장음표시 사용
202쪽
plectar vomm X m signum superius peninet ad tertiam figuram , inso:
rius ad quartam. Manisenum est, valere has analogi M'. V componendo rationesaa: bee: an Σωκ DX. X F; sed DK. AF m XN s' ex natura ineun a igitur a a 2beilax 2κκ:ys. St. valeat signum superius , aequatio est ad hyperbolam , cujus axis primus m a, secundus be: si valeat signum ii serius, est ad ellypsim, cujus axis umis m a. adier m oe . In utraque inrutium . scissarum est in vertire axis P Itaque fi planum secet conos oppontos, g neratur hyperbola; si unus tantum conus secerer, generatur ellypsis.
I. In hoc secundo casu, quum V m serat 11teta BA , BC in punctis V, m ad eandem partem vertieis B, fi anguIus B m M st m BDF, quae sectio dicitur subcontraria, fimilia erunt triangula MXD, FXm et E M XΜ:XO: e X F. m X; ergo rin. M L. m X α D L. F X; sed DX.FX -
Nx : Ergo MX.m X m N x , quae est myrtetas eirculi , cujus aequati
a M -κ Να99. Itaque perspicuum .est in hac semone bemaa, sea ΜK. ingm M m . Haec sectio liαι non Prallela basi, per quam circulus generaturi l cum non habet in cono recto. sed solum in scaleno. 8. Si punctum m in infinitum recederet a B, & Mm fieret 'rallelas
hae parametri expressione duae existunt lineae infinitae, quae tamen proportionem habent finitam, quae proportio lineis fialtis exprimenda, ut infinita ejiciantur ἀPuncto m in infinitam recedente ΜmmBm; sed Bm : mr:: BR: RM. ers
Itaque per sectionem plani, δὶ coni omnes lineae secundi ordinis obtinentur, quae proinde lectionum conicarum nomen sortitae sunt. 's. Dicendum nunc est, quomodo linea data secundi ordinis sie Fig. g. presectionem eoni delineanda. Sit primum deseribenda hyperbola, cujus aris prismus ma, secundus m b. Pone Mm ma , 3c ex punctis M, m ad eamdem . partem lineae Mm, due Husmodi parallellas MR, me, quarum rectangulum m bb. Iunge R m, M r sese neretario intersecantis in B. Foraretur conus h bens verticem B, eujus basis sit circulus deseriptus diametro Μ R. Conus hicis cetur per planum transiens per Mm ita, ut commanis ejux sectio eum plano b sis sit normalis diametro M R. lineae MN. mn i a saperficie conica ugnatae runt hyperbolae praeditae axibus conjugatis a, b . Similis methodus tenenda est iuel lypsi, cujus axis major via, minor αb Fig. ; & hoe tantum observamhim discrimen, quod lineae M R, mr dueendae sunt ad contrarias plagis respecta Maia
Relicua ut supra peragenda sFQ. 3, 4 . In hae deseriptione possunt accipi lineae ΜR, mr aequales inter se & singulae aequales axi b. Quod si ut, obtin tur in fig. 3 conus, qui ut Mura sectus dat hyperbolam, cujus axei sequant Μ Dissilired by Cooste
203쪽
4. conus' convertitur In eylindrum, & ea obtinetur deseri pilo eilypiis, de qua supra loquuti sumus . . io. Hare hyperbolae, & etlypsis dei criptio pleru*que nos ducit ad eonum sta enum. Quod si quis conum rectum exoptaret, ita constituendae essent paralaesae M R, me, ut junctae Rm, Mr aeuuales fiat inter se. Problema hoc non est dissicile, quum datae supponantur MK, me. En paucis Murionem. Pro ea. su hyperbolae, in quo MR, mr ιμ s. debent ad eamdem partetmi iacere , super Mm deiuribe iemicirculum , applica M P aequalem semicuerentiae interm R, mr, quam produc, donec sit data MR, cui sit parallela inr. Pro.casaeliqpiis descripto sem circulo id per M m s F αὶ applica m P, quae sit aequa-μ majori mr, dempta semidinerentia inter .mr, MR; produc RP. in r, d nes/weatur data mr, eui sit parallel/ data. M R. C rara si*erasuntur ut sub , eliypss,& hyperhola obtinebitur per sectioaem coni recti- Omitto Milem,
