장음표시 사용
211쪽
methodis est similior, quibus hactenus usi sumus . Hujus autem methodi vis mis sta eli, ut, opportunis adhibitis substitutionibus , aequatio proposita ad
aliquam e simplicioribus lectionum conicarum aequationibus perducatur ἰ deinde ut, curva descripta, & lubititutionibus rite conlideratis, abicissae, & ordinatae determinentur, quae promitae aequationi satisfaciunt. a. Primo igitur simplicissimas cujulque lection s aequationes inspicere opor tet , atque alte animo infigere . Si de Parabola sermo sit , ejus aequatio est in qua a est parameter, t ordinatae, ab:cidae in diametro acceptae, quarum origo eli In curva; quod si abiciliae in tangunte accipiamur, aequati erit as αππ. Si propon Antur aequationes 'ax νs, as m n , constat eas esse ad eamdem parabolam, di id naberi tantuin dilcriminis , quod curva primae aequationis ad partem negativarum abscitiarum erit describenda, secundae vero absciua quaecumque vel posit: va, vel negativa ordinatam habet negativam. Quoad ellypsim, politis semia iametris e , si abicitiae sumamur in diametro
tarum angulus rectus, quae duo natura circuli postulat, erunt aequationes ipsius cuculi bb - XX ab κ-ππ-99, 2b9-99 Nκ. In prima κ incipiunt in centro, in duabus aliis in puncto curvae, sed in secunda diametrum,au tertia tangentem occupant ablicissae. Quoad hyperbolam demum abscissis sumptis in prima diameitro, Sc incipientibus in centro valet aequatio . N - obrasy, sumptis vero in diametro secunda
metro, aequatio erit ab κ-κκα99η , si sumantur in tangente
lunt in diametro, in secunda vero in tangente. Si e m b, hyperbola erit aequi- Iatera. AEquatio hyperbolae inter assymptota sic se habet be, & si coordinatae sint ad angulum rhcttim , spectat ad hyperbolam aequi lateram. Ad basitaque omnes aliae aequationcs sunt reducendae. 3. Ut recto cum ordine theoria progrediatula in duas classes tribuo aequationes indeterminatas i undi gradus. Prima classis eas continebit , in quibus adest alterutrum, aut utrumque quadratum coordinatarum sine earumdem rectangulo , vel sine ullo quadrato coordinatarum rectangulum . quod planum solet vocari. Classis altera complectetur eas aequationes , in quibus existit planum simul cum uno, aut duobus coordinatatum quadratis. Quae in prima classe sunt facil-Diuitig Hi c,
216쪽
Deillime ad simplicissimis reducuntur, si pro una variabili addita, demptave eo
stante altera variabilis lubstituatur, ad quam substitutionem faciendam sceo complenda erunt quadrata per additionem quadrati dimidii coefficientis. Ubi simplieissimam inveneris, eurvam describe, tum per singulas substitutiones regre . dere, δc determina propositae aequationis coordinatas . emplis theoria, quae non est diffieilis, planissime declarabitur. 4. Exemplum primum. Dato angulo coordinatarum proponenda constru tur aequatio a -- ab myy. Quando an ab M a. κ--h sat κ- -b α ποῦe go facta substitutione proveniet a zmyν, quae est ad parabolam . Diametro AB, Fig. I. parametro α a, deseribe parabolam, cujus mordinatae datum faciant angulum , erunt m et , ; sed κ m z-b . Secetur ergo ADmb, erunt DB α ζ-b κ. Punctum D igitur erit origo abscissarum, quae positivae sunt ad partem M, negativae ad oppositam plagam . ordinatae mi erunt BC ad unam partem positivae ad alteram negativae . Si aequatio fuisset an - ab myy, adhibenda fuisset substitutio π - α adeoque ergo producta diametro in E , ut AE b, in puncto E inei perent abstitiae positivae ad plagam M. s. Exemplum alterum. AEquatio construenda sit Ny aκ m aa - ay. Fac primum s m ac ιε; ejice ab aequatione 9, ut fiat -az, sive translatis terminis ηκ--. Fae deinde . & habebis Pa 2aa aequationem hyperbolae inter assymptota. Rectae M M,N N Fig. ι. se intersecent in dato coordinatarum angulo, abscinde C A m a, A B m a a, inter assymptota MM, NN describe hi perbolam transeuntem per punatum B erunt CF ρ, FG mat; sed καρ-a; ergo A Frax, quae abicitiae initium habent in A. Praeterea quum sit 3 et -a, divide AB bifariam in D.&per D due DFI parallelam C A, erunt HG m 2 - amy. Qium vero DHMA DHrax, HG -st. Ex constructione discimus y M a, ii καo; si κ est polutiva, &ς a, ordinatae positivae sunt; si κma, est 3 m o', si AE a, ordinatae
