장음표시 사용
244쪽
tiae parti coefficientis secundi termini datae aeqWitioni 1 signo mutato. Reapse si
, quae est seeundo termino destituta ia
7. Si quis optaret tollere tertium aequationis terminum, neeesse esset, ut 3 m -- m a -am o. Ad determinandam m opus itaque est resolvere aequationem secundi gradus, quae: quum praedita sit dux bus radicibus. duplicem piae-b bit ualorem m, per quem tertius terminuL in aequatione' evanescit .. Advertetamcn imaginarium saepe esse. utrumque valorem: quod ubi accidit, tertius teris mimis tolli nodi poteli , qu a imaginariax quantitates intro sucamu&. bi vestis uutimum terminum abiicere,sese obviam serret aequatio m --a - -abm-s bemo, quae est teitii gradus, ac prorsus eadem cum proposita. Quare ultimum tetmiis num namquam tolles, nisi aequationis propositae radices cognoscas. d. Quod de aequatiombus tertii gradus, idem dieas velim de aequationibus
quarii. Sit itaque aequatio ΝΗ- a re a b Ν -- abcκ-Habe d m o. Ad eam transformandam pone ut peract x substitutionibus habeas
qualis eoeffieienti secundi termini diviso per a. signo mutato. Licet itaque s cundum termitum de medio tollere .. Delebit ut tertiu& terminus, iu iaci
βm -- a m ab m n, ex cujus resolution duplex prodi valor m. Sed si valor iste fuerit imagin prius, tertium terminum non abjicies, nisi moleas aequὸν Rem imaginarii ia Tertius. terminus tolletur resoluta aequa Condi tertii eranus 4m H 3 am se ab minabe o, quae quum habeat semper unum valoret
245쪽
realem, ut deinceps constabit, exhibebit valorem m , quo uti poteria vitatis ima. ginariis. Ad repelleadum terminum ultimum, necessarium est, resol rem aequati nem gradus quarti, immo prorsus eandem cum proposita. v. Deinde transformatur aequatio inventa in aequationem, cujus radices ad radices propositae sint in data ratione. Hoc obtinebis, si facias π α -. Ad em
Io. Utilis saeae est hae: translarmatio ad eliminandas fractiones ab aequutione . Hunc u um breviter un:co proposito exemplo declarabo. Sit aequatio
que substitutione, & reductimne proveniet,
Ut fractiones arreantur, satis est, ut possit exacte dividi per mώ, quod tinebis, si ponas netrab, mma. aequatio enim in hanc convertetur , quae
II. Tertia transformatio fit, quum aequatio invenitur, cujus radices cum propositae radicibus reciproeantur. Hane ob rem ponenda est κα - : quanti eas A pro libito accipi potest. Utere hae substitutione ad transformandam aequδ
quae liberabitur a fractlonibus, fi iacias A m: lo. Si In analyi eos rationem intendas animum, sacile cognosces, per Π d transformationem primum terminum transire in ultimum, secundum in penulti mum, atque ita dei neeps. Quare si habeas formulam ea rentem aliquci termino, per hanc methodum aliam larmulam invenies, quae careb't termino, qui taη tum a primo distabit, quantum ille ab ultimo. Ita in exemplo numeri suste rioris quando larmula carebat secundo termino, prodiit aequatio earens termiso
33. Aliquos inveni, qui aliquando aequationem transformant in aliam, v lv. rQιος iunt inediae proportionales later datam, A radices propositae. Dissili ed by Cooste
246쪽
ra ponunt drin mst, & καου. Verum advertendum est, posita A positivx duplicari numerum radicum positivarum, quia signum radicate dupliet affieit ut
signo; at radices negativae transeunt in imaginarias. Contra duplicantur nes livae, positivae fiunt imaginariae, si A sit negativa. Quare hanc transformati nem exiguum usum habere arbitror. Ea autem de caulla potissimum hanc tran- rmationum theoriam praemisi, ut appareat, quamlibet aequationem tertii,3e quarti gradus in aliam mutari posse, quae eareat secundo termino. I . Hic quoque j vat adnotare, formulam tertii gradus nullo negorio eonis verti in larmulam quarti, si multiplicetur per re, aut per καB. Sed sciendum, numerum radicum per hane multipleationem unitate augeri. Si enim ducaturia Μ, radicibus, quibus praedita erat aequatio tertii gradus, additur radix Aran si ducatur in Met B. radi ei bus tribus additur quarta nempe κ B. ptopter radices illae additae non pei tinent ad tertii gradus aeqv tionem, & si agitur de inveniendis tribus radicibus aequationis tirtili istae sunt tamquam inutistes semnendae,
De constructione aequationum tertii, & quarti gradus
per intersectione ax conicarum sectionum.