ai. Nihil est facilius, quam delineare parabolam per eoni sectionem. Nam duc quam:ibet M R , in eum qua iaciat angulum recta R B tertii . proportionalis poli parametrum, & R M, junge B M. Formetur conus, cujus vertex sit B, basis ei mulus diametri R M; conum secet planum ita, ut communis istius . scilio culti triangulo B R M iit parallela BR,& transeat per punctum M caeteris conditionibus ut antea servatis, curva genita in superficie eoni erit parabola dati parametri. Si velis MR aut ualem ine parametro ,- huic eidem ponenda :st aequalis R B. Ut autem obtineaa conum rectum, divide R M in Οhilariam, & eidem RM intellige erectam ex o perpendicularem. Accommoda inter punctum R, & perpendicularem hanc R B, quae fit tertia proportionalis post parametrum & RM, & eonus formatus vertica B, super basi, eujus diameter sit RM, rectus erit. Si R M aequet parametrum, triangulum RBM rit aequilaterum. ret. Si quis peteret . ut per sectionem coni dati data eurWa describeretur , non semper hiac praestari posse, responderem: quando autem id possit, ostendendum est. Ac primum de hyperbola, atque ellypsi, culus axis primus ma, se
cundus Σπb Fig. 3, 4, 7 ). Conus datus sit AB C. Super Min m a deseribatur circuli segmentum MV m capiens coni angulουm MBm, qui in bype hola est externus cono, in ellypsi internus e diameter circuli normalis M m sit Y V. Fiato in QB , quae in segmento MVm appli tur norm
Iiter ad rim, ut signet in circumferentia punctum B. Iungatur B Μ, cui se
cetur aequalis BM; tum eentro M intervallo Mm ma signetur punctum m. quod pro hyperbola sit in cono opposito, pro et lypsi in eodem. Si per Mm gatur planum, cujus sectio cum plaao basis si normalis AC, linea MN in
superficie conica signara illa ipsa est, quae quaeritur. Nam ex puncto B per cen trum Z ducatur diameter B H, jungantἡrque Ηm, m B. Dao triangulaΗm
M. praeter angulos rectos habentia angulos aequales in H, M sunt similia;
204쪽
d. t . , . . 13. Si recta B inveniatur minor, aut ad summum aequalis P V, quunia. ἡ Q possit in segmento applicari, eonstructici loeum habebit, si per datum e num data hyperuola, vel ellypsis deseribeturia At si Bd inveniatur major Prineque constructio perficietur, neque hyperbola aut et lypsis per d/tum conum d
- , atqui 'vocato angulo, qui continetur lix
fit - . impossibila est 'eurvam datam deseribere per da-
ACtum conum, si autem fit in , aut aequalis, destri otio obtinebitur .Si conus haerit rectus, palam est B A JBC ι ergo fi fit -ἐ wnstructi
--- ergo solum descriptio fiet impossibilix, quum ---- - .
sive quum a ί quod semper evitare licet, possiimus enim ponem datae ei lypsis εxem m jorem zza; ergo licebit semper per datum conum recturi ellyplina datam delineare. Fir. 3, , Non ita accidit in hyperboci, inquA εnga.*, te Menti ΜVm non est aequalis angulo ABC, sed ejus complemento ad duov
205쪽
αitur impossibilis est constructio , auum - . - -; seu quum
3 DEQ. - in reliquis vero insibiu data hyperbola per datum tonum rectum
describitur. 14. Quod spectat ad parabolam datam, illa quocumque dato cono Deile deis lineatur. F g. 3. 43 Triangulum transiens per axem cona, & diametrum basis sit B AC. Sit vertex parabolae Μ, qui inquiritur, & parallelam AC eue Μ R , g C . πquam voca m R. Habemus AC: BC:: et: BR ex dictis par
meter parabolae, quam voco m AE, erit m ergo e . Inter lat
m BC, B A applica MR , quae sit quarta proporetionalis post AC , BC . A
parametrum datam, & per punctum M duc planum, cujus sectio communis eum sasi sit normalis C Α , cujusque sectio cum triangulo B A C sit parallela BC., s Hio plani, & duperficiei conicae erit parabola data. Ex his palam fit. non posse
nos per datum eonum obtinere lineas omnes secundi gradus, sed soIum ci omees para las, & adhibita cautione, de qua diximus numero suphriori , omnes eLypses p verum hyperbolae omne per unum determinatum eonum obtineri non pinunt. is. Tametsi per sectionem eoni omnes lineas seeundi ordinis possumus dei, mare, tamen seometrae praesertim recentiores in id allimum intenderunt, ut eas dem lineas describerent per semitam puncti, quod ope instrumenti movetur opportunis quibusdam conditionibus conservatis. Nos hie eos modos seligemus, quilae iliores lunt, di praxi maxime accommodati . Primum modum delineandi parabolam