장음표시 사용
251쪽
puncto D normalis rectae DA erigatur DB m & puncto B agitur indefinita BR parallela DA, erit RV m x αν: igitur BR, R M a.
ruat nostrae aequationis coordinatae X. 3, 3c punctum B initium abscissatum. I s. Coalituamus alteram aequationem Indeterminatam 9- - --ικ--g-I. 9 fc, quae ita disponatur
ig.7. in quo C Q. u Abscinde C H α --. erit H Q. idio CA noraexlem erige m Sc eidem radio parallelam age KL, erunt L N i et foras ' igitur KL, LN erunt x, y nostrae aequationi , existenta Κ abseisiarum initio. Ad radium imaginarium in hae constructiost. fugiendum, ejusmodi quantitas f assumenda est , ut quantitas sub signo radica li posita sit positiva. Duae curvae, satissaeientes duabus aequationibus indete Tn iis, opportune conjungantur posito puncto K in B, 3c linea KL super diu Tum a punctis M, Fie. 8. ubi ei reuius, R parabola se interseeant, demit
sa ordinatis M Q, abscissae B Q. aequationis determinatae radiees exhibebusti, quAE tot erunt, quot sunt puncta sectionis . Quum autem haee puncta nequε tria, neque unum esse possint, constat radices aequationis quarti gradus neqη tres, neque unam esse posse, sed esse vel quatuor, vel duas, vel nullam . o. Si optes eoastruere aequationem quam gradus per duas etlypses, rea ad aequationem indeterminatamas se m o. In hac po sit n m 4, ut f Δg, fiat primum mmi, ut aequatio resaltet 13 - Τημκ- D e ortim fiat m ma, Sc prodibit99-- 1κκ--bκ--1H - . AEquationes istae ambae spectant ad ellypsim . Si optas hyperbolfis duas potu a, sitf g, primum statue m a, ut aequatio oriatur--κκ-
252쪽
2D -μπιος deinde m m 3 , ut altera aequatio prodeat 33 - 1 κ-- - b κ-- fy-D o. En tibi aequationes ad dura hyperbolas. Ex his vides, qua-rram methodo possis aequationem construere per circulum & etlypsim , sive hyperbolam, imo generatim per duas sectiones conicas cujuscumque generis. I . Methodus hae modum nobis sufficit construendi aequationem quarti gradus per duas sectiones conicas similes. Formulas paullo ante inventas ob metulos propono, scilicet 11-m M u. - rauu, quarum prima est ad hyperbolam, quae habet u in prima diametro, si valeat signum superius, habet in secunda diametro, valente signo inferiore; altera vero est semper ad ellypsim, sed esset imaginaria, si valeret signum lanetius In his curvis diameter, in qua sumunturu, ad suam conjugatam est ut i ν. Hoc posito si velis aequarionem construere per duas etlypies limites, quarum diametri sint in ratione a: I, pone primum e m 4,. R proveniet -- uu, ellypsis in qua diametri sunt ia ratione data ..
metri erunt tu data eadem ratione, ae proinde similem priori .. Memento, ' m n - m. Ia factis speeiei ν determinationibus . rem nente n indete minata, determinanda est sola m. Qua peracta ita definienda est n. leus, quae in utraque curva eadem sit oportet, ut neutra et lypsis. fiat imaginalia .ib. Quandoquidem analysis haec tolertiam Irustulat non mcaiocrem, utile arit, eandem illustrare aliquo exemplo, quod sit ex dissicillimis .. Coailru.nda proponatur per duas etlypses similes, quarum diametri sint ut A I , aequatio κ 8 o. Fiat is κ Βη, seu πη - m. o. Qiantitas fea eli indeterminata, quae in duabus aequationibus oportet lit eadem. Fiaci substitutiona fit prim aeqvxtio mutati plicata per m , ut oriatur formul generalia 3 --.κκα--mo --Quantitas - illa est, quam vocavimux. : ergo m*ν. Pone igitur primum-- m m 4 .seu -- -- s.
