장음표시 사용
221쪽
uno assymptoto seeetur C A ma, alteri assymptoto CM Finio parallela agatur AB - , & describatur hyperbola transiens per punctum B, erunt
MCAiT, GDHm R. Igitur inter assymptota iacientia angulum mT, sumpta C A vi e , AB α - a describatur hyperbola transiens per B; tum a
cepta A D-A B. agatur E DG parallela C A : demum dueatur DH Deiens a gu um H DG m R, erunt DF in, HI parallelae CM erunt m S. Q. E. I. Corollarium. Si angulus S rectus fuerit, existet a am- - ergo e m LII- 3c m α - . Atque per haec locorum geometricorum secundi gra.
dus theoria in aperto posita est.
CAPUT SEPTIMUM. Resolvuntur non ulla Problemata secundi gradus
inde terminata . Postquam aequationes omnes seeundi gradus doeui eonstruere deseriptis sectio
nibus conicis, necesse est, ut in exemplum aliquot problemata indetermi nata soluta exhibeam. I. Problema primum. Circulum, cujus eentrum C Fie. I in tangat recta . Ad, in quam incidat secans C Q, interceptae RQ fiat aequabs RM tangentipe pendicularis, quae tur loeus omnium punctorum M, quae simili ratione d terminantur . Ex M in C A productam demittatur normalis M P . Vocetur M P m A dras, A P m m κ, C A m a. Ex proprietate circuli e rit 2 a -- I9::ν: N. Ergo a ax-- κκαρν, quae aequatio est ad hyperbolam aequila teram, cujus axs maa. abscillis incipientibus in vertice. Centro C, verti οφ A describe hyperbolam aequi lateram, eujus axes. eirculi diametro A A A nat .e' quales, hic erit locus quaesitus. a. Determinationes non sunt omittendae. Dividatur eirculus a duobus dia
224쪽
te A B; posita QM m QR, generatur ramus hyperbolae A si politum sit
in secundo quadrante Ba A, ut a R, tune Ca R secat tangentem in a Q. Ma Ra tanquam negativa spectanda est . adeoque et aba in opposita parta constituta, oritur oppositae nyperbolae ramus h Aa M. Si 3 R est in tertio quadrante a A a B, tangens iterum secatur in Q , sed 3R negative accipienda est, eique aequalia facienda Q. 3M , ut resultet ramus a AqM. Demum 4 R. posito in ultimo quadrante, piodueetur ramux A M. Per punctum a R agatur tangens Sa S. Eadem hyperbola nata esset, si interceptis S R positae fuissentae fales Si M. Demonstratio faeilix est Nam per eonflructionem a R ax QxM; sed positis aequalibux arcubus A R, 2A3R est a Ra Q SR: erisgo ad 1M m S R. Et ergo ablatis aequalibus a S, R3R, quae aequant circuli diametrum, remanebit Sa MazS3 R. Q. E. D. . Problema secundum. Intra datum angulum ABC s dato puncto E, invenire curuam MF. ut ducta per E qualibet AMEC sit ubique Α M i CE . Ex uunctis E M agantur E D, M S parallelae lateri CB. V cetur B Si κ. SΜαy. ED M a, BD b. Quum ex iconditione problem tis A M i EC. erit A Si B D in bI ergo A D BSm x. Est autem A S :S Mer A D: DE, sive analytice b d 9 :: π : a ς ergo ab α xy, aequatio ad hyperbolam inter assympi tos BA, B Cia Inter hos itaque describatur hyperbola transiens per punctum E; haec erit curva quaesita. Proprietas eadem locum habet in hyperbola opposita. Nam ducta EL CLA. quae oppositam hyperbolam secet in puncto a M. erit ubique Ex Cma A1M q. Problema tertium .. Intra angulum B Fig. yὶ dato puncto E, invenire curvam ivl F, ut ducta qualibet AMEC sit ubique AM: CE in data ratione min. Fiat eadem praeparatio ut antea , eaedemque denominationes reti
hyperbola, cujux constructio hoe modo peragitur . Sume DF , quae sit ad DB:: mon, & per H due H Κ parallelam BC; tum inter aitymptota HA,