describemus. Repraeesentet recta D B s 8. regulam immobilem', cui ad angulos rectos insistat alia regula C E ita mobilis, ut ubique in mota situm retineat parallelum. Fili FM C, cujus longi indo aequat CE, extremitas ni firmetur in puncto immobili F, altera alligetur regulae mobili in puncto C. Ex F in D B due normalem FR. In eum filum transferatur EC, ut transeuper punctum F. Filum stilo distendatur, qui in prima positione dividet rectam ER .bitariam an A,' nam punctum C in hac positione quum incidat in Κ, Κ Α-DA F ex preparatione α Κ R; ergo ablata commini L A remanebit A FMA R. Mooeatur iam regula UE, & stilus partem fili MC minens adjunctam regulae deseribat curvam A M. aio . hanc fore parabolam, cujus vertex A , dipatanaeter m a FR m. A F. Ex quncto M ad angulos rectos ordina M P, quam vom 3, Ast AF-AR b. Quum MC--MFα CE, dempta pa' te M C, remanebit MF: ME RP; atqui R P in b- ω, FP α κ -ιν, &
io. Ι'uniam F, ubi extremitas fili firmata est , dieitur laeus, seu umbit: M EArabolae, qui a vertice A distat per quartam partem parametri. Recta D β
206쪽
distans pariter a vertice per parametri mein quartam, dicitur directrix. It que proprietas parabolae. haec est, ut recta FM, quae a quolibet puncio curia vae M ducitur ad lacum F, sit aequalis ME, quae ab eodem pudio Mdueitur normalis in directricem . Agatur tangens M , & producatur in S, quae, ut demonstratum est, abscindit AP m AQ: ergo habebimus Q F i R pM ME m MFρ igitur quum triangulum .FM sit isos deles, angulus FMO iFQM; sed F M α CMS; ergo F Mum C MS, quae est elegans proprie.
I . Ellypsis describitur hoe modo. Firmentur duae fili extremitates in duo. bus punctis immobilibus F, Fig. ; tum stilus M retinens distensum filum in gyrum agatur, curva AMa ab ipsis descripta erit ellypsis. Ex quolibet puncto M in F f demittatur normalis M P ms, longitudo fili vocetur m a a, diis vita Fi bifariam in C, vocetur CFmb, CP mx: ergo FP m b -κ, s Pin Differentia inter M i, MF vocetur ma z; ergo MFma - Mi
b κψaxm εἷ π, sive Vm - , qui valor in primam aequationem intruductus praebebit
aa -κκ'. yy e: Maa - bb, quae est aequatio ad ellypsim, cujus semiaxis maior a, semiaxis minor zα aa-b6. Quapropter ax s major est aequalis longitudini fili. Semiaxis minor sit C B, agatur F B, constat hanc esse aequalem dimidio longitudinis fili; ergo CB m aa bb, ut ex ipsa aequatione -eolligitur. Facillimum igitur est, et lypsim delineare, cujus dati sint ax. s. S me n um aequale axi majori A a, quem interseca per axem minorem B b, ut punctum C utrumque dividat bifariam : inter angulos rectos A C B , a C B ampliea dimidium longitudinis fili ia BF, Bi, puncta F, f illa ipsa erunt, iaquibus extremitates fili sunt alligandae .i8. Haec puncta F. f vocantur soci, seu umbili ei et ypseos .-Quapropter si a socis ad quodlibet et lypsis punctum ducantus duae F , fM, harum summa aequabit axem majorem A a. Si accipiatur CR tertia proportionalis post CF, CA, ut C Rm v,&per punctum Ragatur SR hno axi normalis; idemque fiat ad alteram partem, ut inveniatur se, istae lineae SR,sr dicuntur directrices, Areseruntur ad Beum sibi propiorem. Iam vero si ex quolibet puncto Μ euris vae dueantur MS normalis directrici, & M F ad suum secum, ajo sere M S. MF:: a. b. Nam quoniam CR erit RP α MS α -- r sed
207쪽
: . a. be: AC: FC. Itaque puncto Μ ea. dente in A habebimus AR: AF:: AC CF. Si b. hoc est FC m o, suae hypothesis convertit et lypsim in cireulum, fiet CR infinita. Circulus igitur est et lypsis, in qua soci coineidunt eum centro, directrices positae sunt in infinita distantia. Si foret bina, seu FG α AC, ut secus sit in verties, nullescit se. cundus axis, nempe CBmo; ergo et lypsis convertitur in lineam rectam directrici normalem. Si agatur tangens qMT ajo angulum TMF mqMs. Ex duabus proportionibus C FOC A r C A e C R , CP : C A :. C A : C T provenit tertia C F: CTIC P. CR, & dividendo CF : C T -C F m T F. : C P: PR, R duplicando antecedentes F f.' F Ttr 1C P : P R; atqui a CPm C RH-CP- PR m rP-PR; ergo F s. FTeor P - PR: PR , A componendo sT: FTr: Pr: P Rr sed ductis in tangentem normalibus FQ, q est 1T: FT:: f q : F Q; ergo fq e Fm: P rr P R seu M s: M S ;, atqui M s: M S :: M s: M F; ergo i q : F Q:. M 1: M F; igitur triangula rectangula M sq, MF sunt similia,
