장음표시 사용
231쪽
Sed quum sint similia triangula BFE, BGA, habetur BE. EF d. BA: As
Extrahatur rati x quadrata, & orietur a -κ-y- 2 sive
quae aequatio est aὀduplicem et ulum, euius haee est eonstri,ctio. Divisa AB biseriam in D, et uem p r D excita normalem lΟ. Due BM, BN ficientes Dim A B angulum ολ um. HI age normales B H, ΒΚ lecantes io in punctis Η Κ. His centri hri uestribe duos circulos AIB, AOB, isti problemati satis-t- traduntur in elementis determinationes reddunt faciles, as pr. pterea omittendas. ι n. undecimum . Invenire curvam transeuntem per vertices D. xxj-Og quae super linea AB ita describuntur, ut a
μ. DBA differentia sit data. Divido aequaliter AB in E. Rit eam Hs K. quae cum A B laetat an stu um AE H aequalem dM
232쪽
atqui Ho m OK; ergo' ' ' , aut a - ex qua componenio, & dividendo nascitur a: quae est proprietas hyperbolae inter assymptota .
a I. Ut analyleos studiosis servirem, caleulum advoeavi : sed ipsa praeparatio per sese nos ducit ad solutionem problematis hae methodo. dum lecta sit AE m B ob similitudinem triangulorum REF. BEG erit AP - BG. Anquius D HKm DKH; ergo H Ο o. Praeterea triangula rectangula A FH, BGKa quales habent angulos in H, Sc latera A F, BG: sunt igitur aequalia qu ad omnia; ergo H F ΚG. H s praemissis quum OH m OK, & EF EG, erit OH - EF i OK- EG, De H F OE α OE - ΚG; ergo HF--Κλsire 1 H F a OE, & H F i OE, sed est H FrHO:: λ F: o D, si e substitutis aequalibus O E: E F: F A . O D , quae est proprietas hyperbolae inter asesyinptota , quae hoc modo constru tur. aa. Divisa AB bisariam in E , agatur FEG faeiens angulum FEΑ , qualem datae leni differentiae. Per E agatur MEN Oerpendicularis FE G: d mum inter assymptota MN, FG describatur hyperbola transiens per punctam A: haec erit hyperbola requisita. Quum assymototo 'um anguyus rectus sit, hyperbola de cr pta aequilatera est, & quum A K α RE. Gaerbola ooposita trλ sibit per B H me di lcimus novam, & pu eram proprietatem hyoerbo ae aequil telae. Ab extremis punctis euiolaumque d ametri gantur uuae quaelibet D, BD, disserentia angulorum D AB. D R A est conitans 3: aequat s uuplo angulo, quem diameter A B facit cum assymptoto FG, quod a ototum non pertisnet ad eum ramum , in quo positum est punctum D. Quare si ex A, B ducerentur rectae ad punctum P, differentia angu'orum P A B, P B R ellet duola anguli MEA, qui effieitur ab ait nρtoto M N non pertinente at ramu a R . Si A E S esset axis hyperbolae , angulorum differentia angulo recto inveniretur ae
igitur substitutione valet proportio a
233쪽
4. Hujusmodi oritur constructio. Sume CE, quae sit tertia pars CB, est E hyperbolae eeatrum. Seca EF m EB - ,&ad angulos rectos pono EI m Semiaxibus EF, EI deseribe hyperbolam FD; haec erit locus qu stus, & in triangulo ADB angulus D AB M 1 DB A. Videndum cui probidimati solvendo par iit opposita hyperbola B M, quae per pMA M, BM, productaque ad utramque partem A B in P, N , rep ricingexternum MA P eue duplum anguli e terni MBU i as. Problema decimumtertium. Ex dato puncto C F s. in P -u , . re dati anguli C A D agatur C D desinens in erus aliud , cum hac ia r Iactat .nguium Q D F in C A DI sit vero A C A D D Ce D p, quaeritur curva traisens per omnia puncta F. Age CF. Liquet triangula A C D, D C FIia, quia latera circa aequites angulos sunt in
DF C & AC Di DCF, quibus aequalis est F D E. A punctis F, C dimit dii ur in A D perpendiculares h Ε, CBI ex puncto D ducatur DG per o*i
gub. 1 F. Aloptimum esse FE. CB in ratione duplicata A D . A C, quia ea
etet. Ex hae aequatione discis, ducta D O aequali, & parallela FE, ear
vam transeuntem per omnia puncta o esse parabolam appollonianam, cujus V
234쪽
D T.3, quae est ad parabolam, quae ita eonstruitur. Claude rectangulun A B CI, produe I C in L donee, AB, posita diametri parametro α
IL α IC, junge AL, diametro AL tangenta
, describe parabolam: ipsa erit locus quae.