ti invenies κ s. V ILL - , portune qaadratis in hane mutabitar
253쪽
- . M allypsis si imaginaria necessa est, ut ----- - 8 al
ruod sempar obtinere potamus: n in s f si infiaita magna, aut parva certe
Iis aligendus est valor f, ut non minus haee formula. locum habeat, Raam BD mula numeri superioris. Hanc ob rem ne sincla. Hoc valore supposito utri que formula vera invenitur, adeoque utraque ellypsis realis. At si posuisses 1 et sa, vera quidem esset Armula numeri superioris, at non item formula pinsentis numeri: igitur ellypsis una esset imaginaria, atque adeo frustraretur constructio. Pone igitur iis utraque aequatione sa pro f, & per duas etlypso similes, quas sermulae praebent, aequationem construe.ao. Eadem methodus advocanda est, si ad constructionem uti velis duabiu hyperbolis similibus, quarum diametri sint ut ad x exussa exempli. Fac edim primum - m n m 4, tum -ν - m-nm- . Per has suppositiones, de finitur species m, non autem n , quae eadem debet esse in utraque curva. -Ist specie n vero determinanda. major cxutio requiritur, quam in ellypsi. Nam talis valor atamendus est, ut in una formula quantitas constans, quam V 'vimcs a ' habeat praefixum fignum , in altera signum μ. Ita enim fiet, sit in una nyperbola abscissae κ sumantur in prima diametro, aut in ejus paralle'Ia, in altera accipiantur in secunda diametro, aut in parallela . Quaere si istin una prima diameter ad secundum sit ut x: i, in altera secunda diameter Prit ad primam ut di prima diameter ad saeundam ut a.' I: qua de Nhyperbolae sunt similes. Quod si determinxtio is effiearet, ut quantitas as iautraque aequatione afficeretur eodem signo, hyperbolae essent reciprocat, non ad tem simius, quia quum in utraque κ accipiantur aut in prima diametro, ut in secunda, si in una prima diameter est ad secundam ut 1: i, in altera pri'
254쪽
xt. Huius quoque non ita sicilis analyseos examplum ii assarium videtur. Per duas hyperbolas similes, quarum diametri sint ut A: I proponatur construis
n , quae ita est determinanda , ut eadem sit in utraque aquatione . Fiat ---m m 4,seum m 4- - , 3c ex duabus aequationibus nascitur prima.
mogeneum comparationis est negativum, N posita erunt in parallela primae dia metro; si positivum est, x fitae erunt in parallela secundae diameim.
quae ariter est positiva; quare seeunda diameter est ad primam ut x e t. Hyperhoisae itaque similes non sunt, ied reciprocae. Ut similes proveniant curvae , neis celse est, ut ex duobus homogeneis unum positivum sit, negativum alterum .inum autem quantitas afficta signo - in orimo homogeneo mrnor st qae, ni
in secundo, hoc negativum, illud positivum erit statutadum. Ad hanc rem fiat Dissiligod by Cooste
255쪽
fit, homogeneum numeri superioris fiet m 'a a quod est positivum, a.deoque prima ad secundam diametrum ut 2: homogeneum vero hujus nuae
ri aa - 8aa, quod est negativum, ex quo consequitur primam diain I εtrum esse ad secundam ut a: I. Quare hyperbolae constru ntes propos tam aequa.
tionem erunt similes. 13. Ex facta ana'ysi eolliges, formulam Ν - a A - 2 almo, quae eam termino, ubi M linearem habet dimentionem, posse quidem construi per duas et lyp es similes, 3c per duas hyperbolas reciprocas, non autem per hyperbolas similes, quia, facto calculo ut supra, in utraque aequatione homogeneum compurationis est necessario positivum. Praeterea frustra tentabis aequationem constru Te per du 1 circulos, aut duas hyaerbolas aequi lateras. Qu: a quum unitas sit sui ipsius reciproca, oporteret bis ponere r II, quod eamdem curvam, nolldu s praeberet.