α μ' Iemadmodum aequationes primν gradus construuntur per intersect4onem adu. rum rectarum, aequationes vero secundi gradus per intersect onere rectae cum circulo, aut duorum circulorum inter se lo, ut in primo libro docuimus: ita aequationes tertii, & quarti gradu conii ruuntur per intersecti nem duarum sectonum conicarum, quod in praeientia est declarandum. Paullo ante demonstravimus aequationes omnes in determinatas secundi gradus ad secti nes eoni eas pertinere, easque descriptis eonicis sectionibus ad constructionem perduei. Quare si aequationem tertii, aut quarti gradus resolvamus in du sinis determinatas seeundi gradus, delineatis tectionibus conicis earum intersectiones exhibebunt radices aequationis determinatae.1. Ut haec concip,antur clarius, sint duae indeterminatae π , s , de qwbus Ons et valere has aequalitates m. Habebimu duas aequationes,& duas incognit .s p quare transitus fieri poterat ad aequationem determinat an unam solumodo incognitam cantinentem. Nimirum i . lacunda aequataone tu
stitue pro F ejus valorem - , qui datur ex prima, & prodibit - α ab flvακ quae aequatio determinata naseitur ex duabo indeterminatiL. Quare viee versa area uallanem determinatam tertii graciis x meta b. potero retolum re in duets indi terminat s gradus lecundi, statuens a V αα κ . Ualore enim πη substituto orietur xy m a. En itaque duas aequationes in determina La F NAE,
247쪽
3. Resoluta aequatione tertii, aut quarti gradus in duas indeterminatas secundi, ad eandem abscissam A P, s i.) sumpto eodem obstitiarum initio A delineentur se niones conicae, qui sunt loci aequ4tionum indeterminatarum. , earum interlectionis praebebunt radices aequationis determinatae, quae tot erunt, quot sunt interlectionum puncta. Ita in exemplo adducto ad tangentem A P descripta parabola AM, quae e It locus aequationis να κ κ, tum ducta AN parat. tela ordinatis, & delineata hyperbola NM inter aisymptota A N, AP, quae hyperbola est locus aequat onis habebitur unica curvarum interlectio iapuncto M. Ex hoc ducatur ordinata M P, erit A P radix aequationis quaesit 2. Ratio est clarissima, quia utraque aequatio xym ab locum iis ber non potest nisi in punctis illis, quae sunt tum paris bolae, tum hyperbolae com
4. His animadversis quisque videt, in eo dissicultatem sitam esse, ut aequa tiones omnes tertii, Sc quarti gradus in duas in determinatas secundi resolvamus. Hinc ob rem supponam plerumque aquationes spoliatas esse secundo termino, quod semper lx capite superiore pcstumus obtinere . Incipiam ab aequationibu gradus tertii. Sit resolvenda in duas aequatio Ν' -- ab κ - armo, in quaa, b possunt accipi & ostive, & negative. Fiat κ -ay, Si facta substitutione nascitur 9χ--bπ- fmo. Prima ex h s est ad parabolam, altera ut constru 'tur, pune & proveniet f , quae est ad hyperbolam inter asty
s. In AP sumptis abscissis x, quae incipiunt in A, delineetur parabola M A m , quae tangatur ab A P in A ,& habeat diametri parametrum mah ciliae enim cum ordinat Is facere pessunt angulum quemcumque . Erunt A P
P M Tet Et aequationis a 3 m xx. Similiter inter assymptota I Q, FS, Fig. 3. quae iaciant angulum 1 CS aequalem angulo APM, deleribe hyperbolam, cujus coordinatae N Q, C. e Seiant rectangulum f. In hac sume C Q.:α κ . erit QN α QDemum lecta CD m ii, per D agatur DE parallela assymptoto C Q, erunt DE mκ, E N is aequationis I κ-bκ ff. 6. Ut rite duo loci geometrici conjugantur, oportet, ut lineae abscissarari DE, A P Fig. . eoincidant cadente D supra punctum A. Hoe factum conspicies in f g. 4 , in qua sumpta DC m b in parabolae diametro producta, per pust Hum C ducta est C parallela tangenti DE , Sc inter astymptota I Q , ES de seripta est hyperbola. His effecti a puncta interfectionis N hyperbolae cum para