sunt negativae, positaque re infinita, s negativa ma. Si π sunt negativae , Sc a, ordinatae positivae sunt; si κ negativa αιι, ordinata est inlinita; demum si a, ord natae negativae reperiuntur. Si aequatio seret χν--am'-a --al , substitutiones si Ha a , κ - am ρ, exhiberent ρζ--χ. - . Raare posit CA a, sumenda esset AE m et a ad partem ordinatarum negativarum,& c ordinatae forent D H, HI, sed Hi esset negativa tendens deorsum. 6. Supposui hactenus, quantitates constantes aequation s ejusinoui esse, ut locum praebeant congruis substitiitionibus. Quod si eilant magis compositae aliis introductis speciebus ad simplieiotes revoeabimus. Sit aequatio a a-b 99. Fac primum a ambe, ut habeas b. e-κ yy, tum e - κ ρ, ut habe saequationem ad parabolam. Ita in aequatione -- -e 99, Pone
mum substitutione α z, & siet , tum alia substitu
217쪽
. Exemplum tertium . Sit κκ--aaxm ay-bs . Adde utrique parti quadratum dimidii coefficientis , nempe a a , ut Obtineas Ν -- a am
218쪽
II. pone abb - a a m mm, ut habeas five pρ - .' , quae sequentem constructionem praebet .
ergo D H, H G erunt coordinatae quaesitae.12. Quoniam methodus Cl. Wit , tametsi fuerit a pluribus scriptoribus iulustrata , implicatior est aliquanto in aequationibus secundae classis continentibus planum idcirco eorum rationem deserens, advocabo methodum quantitatum indeterminatarum , & artificium adhibebo, quod constructionem reddit per quam, facilem. Primum ita ordino aequationem, ut una pars contineat sy affectui signo - , & omnis coeffcientis expers simul cum rectangulo ex F δc suo multiplicatore; in aliam aequationis partem terminos reliquos rejicio. Deinde addito quadrato dimidii ejus quantitatis, quae multiplicat 9, compleo quadratum integrum, cujus radici novam indeterminatam facio aequalem , quam voco z, factaque substitutione sese offert aequatici. a qua abest planum λζ. Si construam curvam indeterminat-um X, A, ut revocatis substitutionibus determinem 3: fieri numquam poterit, ut desinant in lineam abicissarum x, sed desinent in lineam, cujus abscissae erunt ad N in data ratione. Quare ita tonstruo aequationem, ut tamquam abscissas non sumam N, sed mω , quae species m designat rationem in determinatam deinceps determinandam. Ad hunc finem emciam, ut M in aequaticine, quae turbari non debet, ubique inveniatur multiplicata perm,& describam curvam, cujus abscissae mmm, ordinatae ma. Hoc effecto ab in iistio abstistarum mκ lineam rectam ducam ejusmodi angulum facientem, ut o di natae ζ aut addatur, aut dematur ea quantitas, quam calculus indicat,& addita detractave constante, si opus est, determinabo F. Postremo definiam valois rem speciei m, qui essicit, ut ordinatae 3 desinant in abscissas in x, atque deis terminabo, quinam debeant esse omnes anguli, ut coordinatae κ .s datum angulum faciant. Theoriam hanc, quae hoc modo proposita videtur non ita facilis, exempla reddent clarissimam. 13. Exemplum quintum. Sit aequatio, ut par est, ordinata v - 2 3-a Amma a 4a π - ΜΝ. Addo utrique parti a a aaκ-xx quadratum di-
midji Gessicientis', ut habeam 3 -a--κ m 1a a--a a N. Pon y a -κ EI& invenio η a aa--χ aκ , quae est ad parabolam ; Uerum ita curva construe da est, ut ejus abscissa non sit x, sed m x. Quare aequalitate custodita ita formu- Iam dispono ma--m x. Itaque parametro A B intelligatur d
scripta parabola A I img. J, cuius abstissae A F m ma--m v, ordinatae F H I m et rigitur secta AC m ma, erunt CF α mκ. Ad inveniendam F Ha - Ν, producatur BA in D, donec ADma, & due diametro parallelam D G, ad quam protrahantur I F, erunt EGram Μ, GI e a, ex qua detrahenda est
219쪽
N, ut inveniatur 9 Intelligatur ducta ΕΗ fie, ut interceptae GH Μ: fiet
H l zz Μ m 9. Ut autem F in m desinant, opus est, ut E H N; igitur determinandus eli valor m, ut, existente GH mx, sit item EHακ, dato angu o EF G. Fiat triangulum RST, cujus angulus S aequet datum E HG, cujulque intera SR, ST sint inter se aequalia, singula autem faciam ma. Sumpta R T, eam voco itaque erit aree: π:m π:: I: ms ergo mα -οῦ ergo parameter AB α - α AC m ma m e. Quando angulus E GH mT,
angulus B A F erit complementum ad duos rectos anguli T . Igitur diametro AF, parametro A B - & angulo B AF aequante complementum ad duos rectos anguli T, deliaeetur parabola: tum accipiatur DAma, agatur DG p ra tela diametro A F, abicindatur D Eie, demum agatur Eld faciens angu lum GEHαR: habebitur EHακ, Q. E. I. Corollarium. Si coord .nalae π,9 debeant concurrere in angulo recto, proveniet mm. 2.1ψ. Exemplum sextum . Ad construendam aequationem jam ordinari
33 - 9 aa - NX, addo rex, quod est quadratum dimidii eoessieientis9.