a d ad par4bolas spectat, de quibus nondum loquuto sum, sitis ωνt reducere problema ad duas parabolas, quia parabolae sunt semper inter iasim it s. Revoca aequationem generalem indeterminatam δε α o. Pone m m n, ut parabolam habeas, & ia
venies primam aequationem' bκ mD - fe m o. Quum n debeat esse eadem in utraque aequatione, videtur alia parabola oriri non posse, sed si 14-virtas ad formulam substitutionis ot γε D , aliam parabolam habere te, e gnoiccs, quam si conjungas eum superiore, problema solves. Haee ipsa sermula μκα sy continetur in generali, nam si facias m M , evanescentibus ceteris omnibus terminis remanet m κ- Iactaque divisione per m , t mnet - Ν - - D m o, seu 9md. a 3. In duabus curvis similibus, per qu1s gradus quarti aequationes constra untur, hoc perpetuo obserWatur, ut si in una abscissae κ stae iant in recta hi rallela diametro, in alia κ jaceant in parallela tangenti eurvam in vertice dis metri analogae. Quod si velis conjungere sectiones conicis fimiles ita, ut in am babus abscissae sint in diametro, aut in tangente, nunquam reperies aequationem quarti gradus, sed secundi, vel etiam primi. Iuvat hujusce rei exemplum ponere ob oculos in hyperbolis similibus A M,S M, s Fig. y.) in quibus CP α x, PM 3,CA a, Curae, TS α b, T rad, TR zze m Ν--e, RM α umst d. AEquationes duae erunt κκ-Σζ-bώαν u', speetes ν indiean proportionem diametrorum in hyperbolis similibus eidem eli . Pro 3c scubstitue valores datos per κ. y , ut secunda aequatio in hane mutetur I aere Dee - bb Σαν. 9' ads-dd .
256쪽
Si olorem hune ν substituas in prima aequatione, ut remaneat sola κ, aequa. tionem obtinebis non quarti, sed secundi gradus. Idem tentando cognosces eis venire in parabolis, & etlypsibus fimilibus. 26. Ex his omnibus palam sit, posse aequationem quarti gradus construi per sectionem conteam datae similem. Nunc hucis docendum , qua methodo da. ta curva in constructionem introduei possit. Curva data sit AEBD Fig. io . AEquationem propositam construe per curvam a ebd similem datae, & curvam quamlibet i m. Sectionum similium diametri, sive parametri sint ut R: r . R dices invertae sint hq, haq &e. Sume ν: Re Icg: CG::gs: GF rech: CK: ehb: ΚΗ , & si quae sunt aliae. Demum intellige descriptam curvam F M similem im; haee secabit cur am datam in punctis M, a M, quae sunt analoga pun
radicibus. Hoc modo determinantur radices aequationis quarti gradus per secti nem conicam datam, & aliam quamlibet. Em Quamquam orevitati,& elegantiae servientes ad constructionem perduis ximus aequationes quarti gradus carentes lecundo termino; tamen , fi pigeret hac reductione uti, eadem methodus etiam ad aequationes secundo termino praeditas sese extenderet. Hoc brevissime patefaciam. Sit aequatio κ' - ΑωΤΗ-κ bκ-- fle α s. Fiat D m κκ---κ, & quadrando κ' κ'
tractetur ex ipsa methodo , quam supra docuimus.18. Methodum construendi aequationes quarti gradus per hyperbolam inter assymptota non omitto, quia saepenumero elegantiam habet maximam . Sit de more aequatio κ' Ωκ --s', et O. Ponos se α κν, &fΤerax '; unde facta substitutione κ' fgκκ-Ff b κ Σκ o . Tertium terminum ita scribe
257쪽
fi - , homogeneum numeri superioris fiet α 'a a quod est positivum,adeoque prima ad secundari aiametrum ut 2: II homogeneum vero hujus num
ri α - aa -8aa, quod est negativum, ex quo consequitur primam diam Iotrum esse ad secundam ut a: I. Quare hyperbolae construentes propositam aequutionem erunt similes.