ao. Elegantius problema solves. si hae utaris praeparatione. Iisdem ac antea mustis duc C Bm C A i FQ. io i, tu sit parallela TE; iunge CF,& duc DG facientem angulum D GC α CA n. Trian ulorum similitu'o ut in antecedente loluatione probatur. Praeterea FE: CB est in ratione FE: DG compolita DG: CBν rirationibus est eadem ae ratio FD DC, seu AD: AC : ergo F E e C R in ratione duplicata A D: A C. Sit iam AC m CB α a, RO m n, FE F, habebitur , aut ayras'. Praeterea ex similitudine trianguIorum A CD, F DE est A C: R Dr: DE FE , sive ara r: DE est; ergo D E m - . Voce tur AE Ν, fiet mma --, aut Mazae as . pro colloca ejus va
κ - ay. AEquatio haec est ad parabolam , quae tangit in A lineam AE , Rquae habet pro diametro A L parallelam BC . Quum hujus diametri pa amet a m 4 AC, puniatum C saeile probabitur esse lacus lectionis ergo BC erit axis. Si agatur A M perpendieularis BC. tum B M dividatur bifariam in N, rit N vertex praximus parabolae, & CN parameter axis. 27. Problema decunumquartum. Lineis duabus RV. FN s m. 37. in sese secantibus in B in dato a neulo, eoncipiantur moveri parallelae DH, EG ira, ut intercipiant partem DE aequalem datae. tum per punctum H, ubi harum primis secat datam F N . ex pui. e o fixo A disto in linea A M. ueatur Α H G : quaeritur
quam curvam deleripturus sit concursus linearum A G, EG. Antequam probi malis sol ut onem ageredior, nonnullas det minationes praemittere praestat. Primum limae H D, G E moveantur, ut punctum D abeat in A. & punctum E laC, existente AC: DE: tum linea EG transibit in C F, δι AH eidem fiet parallela, neque ipsam secabit nisi in puncta infinite remoto; ergo i P erit ac sympto um curvae. Moveantur denuo eaedem lineae, ut punctuin D abeat in S,
235쪽
punctum E in M, existente B M m DE, tum AH coineidet cum AB, & eon. cursus linearum. AH. EG fiet in puncto M; ergo per M tranuolt eurψa. Side.
inde lineae H D, G E ad eamdem partem promoveantur, punctum concursus I i. nearum AH, EG mag s nugisque accedet ad rectam FN , numquλm taaee pertinget erit igitur H N alterum aliymptinum curvae. - . . , ab. Hae determinationes ad congruam nos ducunt ici utionem. Accepto enim abstitiatum initio in F concursu allymptotorum , vocetur Fimκ lG 3.
& deletis delendis remanet simplicissima aequatio XI. -- a b e e
- AEquatio pertinet ad hyperbolam de cribendam inter assymptota CF, k-u , ct trameat per punctum M. Detuiminario a Pramiuae cIearunt linlutio. Diuiti ed by GOc sti
236쪽
lutionis elegantiam. Per eas enim cognovimus assymptota,& eorum concursum. Quate in hoc concursu facto initio abscissas sumpsimus in uno astymptorum; quae cauito simplicissimam obtulit aequationem. 3o. Problema decimum quintum. Linea CED Fig. I 8. iaciens eum. AG angulum datum moveri possit libere motu parallelo. Data sit item linea BD, quae concurrat cum A G in puncto B ; demum norma CAD ita moveatur, ut concursus laterum AD, CD sit semper in linea BD, quaeritur quam curvam descripturus sit concurius linearum AC, CD. Ex puncts A, C D r ctae BG agantur normales Al, CF. DG. Vocetur AB m a , Aa m b, an
'. - . AEquatis duobus valoribus A E resultat formula
- Ex proprietate anguli recti est aby
ar. Si D B sit parallela AG, constat, AB a sere infinitam existente , finita AI rab. Quare neglectis terminis evanescentibus aequatio subsistet inter
si angulus AECαμ sit rectus, atque adeo Ce . - o, evadit simplicissima κ - by o, quae est ad parabolam, quemadmodum alio loco docuimus. Quod si angulus μ'rectus non sit, sed vel acutus vel obtusus, atque adeo Cc. μ vel positivus, vel negativus, aequatio semper est ad hyperbolam.
237쪽
ad ellypsim , quotiescumque - 4 ab . Se . . C e. - si aequalis, aut major
Π.Cς. μ-b. Sc. μ. Hoc autem evenire non potest, nisi angulus , sit oes ius, & Ce. - negativus, si h aut utraque sit positiva , aut utraque negat, sive nisi. alterutra ex speciebus a, b negativa fit, si angulus acutus sit, di Ce. A. positivus. In telivis casibus omnibus aequatio est ad hyperbolam. Quapropter si angulus sit rectus, & C e. ras, i Fig. iς. aequatio temper per tinet ad hyocrbo an . Cisum hune construimus in hypotheli, quod a, b pol,livae sint, ut e Te n plum proponamus methodi, qua in casibus reliquis sit aequa tio perducenda ad constructionem. Hypothesis tormulam in hanc vertitam -bπν zzzab3 , sive κ-f. κνα by, additoque dimidii coefficientis quadrato
dum a nob s traditam, referenda est non ad abscissam ue, sed ad abscissam mLita ergo est praeparanda
33. Analysis hane constructionem praebet. Produeatur IA, donec AP A Bm 1a. Parallela AE agatur P α At m Α, & jungatur Ad, quae pru-eucatur in M, ut AM .