bola praebebunt valores coordinatarum N, y utrique curvae communium. Si itaque
intersectio sit N, erit NE valor& DE valor rei pondentis κ, quae proindo radicem aequationis tertii gradus sussiciet. Ex hac combinatione hyperbolae, Aparabolae ad inveniendas radices aequationis x -Habκ- affrao, si tam a , quam, sit positiva, quod in fig. q. supponitur, apparet, curvas non secare se nisii iaunico puncto N; qua do re unica erit dumtaxat radix realis propositae aequatio nis . Hoc idem contingit si b α o, atque adeo aequatio propofita sit κ=-a0'. Quod si b foret negativa, Sc aequatio κ - ab κ - a Umo, tum CD se menda eii et ad partem oppositam, ut in fig. s. In hac combinatione ramus par iae DN secat ut antea ramum hyperbolae S N in puncto N; quare habeturu'na radix aequationis DE, & quidem positiva. At quum contingere possit , ut δ' in rami se Icceat, A non secent, determinandus est calus medius, in quo ram.
248쪽
νu bolae Da tangit ramum hyperbolae In . ItaqKe ajo, sese ia vicem tangere pira boum, & hyperbolam, fi suerit parameter parabolae, scilicet a itenim divide CD i , in R. ut DR sit tertia parti& parabolae diametro a
parabolae quam hyperbolae ergo punctum n est in utraque curva. inod autem hoe punctum n su punctum eon factus ita demonstro. Ex n duc n u, quae parabolam tangat, erit Du i DR: erao Rum RC; sed haec ely proprietas ianis gentis hyperbolam' erto nu non m nus parabolam tanget, quam hyaerbolam: igitur curvae istae duae sese tangunt in puncta n. H.s demonstratis constat in ohoc casu am .EL aequationem κ ab Μ - a I mo, praeder unam radicer
DE positivam, de qua supra, habere duas alias radices negativas , 3c inter
se aequales nempe De. Si sit a - , tum parabola praeter punctum N see Ab bit hyperbolam in duobus punct s. a quibus duae radices negativae definientur. AEquatio itaque tribus radicibus praedita erit, positiva una, reliquis negati vis. Si vero a V --, praeter punctum N aulla alia existit intersectio, & aequatio una tantum radice positiva gaudet. S. Si quantitas a ellet negativa, tum deseribenda esset parabola ad partem oppositam, scilicet ad partem ordinatarum negativarum proeedentibus ram .s versus F, quia ejus parameter esset negativa. Quapropter si foret b negativa, aut o hyperbola seraretur a parabola in uno tantum puncto, quod respondet a scissis negativis, ac proinde una solum radix aetativa haberetur. Si vero benset positiva, tum ad determinaadum, utrum unum, aut tria sint puncta intersectionis, eadem est prorsus regula adhibenda. Si autem tria sint, udum pert,nebit ad abscissas negativas, & radicem negativam praebebit, reli a duo sp ctabunt ad abscissas positivas, 3t duas radices positivas sufficient. Ex his omnibus colligas velim, aequatiouem gradus tertii aut una radice mali, aut tribus ornatam euie, quia descriptae curuae, aut in uno puncto, aut in tribus semper se secant. Constat proinde, aequationem tertii tradus saltem una radice reali praeditam esse. 9. H-ctenus spectavimus formulas tertii gradus earentes secundo termino, ut elegantiores fierent constructiones. Ceterum eadem methodo in duas indete min tas resolvuntur etiam aequationes , quae continent secundum terminum ἔquod paucis indicare aua pigebit. Sit aequatio omnibus terminia constans ne
249쪽
pe abfmo, in qua a, b, s esse possunt positivae 3e nega.