adeoque angulus q M F m Q.V F, per quam proprietatem novus modus sese noub s offert ducendi tangentem et lypsis. sq. Simili prorsus modo delineatur hyperbola. In plani immobilis punctos ita firmetur extremitas regulae fMx, Fιo Io. ut circa punctum fi libere regula rotari possit. In altero ejusdem plani puncto Falligetur filum , cujus altera extremitas alligetur regulae punio X: longitudo vero fili sit minor regula fixita, ut differentia sit minor F s. Ponatur regula super Ff & filum distendatur stilo qui cadet in A . Interim dum regula convertitur cirea s, stilus retinens applicat m regulae partem fili, illudque distendens deseribet hyperbolam A M. Ex puncto Moue in f F perpendicularem M P, di .ide Fi bifariam in C, & A a , quae pariter sit hilariam divisa in C, sit differentia regulae ,&fili. Voca C A ma, C Fα b, CP κ, PM summa rectarum Mi--ME 2z , erit MF m ζ-a, Mi m b. a. Triangula FM P, 1M P praebent aequalitates duas MF' M P ps - βε χος z. 99--bb-2bκ κω
quem divide bifariam in C, o A normalem CA due AB dimidio secundi Maeis aequalem, junge CB, cui lac aequatis CF, Cl. Ia f pone regulam ut supra Di iligeo by
208쪽
pra, aeeipe filum, quod sit minus longitudine regulae s X disserentia A a, extre. mitatibus fili firmatas in F, X per motum jam expositum hyperbola data deli-neabitur.
dio. Puncta F, dieuntur soci, seu umbilici hyperbolae. Si ex quolibet punis curvae M ad socos agantur lineae M f, Μ F, harum dist rentia eru constans diaequalis primo axi . Si accipiantur CR, Cr, quarum singulae m V, hoe est sat
confundentur cum linea recta, quae a centro C ducitur normalis Ff. Si h- is hoc est eoeant soci cum verticibus, secundus axis pro vestit mo; quare hvoer holae eoincident cum axe ex utraque parte producto. Duc tangentem Muq
nant similia; ergo angulus qMf QM F. al. In praeparatione instrumenti posui, filum minorum regula X . Quod si filum majus regula acciperetur ita, ut differentia m aa, stilus filum distendens motu suo delinearet hyperbolam oppositam a m. Demonstrationem, quae eadem est prorsus , lectorum industriae relinquo . Si differentia inter regulam, & fi umnulla esset, existente a a m o, puncta A , a caderent in puncto medio C: in hoe easu stilus, qui filum distenderet, iter saceret per lineam rectam perpeadicularem F f. ia. Quamquam methodus haec describendi tres sectiones conitas genuina est, & saepe ad praxim perduci potest: tamen nonnihil deficiet, si exactissima desideretur eurvarum descriptio. Nam si instrumentis aptentur fila, quum modo majorem, modo minorem patiantur distractionem a stilo distrahente, non eandem ubique longitudinem conservabunt, adeoque exacte sectio conica non dein lineabitur. Si filis substituamus catenulas, vitabimus quidem distraction's peris X a culum,
209쪽
culum, sed non deseribemus enmni, sed polygonum multorum laterum licet exiguorum , quod erit polygonum curvae describendae inscriptum. illud instrume tum coeteris erit antelerendum, quod constat firmis solidisque regulis, quae m ventur; hoc enim adnotatis incommodis non laborabit. Quod pertinet ad hyperbolam, nullum, quantum mihi constat, suppetit i strumentum rigidis virgis compositum, quod quidem smplex sit,& praxi accommodatum. Duo autem erulypsi describendae suppetunt fundata in duabus hujus curvae proprietatibus, quae x do sunt demonstrandae; post, unum addemus idoneum parabolae delineandae. a 3. Si inter rectas lineas A Ca, BCb facientes angulum reoctum concipiatur moveri data linea ST: aio quodlibet ejus punctum M deseribere et lypsim . Agatur My parallela CB, A vocetur SM a, TMmb. C P α x, P M . Ouoniam valet proportio S M. PCr: TM: PT sive a P π de b d P T i , propter rectangula triangula quum sit