-- πι--. Quare A M erit tertia prγo bEttionalis post b, a, aa --θι , sive AI , AR, A Q. Demum post M N m A B m a pirallela A E , eum duabus semidiametris A M. MN, destri batur hyperbola AC, in hae semper invenietur concursus linearum AC, CD, dum concursus linearum AD, CD percurrit lineam BD in hypothesi, in qu CD sit normalis A E, & motu parallelo. moveatur. Ex his proipicuum est,iaboc similibusque casibus hyperbolam, quae describitur, reserendam esse non adaasus, sed ad duas diametros conjugatas ἀ a. Ut curva non ad diametros, sed ad axes revocetur, neeesse est evan stat in aequatione terminus plani κ' Hanc ob rem oportet, ut a. Cc.μ- ,. Sc με quae aequatio locum habere potest si existente a, b utraque positiva, aut nega tiva sit Ce. - positivus, & angulus , acutus, aut si una ex specie bust a b iit positiva, altera negativa, & Ce. μ negativus, adeoque angulus μ obtutus. Priamam hypothesim, quae exhibet hyperbolam, praestat ad construct onem perducere. Quum autem fit a-rbe: se. μ'. Cc.μ, substituta a pro Se .μ, 3c b pro
238쪽
nat a V per est ad hyperbolam. s. Primum accidere potest, ut arab, atque adeo omnes anguli ABI. AIB, AEC Fig. i8. sint semirecti. In hoc casu aequatio transit In aequat: o. nem duplicis lineae rectae a m 2 v. Deinde accidere potest, ut anguis Ius Al B α A EC sit minor AB l. In hoc eatu accipiendae sunt in axe primo, & u erunt parallelae siecundo: qua de re axis primus major sit secundo ne. cesse est. Demum fieri potest, ut a, b, & angulus AIB AEC sit major angulo AB l. In hoc ea tu ζ accipiendae sunt in axe tecundo qua de re axis secundus minor sit oportet axe primo. Itaque per hane construct. onem illae t tum hyperbolae delineantur, quae habent axem primum majorem secundo.
De transformatione aequationum tertii, & quarti gradus.
I. A Ntequam rationem doceo eonstruendi aequationes tertii, & quarti gra-I dus per te tersectionem linearum gradus lecundi. quo facilior fit l, a que expeditior theoria. utile erit exhibere methodum trans Ormandi easdem aequationes tertii, & quarti gradus. Trans bimare aequationem nihil aliud est ,
qu.m erim in aliam convertere, cujus radices dantur suppositis radicibus transuiormandae, aut vice verta. Ita transformatur pro posta, si alia inveniatur ae quatio, cujus radic's sint majores, aut minores radicibus propostae per quantitatem distam, aut cujus radici s sint ad radices propositae in ratione data. 2. Primum facile est aequationem qu mcumque transformare in allam , eu-jus radices cata qua notate m jores sint, aut mi ores, seu quod idem eii. augere, aut in nuere aequation a radices data quantitate. Si enim vel f augere, pone ejus incognitam καΗ - a, si velis minuere, faciκ m y--a; a est qu-ntitas data; tum pro κ substitue in aeqv.itione ejus valorem d. tum persea,& invenies aequationem, quam quaeris. Unum aut alterum exemplum theoriam non dissicilem reddet taciliorem. 3. AEquationis Ν - - κ)-Iς κ' -- Iio m o radices augere oporteat num ro 3. Pone
9-3; Ergo elevando ad congruas potestates invenies
Io89--8i. His autem valoribus omnibus substitu-
239쪽
- yν--83 m o, cujus radices per 3 superant radices propositae. Re-
apte radices propositae erant s, 1, 3, - ψοῦ transformatae autem radices sunt , ου, - - ι, - - o, - r ; hae autem illis ita majores lunt, ut differentia m3.
quae reducti in hane mutatur F isy -- 1 yy - 4 v - 42o m o. cujus radices sunt 1, -- ε, - , quae ita propositae radicibus sunt minores, ut differentia α 3. Ferm' super a. uni eli advertere , quum dicimus augeri radices , augeri qu dem radices prstivas, negativas autem in suo genere imminui, quia negativae quaatitas addi tur positiva . Idem. dic de radicibus, quae minuuntur .. s. aequatio Μ'--ex - - b e - o transformanda sit in aliam , cujus radices m. j sies sint quantitate a. Pone κ - a. 3c sequentes formulae trLais formatam exh hebunt . It 2 F -3a99--3a y a
Lundm termina earens Sit aequatio tertii eradus π--σΝ -- ab κ--abem , in qua a, b, c p liueti ei e eum positivae tum negativae. Hanc oporteat transeformire in aliam carentem seeundo termino. Pone N 9--m, quae speci 1 no