tiuae. Fiat κ' an m as, quae multiplieetur per ut sit aκ mans . Facta substitutione orietur m In duas igitur resoluta est aequatio tertii gradus, hoc est Ν-aκ m as, su- b κ α bf. Prima est ad parabolam, quia addito - fiet Μω-Haκ - α . Fac ,3 - ρ, 6 4 q& invenies ει aρ, quae est aequatio parabolae. Altera spectat ad hyperbo. lam inter assymptota, quia posita provenit m bs, quae est ἀ- quat'. hyperbolae inter assymptota. His curvis deIineatis , Sc rite conjuncta puncta intersect onum definient nostrae aequationis radices. Adverte, me elegantiae caussa assumpsiuie parabolae parametrum ma . Uerum si atram velis e nempe adhibe primam aequxtionem nu-aκ gy.Sc opportuais pdraciis operationibus fies voti compos. O. Transeo ad resolutionem aequationum quarti gradus, quas spoliatas iup pono secundo termino. Sit gener1lis aequatio ae -- κ -- f κ- e m o , iaq. quantitates Le, b, e Sc positivae elle poliunt, Sc negativae , imos su ntit a. si arbitraria, quam pro libito sumete pollum. Ad h ne enim tormam aeq. 'tiones omnes redaci pol sunt, quin subeant mutationem. Fiat ID, Μ factaque substitutione orieturs - κ --θα-fe o, a qua Ptraha aequationem κ'- fit m o multiplicatam per m , pcstaque m n, oblid hi ν' - - n. Μ'--ἱ κ mssi se o, in qua duae adsunt quantitates ex arbitra
tu determinandae nempe m,n. Si his quantitatibus assignemus valores diverse , diversae orientur aequationra indeterminxtae seeundi gradus, quarum duae pNix bito sumptae, descriptis euruis, radices nostrae aequationis suificient. λδ. Ut clarius hoc percipias inventam aequationem ordina in hunc modo n
bolam , plenamque resolutionem aeeipiet, fi ponas - presultet ζη bu . In aliis exfibus pone m - ut habe s
250쪽
Prima est ad hyperbolam, in cujus prima diametro sunt aeeipiendae indeterminatae M. Altera est ad hyperbolam, in cujus secunda diametro u sunt sumeniadae. Tertia est ad ellyplim. Quarta nihil habet utilitatis, quia est ad ellusini imaginariam. In his omnibus quadratum diametri, cui sunt parallelae ad quadratum diametri, in qu ι accipiuntur u , est ut ν: l. Si r I, hyperbolae fiunt aequilaterae, Sc ellypsis iraalit in circulum , dummodo coordinatatum angulus sit tectus. ia Ex h s omnibus perspicuum est, aequationcm semper pertinere ad hyperbolam, si ν sit positiva, vel quadrato a prefigatur signum H- , vel signum -; pertinere vero ad eLysiim, ii r sit negativa, quae ei lypsis realis erit, siis' signo - aificiatur, erit imaginaria, si s gnum habeat. Itaque aequa. tio generalis indeterminata 3 -nκ --bκ- -mf9-D o, si n - m m O. est
trorum quadrata sint ut beti, necesse erit ut vel n - m --, vel n-mm .
st 5 Quare ad habradam curvam datae speciei, oportet n - m esse quantitatem d tam vel politivam vel negativam prout aut ellyplim postulas, aut hyperbo iam. Quamquam in superiore aequatione duae existunt quantitates indeterminaiatae n. m; tamen advertendum est sedulo, non eodem modo esse indetermina. tas. Etenim quantitas n ita est indeterminata, ut eundem valorem debeat habere in illis duabus aequationibus, in quas ad inveniendas radices resolvitur αquatio quarti gradus. Nam quantitas n dependet ab L quia n m --: sed flum in aequatione substitutionis κ/ς o, tum in ea, quae statim nascitur iacta subinstitutione, tum in illis, quae prodeunt detracta sermula substitutionis multiplicata perin, eadem sit oportet ergo etiam n eadem esse debet. Quare potes quidem nex arbitratu determinare: at ubi semel determinaveris, idem valor in omnibus est retinendus. Verum quantitas m ita indeterminata est, ut unum valorem habeat in prima aequatione, alium in secunda: imo diversi valores m, diversas curvas producunt, ex quarum combinatione radices determinatae aequationis istis
I s. Unico exemplo theoriam deelaremus. Construenda sit nostra aequation in bκ-D'mo per parabolam, & circulum. Spectemus aequati nem generalem indeterminatam, in qua omnes continentur, nempes' nκ bκ-Ρm D - fe m s. Ut oriatur parabola fiat m ut sit