HK describe hyoerbolam transeuntem per datum punctum E. in qua ducta qualibet AMEC est semper A M. ECrem: o. Hoe uer Oroprietatem n ' ti matis superioris facillime demonstratur: nam secet C astymptotum in K peν problema superius A M M E K: sed ΕΚ: EC:: H D: B D:: men .ergo A M: EQ: Imrn. Haec omnia valent etiam in hyperbola oppolita. s. Problema quartum. Dato angulo FBG He. 43, & puncto A, ducti Gque infinitis A F, in.enire euroam, eujus chorda AH inluet interceolam G T. Parallelam lateri B F ex puncto A aee AD occurrentem in D lateri BG. Expunctis H ordina HE parallelas A D. Voca BE α π, HEαν. BD AD m b. Quoniam AHαGF et eoaditione problematis etiam DEm BGῶ
225쪽
perbolam inter assymptota; atque hoc modo construitur. Produe D A in I, donec Al m AD, per punctum I due I Κ parallelam DB, quae secet F B in Κ. Inter allymptota ΚΛ, Κl describe hyperbolam transeuntem per punctum A: ipsa erit curva quaesita. Linea A B tanget hyperbolam in puncto A, quia linea BK M DI est dupla Al. Si linea A F secet ramum A H, intereepta G Fcontinebitur in angulo FB G: sit secet ramum AL, intercepta erit posita in angulo ad verticem ΚBd : si linea ducatur ad hyperbolam oppositam, intercepta erit in angulis adjacentibus ΚΒd, FBD. 6. Problema quintum. lisdem positis ac in superiore problemate, invenire curvam A H s Fig. s.) in qua corda A H ad interceptam G F sit in ratione datamen. Conservatis superioris problematis denominationibus, patens est foro D E m a -κ Est autem AH: GF, seu DEma NdGB::m: n I ergo
structio. Produe DB in C ita, ut DC. DB sit Item produc D A in I ita, .ut AI: AD sit rem: n. Per puncta C, I duc parallelas rectis A D, DB, quae conis curant in K. Inter assymptota Κ Ι, Κ C describe hyperbolam transeuntem per punctum A, & habeb:s curgam quaesitam. 7. Problema sextum . Data indefinita EB, Fig. 6 Se extra ipsam puncto A, invenire curvam transeuntem per centra omnium circulorum transeuntium per R, Sc secantium in E B chordam datae aequalem. Ex his circulus unus sit HI H, cujus centrum C, agatur AB perpendicularis EB, ia compleatur rectangulum C D B F. Vocetur B F m x, FC B m a ; ergo A F m a- X, D I dimidium chordae datae rab. Constat CD --DI CF FA , ex qua
het. Divide AB bifariam in G Fie. .ὶ abscinde GL tertiam proportionalem post 'ao, b, vertice L parametro 2 a describe parabolam , hic erit locus quaesitus. Tres sunt casus d. iiinguendi, nimirum vel G L m G B, seu b a ,δc tunc punctum L eadit in B, quod erit parabolae vertex. Vel G3 L GB, seu b a, R vertex parabolae cadit post puncti A, B: vel demum GaLαGB seu bina, A vertex parabolae eadit intra puncta G, B. Si b α o, adeoque nisi a Ga L, tunc punctum G idipsum esset parabolae vertex. Quum autem tam G B, quam G A sit quarta pars pira metri, patet, punctum A esse lacum, lineam BE esse dirotricem parabolae. Circuli vero habentes centrum in curva parabolica,&tran Diuili do by Corale
226쪽
Ites per punctum A , quando intercepiunt chordam nullam, eontingent datam 8. Problema septimum . Anguli A c Fig. 8 erura aequalia A C, A B ita aperiantur, ut puncium C semper in eo aem loco permaneat, puni flum B iter faciat per lineam rectam F K; linea BD iaciat cum A B angulum rectum, quaerIIur, quam nam cumram descripturum M punctum D . Demissis in C B normalibus A N D M. vocam BD rab, CMακ, DM - ν, erit -99 , ScCB α κ - b-yi, & N Bra Quoniam angulus ABD rectus supponitur, anguli duo ABN, DB M aequabunt duos ABN, BAN, i utrumque par reetum aequato ergo ablato eomuni ABN remanet DBMώ - , t i ngulum DBM erit simile BAN, & valebit proportio A B,B D:: D V , & analytico
ad ellypsim . Meam methodum sequens ita dispono formulam m b -m 9
2:m o : b . Itaque positis diametris CE mb, CH m b tangulus diametr rum, & coeficiens in determinabitur in progressu intelligatur celeripta ei lypsis E H, erunt C Gmmy, GD m M. Agatur linea ClF ita ut C I- r,.