ΤM α PT - - PM habebimus aequationem
b m 3, sive a - κ :ν : : a :b , quae est ad ellypsim, cujus ismiax s unus est C A ra SV m a. alter est C B α TM α 3. Si punctum d scribens M cadat inter puncta S, T, ut in N, vocata SN m a. NT b, nihil mutatur aequatio. Quod si N dividat ST talarim, quum ia hoc casuc in b, curva descripta erit circalus. ln hac proprietate innititur instrumentum
allypsi describendae idoneum, quod circinas etlypsis solet appellari. Duobus mois dis data ellypsis per hoc detineatur. Primo modo capienda est ST t a b , SM M a a, b sunt semiaxes dati , quare TMmb. 8c punctum describenserit M. Secundo modo capienda est ST m a --b, SN m .s, ut TN α ι, δε punctum describens erit N. 14. Ad seeundam methodum venio. Sit linea C L Fig. ix. mobilis ei ea punctum C, 3c circa punctum L ia CL positum mobilis sit alia linea LT M. Abse inde LT CL; tum punctum T lubeatur moveri in data recta CR tranteunte per punctum C: ais, lineae L TM quodlibet punctum M descripturum et lypsim . Integra linea CL M vocetur ma, TM rub; ergo CL--LT
b ra b. s, sive duplicando antecedentes, Si componendo
D,-yri A quadrando a :b r: π zb -y , quae est ad ellypsim , us semiaxis major C A m a, minor CB α b. Si punctum describens caderet inter puncta L, T ut in N , curva descripta esset umiliter eLyasis, cujus primus semiaxis foret mCL- -LN, seeundus mT N. Si punctum delcribens esset L, curva descripta evaderet circulus. Si punctum describeas situm esset post
210쪽
Haec omnia eadem methodo demonstrantur. Itaque si per instrumentum ex hxe lege constructum data sit describenda eli sis, cujus semiaxis primus ma, s eundus m accipiatur omnis longitudo CLM α a, TM α b,&fiet CLm L T di aut accipiatur CL α L T ra , CL -- LN m a, ut
, CL m L T i I atque in omnibus hisce casibus data
ellyriis delineabitur. Quae quum ita sint, perspicuum est ellypsim per instrumenta ex regulis solidix consecta, tutissime delineari. as. Ad parabolam delineandam eonstrui poterit aliud instrumentum, cujuxsundamentum paueis aperiam. Linea Cos ap) perpendicularis datae Actita accommodetur, ut libere moveri possit motu libi ipsi parallelo. Rem Myarallela sit datae A B. in dato punis, A constituitur norma KAL mobilix circa punctum A. ita moveatur norma, ue concursus linearum AL, C D semis per permaneat in linea M Ma aio concursum linearum A Κ, C D deserimurua parabolam A FI, quae in A tangetur a linea AB. Nam propter angulum re
sit constans, fiat ma, AG m Μ, GFm , igitur ayzaen , quae est aequatio parabolae , cujus parameter ra a, & cujus absciis ae α κ sumendae sunt ia tangνω te. Atque haee sumiant de d eseriptione linearum secundi gradus..
c AT U T SEXTUM. De locis geometricis secundi gradus ia
1. T inus geometricus aequationis indeterminatae eontinentis variabiles duas πων est linea vel recta, vel curva, cujus eoordinatarum proportio ab iliae aequatione exprimitur. Locus geometricus aequationum, primi gradus est lineis recta: loci vero geometrici aequationum secundi gradus sunt semones conicae Theoria loeorum secundi gradus certam ostendere debet methodum, qua cognoscamus, ad quamnam sectionem coniram secundi gradus aequatio pertineat, i gesque tradere, quibus coordinatas aequationi respondentes assignemus . PlureSexcogitatae fuerunt methodi ab analystis, ut id assequerentur, qua inter me rentur laudem & ea, quam Craigius phoposuit, & Marchio Hospitalius orna. vit, & ea, quam Tom. r. Ac. Pet. dedit Hermannus, quamque Vincenti Rimatus Tom. i. opus in epistola ad Fantonum, suppletis qirbusdam casibu dissicilioribus ab Hermanno omissis, perficit. Nos tamen, quamquam has inge niosas, fle utiles elle non inficiamur, eam hic ample mur m thodum ἰ cuia auctor fuit Q. Wit, non ideo tantum, quia Mac plerive sequuatur, sed quium