentiam indefinita BA, quae statuto immobili puncto B in rum moveatur circa circuli peripheriam, superficies genita a linea A B dicitur uperficies conica, solidum elausum ab hae superfiete , 3c circulo AC dicitur conus, punctum B vertex, circulus AC basis, linea, quae conjungit basis centrum, & verticem, axis, demum normalis a vertice ducta in b.sim dieitur alis titudo coni, quae si eoineidat cum axe. conus erit rectus; fi non coinei dat, erit scalenus, aut obliquus. Superfluum judieo demonstrare commanem sectionem superficiei conteae & plani ABC transeuntis per verticem B esse dura lineas rectas BA, B C; item eorumstnem sectionem ejusdem superficiei,& plani parabuli basi D N F esse cireumferentiam circuli.
nee sit parallelum basi. Dueatur in bafi diameter AC, quae sit perpendicul ris communi sectioni plani secantis, & basis,& per AC agatur planum ABCtra sens per vertieem B,& M m fit sectio eommunis hujus plani, & plani secantis. Ex punctis M, m parallelae AC durantur MR, mr, sumptoque in MN qu sumque puncto N, per hoc agatur planum D N parallelum basi. Linea DNFerit peripheria circuli, cujus diametro DF eris pernendicularis NX communis sectio planorum MN, DN F. Uoeetur Vmma,MR m b, mr te, N X V, MX α κ; quare in fig. 3. m X m a Φη , in m X a -κ. Ut utramquo