I G α I D in υ - Ff α κ . Quoniam angulus I rectus est , erit
227쪽
demum bb -κκ:19: :bboee. Quae est aequatio ad ellypsim praeditam semidi metris C H α b , E E m e. 1 I. Problema octavum . Intra angulum datum DCB s Fig. ρ in moveatur data recta B D, quaeratur curva, quam aes ripturum est quodlibet datum in ea punctum A. Ex puncto describente A agatur AL parallela cruri CD. Vocetur C L ' L A Bma, A Drab. Quoniam valet proportio D A : A B:: C L: L Berit bra: κ:L Bm vocato αμ angulo dato DCB M ALB eonstat forco , ex qua habetur aequatio σβ-3
quae aequatio semper est ad ellypsim . brra. Si angulus DC B α - rectus sit, fit Ce. - Οοῦ ergo aequatio prove nit - κ ry :zb ra , quae est ad elirpsim, cujus semiaxes sunt b, a, de qua et Iypsi supra verba seel. Si angulus DC B reMus non sit, crura anguli, ad quae reiertur aequatio, non sunt diametri conjugatae . Ut conjugatas duas diametros determinemus, ex nostra methodo ita est inlli tuenda analyns. Complendum est qua-
dratum hoc modo a - . κ α9 V. N. Quum vero
- .κ u , quae in hunc modum dispona-b r: a'. Quoniam haec referenda est non ad abscissam
π, sed ad abscissam rani α , quae species m erit determinanda deinceps, ante cedentes analogiae multiplicentur per m , ut fiatm ν β 222 m ν θ Σ
Semidiametris CE in I - , CF α a, intelligatur descripta ellypss, cujus pun-
228쪽
. Ex his nascitur constructio. Abscinde C H α - ,
rectae CD sit parallela HE α --& semidiametris CE, Sc CFia
describe ePypsim in hac semper reperietur punctum A . 13. Sit PEQ positio lineae D B, quum punctum A pervenit ad punctum E. Erit PE α b, Edra a. Quoniam est H E: Eor
-: Ce. EF d: Ie .EH I&eadem HE. QE:: se. EQΗ. Se . E H Q, habeb mus Ce. ΕΗ . Se .EHQ. : Se . E. H. Sc. EHQ; ergo Cc .EH α , e .E H; ergo angulus E Q H complet rietum cum EHQ; igitur angulus QE H, adeo'que etiam QP rectus est. Haec proprietas docet iacitem rationem delineandi et lypsim datis tantu modo duabus semiuiamctris conjugatis qu buscumque . S mihi metri datae sint CF, CE. Ex puncto E cxtremo unius agitur EP peria pendicularis in aliam, quam produc in Q, donec Edm CF. Iunge C d. Postremo intra angulum FCQ fac moveas lineam P Q. Punctum E desine. h tellypsim quaesitam. bi linea PEQ intra angulum P Ca moveatur, describet etialyplis partem. Integram obtinebis. ii eam juocas moveri, intra alios angulos nimirum PCχQ, a P Cad, AI' Q. l . Rationem aliam ingeniolam magis, atque elegantem solvendi hoc pro. hiema placet addere. Ex puncto A duc AL parallelam CD, in qu .m expuncto B demitte normalem B M. Aio primum rationem CL. Livi constantem esse. Nam est CL: LM inrat. CLἰLB ι-A ., tri I T racomp. LB: LMs pyi δ CL: LAest constans, utpote eadem cum ratione DA: A B; secunda pariter est const. a quia latera trianguli L M B lpecie dati sunt in ratione constante; ergo omnia puncta V sita erunt in linea recta C ME. Quoniam vero B M sunt te inperii. hi parallelae, liquet constantem esse rationem C Me M B, quam dicam meu . oco piaeterea CM α κ, ergo MBm Sit M Amyr sed propter anguia
ergo vocata A B M a est a Diuitigod by Corale
229쪽
quae est ad elirpsim, euius semidiameter una est CF α a. Ut
m m a altera determinetur fiat ut m o, 3c habebimus π α - , cui abscindatur aequalis
CE, haec erit altera semidiameter. Ponamus D B ita moveri, donec punctum