termino, ubi π linearem habet dimentionem, posse quidem construi per duas eclyp es similes, 3c per duas hyperbolas reciprocas, non autem per hyperbolas similes, quia, facto calculo ut supra, in utraque aequatione homogeneum comparationis est necelsario positivum. Praeterea frustra tentabis aequationem constru re per dunt circulos, aut du=s hyaerbolas aequi lateras. Quta quum unitas sit sui ipsius reciproca, oporteret bis ponere r II, quod eamdem curvam, nodduas praeberet.
a . Quod ad parabolas spectat, de quibus nondum loquuto sum, setis
Di reducere problema ad duas parabolas, quia parabolae sunt semper inter stiis simit s. Revoca aequationem generalem indeterminatam --n , --mo - D o. Pone m m n, ut parabolam habeas, & i
ven es primam aequationem yy--bκ mI, - fe m o. inum n debeat esse eadem in utraque aequatione, videtur lia parabola oriri non posse, sed si avi vertas ad formulam substitutionis κκ-0, aliam parabolam habere te, eo gnoices, quam si conjungas cum superiori, problema solves. Haee ipsa formula μκ fy continetur in generali, nam si facias m maei , evanescentibus ceteris omnibus terminis remanet - m κ --m 9 o. factaque divisione per m , r manet - κ' sy m o, seu 9 δ a1. In duabus curvis similibus, per quas gradus quarti aeqvxtiones constr untur, hoc perpetuo obserWatur, ut si in una abscissae κ fitae sunt in recta parallela diametro, in alia κ jaceant in parallela tangenti curvam in vertice diametri analogae. Quod si velis conjungere sectiones conteas similes ita, ut in am- habui abstissae sint in diametro, aut in tangente, nunquam reperies aequationem quarti gradus, sed secundi, vel etiam primi. Iuvat hujusce rei exemplum ponere
ob oeulos in hyperbolis similibus A M,S M, s Fig. 9.) in quibus C P α x, PM πλ
258쪽
Si valorem hune s substituas in prima aequatione, ut remaneat sola π, aequa. tionem obtinebis non quarti, sed secundi gradus. Idem tentando cognosces eis venire in parabolis, & etlypsibus similibus.16. Ex his omnibus palam fit, posse aequationem quarti gradus construi per sectionem conicam datae similem. Nunc paucis docendum , qua methodo da. ta curva in constructionem introduei possit. Curva data sit AEDD Fig. io). AEquationem propositam construe per curvam a ebd similem datae, & curvam quamlibet i m. Sectionum similium diametri, sive parametri sint ut R:ν. R dices invertae sint hq, haq &e. Sume r: Rrecg: CGregs: GF rech: CKerkli: ΚΗ , & si quae sunt aliae. Demum intellige descriptam curvam F M similem im; haec secabit cur am datam in punctis M,1M, quae sunt analoga punctis m,am. Duc MQ, a Mi Q, & habebis H Q.: h q:: R: ν : ergo h q '-;
sed hq est aequationis propositae radix; Ergo etiam . Idem die de aliis
radicibus. Hoc modo determinantur radices aequationis quarti gradus per secti nem conicam datam, & aliam quamlibet. am Quamquam orevitati, & elegantiae servientes ad constructionem perduis ximus aequationes quarti gradus carentes secundo termino; tamen , si pigeret hac reductione uti, eadem methodus etiam ad aequationes secundo termino praeditas sese extenderet. Hoc brevissime patefaciam. Sit aequatio.' ΑωΤ-- κῆ -bκ- - m. Fiat 1, α κα--- ω, Sc quadrandos, - ρκ' κ' se. x Facta substitutione erit f ν' κ μ gκ - b- Τι o, sive dividendo a a A a ' ν 1 perdo 'bmomo, ex qua dematur Ν ---κ-0mo multiplicata quae