ui fiat 9 Lx a a L κκ. Pono 9 - Ω oritur et e m a , λψ α- - κω, quae est aequatio ad ellypsim . Uerum s hanc construam, ut eoordinatae sint , in lineam abscissarum Μ non desinent ordinatae 9. Eo pacto itaque construam, ut coordinatae sint mκ, et . Ob hanc rem multiplico aequationem per mm, ut hanc so
erunt CF mx, F Ια z. Quum autem=m ζ'-Ν , ducenda est CH sic , ut BF m ΔΜ, & tum habebimus HImy, quae 9, ut in lineam abscissarum desinant, oportet, CH κ. Quum CH debeat esse dupla H F, & angulus coordinatarum C Hl datus sit, estotmo triangulum RST, in quo angulus S aequet datum, & RS sit dupla ST. Sit RSma, STα - a et jungatur RT, & fiit e. Habebimus -οῦ ergo diameter C A mga o remanente CB in a. Angulus CFH , sive BC A i T. Quare semidiametrisCA -L, CB M a iacientibus angulum in T, describatur et lypsis BIA; demum agatur CH faeiens angulum ACHi R. Parallelae CB snt ordinatae I H, erunt CH i κ, Hlmy. 4. E. I. Corollarium. Si angulus H, atqui adeo S reictus sit. invenietur m S . - 1 Is. Exem' Diuiligod by Cooste
220쪽
I s. Exemplum septimum . Proposita sit aequ1tio νs --1κκ, quae ordinata est. Addo quadratum quae est dimidium c
essicientis ut oriatur si Lx Z a m 2 a 4 11'. ut nabeam - cujus tamen eonstructionem, si reseram ad eoomdinatas nunquam obtinebo, ut 9 desinant in m. Accipiens igitur m utc: inceps determinandam, inquiro locum coordinatarum Multiplicata aequatione per mm, habeo m M. Deseribatur hyperbola BI FQ.H, cujus semidiameter feeunda sit C A m m a, prima C B E- , erunt C F α mΜ, FI zzz . Ago ΒΚ parallelam CF, ut IK in ζ-- , 'cui quantitati adjungenda est Μ, ut habeam s. Quare ita duco BH,' ut hi Κα -οῦ , Sc erit HImη - - ακms. Ut dato angulo B HI, sit B Ηm & κ, S m B HI seco RS M a, ST ta,& jungo RT, quam voco me. Habao autem igitu: semidiameter C A e, remanente CBra constituantur istae semidiametri ad an- ah ulu M AE R g tur ΒΗ faeiens eum tangente angulum HBΚm R, erunt BHm , Hlms. Corollarim. Si angulus S
esset rectes, fieret e e m a a V m tace; ergo erasi , atque adeo
hi, methodum patefaciamus in illis aequationi 1vmotofa i , '- ς ψςςndae sunt ad hyperbolam inter aiah ,- disp*Rς04- φst, ut planum xy nullum coemeiens habeat P . m,R ad unam aequationis partem jaceat simul cum quadrato MN, ut factum vides in hac formula κὴ -κκ ase - ay-aa. Quae quantit In prima parte multiplieat κ pone aequalem alii variabili hoe modo' seu 3 ζ--L . Ejice F, ut habeas xxi M sve a V an mu, & erit κυ α α - au, sive u ὲ--, . referrem constructionem aequationis ad abscissam N, non obtinerem, ut ordinatae in lineam abscissarum desinerent : quare multiplico ae quationem per m , ut fit v. mx - m a i Utor ultima substitutione resultat pu α --- aequatio hyperbolae inter assymptot . Ia