A veniat in E, & ejus positio sit P Q. Quoniam CE ra E ma erit
CE: Ed: men, hoe est Et CM: MB; sed MB secat ad angulos rectos parati telas rectae C D; ergo etiam E d; ergo angulus C rectus erit. Quae prorsus conveniunt cum prima solutione. Supposui, punctum destribens A situm esse inter puncta D, B: sed si eaderet extra, eadem methodus valeret. Quod pia ribuI indicandum non centeo . ut nonnihil lectorum industriae concedam . Is . Problema octauum. Datis duabus parallelis AD, BE,t Fie. o. quasseeet linea AB. ductisque infinitis ΗΚ ea eonditione, ut A H - - ΒΚ. m. a b demum divisa HK in N ita, ut sit A H: BKrc KNe H N: quaeri ur natur curvae transeuntis per omnia puncta N. Aec p antur A Dra B E M a b , quae dividantur bifariam in punctis F , G, & iungatur FG, quae pariter divida turbi sariam in 1. aoniam est A Fr BGr: lG. I F. liquet, otinctum i tore in cu va quaesita. Sit IC datis A D. BE parallela. Aceipo F H α G L .constat, i re A H--Bς α a 3. Iunge HK. quae neeessario transibit per punctam i, iaper N dividentem HK. ut postulatur, due paralelam AB, teu FG quae iecet C l in M. UMetur R C m CB α a. l Mi κ. MN α ν; ergo N P m a se V, ac N a F. Ex triangulorum similitudine MN. MIr: Fl α GI: FH αG M seu analytice st: π:ra: FH m GK α -οῦ ergo AH α b- --, A BL - θ- ; atqui ex problematis conditione AH. ΒΚ::ΚN. HNe: N : NP ergo bH- a y. a componendo divide didoque 3σzay, sive T. κ 33, quae aequatio est ad parabolam descriptam diametra IM, cujus vertex est I, in quo FG tangit curvam. to. Parabola post puncta D, E, per quae transit, extra parallelas excurrit, et D 1 N. Haec quoque pars curvae inservit problematis solutioni. Nam intelligatur diicta quaelibet a Na H Κ: partes 2H1N, B ac tamquam negativae spectandae sunt. Qiare habebimus Aa H - Βις α ab; item A a H: Bις. ra K1N. 1 HAN . Si AB secaret parallelax ad anguloa rectos, recta I Μ esset
ιγ Procilem a nonum. Rectis A D. BE eum AB Leientibus angulos misquales D AB, E B R . Me. 11 3 dueantur infinitae HK ita ut A H--8 Kaequent datam ; tum dividatur H K in N eo pacto, ut sit RH. BK::ΚN :HN; quaeritur curva transiens per omnia puncta N. Recipiamur Α D in B Eaequales datae, hae dividantur bifariam a linea FG, quae erit parallela A B. Sec tur FG bitariam in l. Quoniam FRmG8.& I FG l G, palam est punctumi esse in curva. DA, EB productae concurrant in Ο, iungatur Ol. quaeritisv det bifar am angulum O. & oi es ineas parallelas AB Sume F H - α G
di duc HK, quae ita secetur, ut problema postulat, in N, A boc punctum sit in Diuiti oc by C, oste
230쪽
R κ . GR.', sive componendo, & accipiendo antecedentium dimidia, & deduHis antecedentibus a consequentibus; ergo B mbκ, quae est prima aequatio solutioni in-18. Praeterea OC: CAdro M. M P , sive analytice e: a: κ: R. z te :: bserviens. M P agitur
ΗN: HK:. TM. TRe: PN:ΚS; ergo proveniet aequatio sive
parabola transbit per puncta D, E . Quare curva quaesta erit parabola descripta axe IL, vertice I, tiansiens per puncta D, E. I p. Problema decimum . Superdata A I a. deseri re eurvam A E B, ut ductis ad quodlibet punctum E rectis A E, B E, angulus AEB lit aequalis dato. Demissa normali ordinata EF, disitaque AB bitariam in D. vocetur AD MBD m a , DF α x, AF m a --κ, BF α a - κ, FEras, em A E m