tractetur ex ipsa methodo , quam supra docuimus.18. Methodum construendi aequationes quarti gradus per hyperbolam inter assymptota non omitto, quia saepenumero elegantiam habet maximam . Sit de more aequatio Q Hω 'f' ια' 'f'evio. Pono f se α κν, & m unde facta substitutione P --fex κ .f b x 2κν' m o . Tertium terminum ita scribe
259쪽
α13 o. Isaee, s signum superius valeat est ad ellypsim, quae in ei reulvindegenerat, si rectus sit angulux coordinatarum. Si valeat signuα - , est ad hyperbolam aequi lateram. Selitonem hanc, quae construenda eit, conjungamus cuin hyperbola aequationiam κ=, & per earum intefectiones radicea quaesitas obtinebimus. M angulus coordinatarum rectus sit, hyperbola inter assymptota aequilatera est. Quare pro casu signi in serioris eo astruimus aequὲtionem per duas hyperbolas aequi lateras, quod per aliam methodum obtinere non possumus. ast. Quoniam aeqetatio tertii gradus ad quartum reduci potest, eam multiplicando aut per x aut per iccirco per easdem methodos resolutionet L. accipiet. Facta autem constructione una intersectio dabit Νm', si facta tu rit multiplicatio per x, aut κα rea, si multiplieatio facta sit per x a Haee autem est radix addita, quae propterea ad aequationem tertii gradu. non perti net. Erit itaque seponenda, & aliae duntaxat spectandae.
Methodus capitis superiorix construendi aequationes. tertii,& quarti gradus per intersectionem conica Ium seistionum omni dissicultate libcratur ..
I. R D inveniendas radices aequationis tertii, & quarti gradus vfi sumus dua-
A bus lectionibus conicis sese intersecantibus. Adversus hanc mi thodum, quam tamquam incertam accusat, scripsit Rollius ingeniosissime, eidemque o posuit disti ultatem dignam, quae pro virili parte examinetur. Accidere potie putat hic Auctor , ut curvae duae respondentes aequationibus indeterin nat s , in qu-s resoluta est aequatio determinata praedita radicibus realibus, minime tele in te secent, aut saltem numerus interfectionum minor sit numero radicum realium. Itaque si curvae sese interieceat, possum tuto pronunciare, hisce sectionibus rea les radices aequationis respondere; sed non possi1m ex converso affirmare , nullas alias esse radices reales praeter eas, quae a punctis intersectionum determinantur. Hoc primum juvabit inspicere in duobus exemplis clarissimis ς deinde in theoriam intersectionum penitius inquirens dabo operam, ut ab has non so temnenda difficultate methodus liberetur .a. Consentiunt ad unum omnes, aequationem κω - κ. a --θ ab st , praeditam esse duabus radicibus realibus, scilicet καa. x b. Ad eam coninstruemlam sequentem methodum ad voeo LPono xx α aa - νγ ; igitur iacta substitutione provenit aa-99 - κ. a --b-- ab m o, seu a -- b. a X F. Prima ex his est ad circulum , haec ad parabolam ; atque hoc modo constructio perficietur. Radio AC ma circulus D AD F e. i. J describatur; tum par me tro -a--b, vertice A describatur parabola. Hoc modo delineatas habes c u vas duarum aequationum , in quas aequatio proposita est resoluta. Si parabola D A D initio cadit intra circulum, eumque non ibium tangit in A, sed etiam seeat in punctis D, D, a quibus punctum E determinatur ita, ut radices sint C Ama, CE m b. Notum est, contactum A duobus punctis secti nis aequivalere, atque adeo quatuor esse sectionis puncta; quod indicat, utram