장음표시 사용
262쪽
qne radioeni CA, CE bis esse accipiendam,& constructionem inserviretioni quarti gradus κω - Ν.- o. Verum quum radiere binae &. q* - , φ m propositae etiam aeqationi accomo
3. Verumtamen si b a, parabola F AF caderet extra circulum ' ouare prater punctum contactos exhibens radicem CA a, nullum habeo punsum Iectionis. Si ex hoe dedueerem, aequationem nulla alia radice reali ornatam me, nonne laberer in manifestum paralogismum ' Dissicultas augeretur mastis magisque, si assumerem circulum, cujus radius esset utraque radice minor , ut caussa exempli -νst, quia peracta substitutione proveniret -a--- a b m o, aut ais b.
circulo DAD Finx ,prodoeatur C A in B, ut CBm L- , quae est minor non m --b vertiee i deseribatur parabola, quae in s rculum seς bit. Si ex hoc antersectionum deffectu colli Grem, aequa
. 4. Ab aequatione sesundi gradu3 transeo ad aequationem quarti , nempe gaudet sine dubio duabus radicibus
ex qua suppositione oriuntur aequationes duae I. spono formulam
&-. κκ-x by--yy m o. Huic addo primam multiplieatam pera D-κ, & oritur V. 4b, - κy-- o. aequationes duae quarta, & quin- ά seMiones conicas, prima ad circulum, secunda ad hyperbolam. Coastructio ita perfieitur. in s. Rectus angulus emctus a lineis AK, AB bifariam dividatur a recta 2 M tur ABm ab & eidem normalis agatur BC Fie. 3), producaturque donec CP CB AB M 1 b. Inter assymptota ΑΚ, AC delineetur hype bola transiens per punctum D, erunt ΑΚ, ΚΗ, coordinatae κ , ν aequationis quintae. Super diametrum AB describamus circulum AFB, & in rectis AS, Ir habebimus coordinatas x, y aequationis quartae. Tametsi curvae istae duaenuiquam se interseceat; tamen constat, in proposita aequatione laesse duas r2 Cea dicta
263쪽
diees reales ambas m ab. Igitur desectus tran rani intersectionis nes malet
tutum argumentum a firmandi radices esse imaginarias. 6. Quandoquidem methodux interiectionis curvarum est omnium maxime universalis, 3e laepe etiam uni ea ad determinandas aequationum reales radices, 'oportet eam liberare ab hae fallacia, quae ad salsissim, consectaria posset per-dacere. Quamobrem animum advertamus ad methodum, qua determinamus puncta intersectionis in curvis, quibus aeadem est abscissa. Si eadem abscissa accepta ordinatae, quae in duas curvas desinunt, inaequales sunt, patet, ibi non desse curvarum intersectionem; at punctum interlect onis habebitur, vi ordin tae reperiantur aequales r igitur ab aequalitate ordinatarum, quae ad eamdem a scissam referuntur, colligitur curvarum intersectio. Hinc spectantes in utraqU qmtione F tamquam aequales , invenimus aequationem determinatam elimin ta F, atque per radices reales hujus aequationis curnirum intersectiones defini
T. Verumtamen sola aequetlitas ordinatarum non lassicit probandae curvarum vntersectioni. Etenim aequalitas potest intercedere non minus inter duas Ordin iis reales, quam inter duas imag narias. Si vero hoe contingat , nulla existit inter s.ctio reatis, sed quae iam, quam foeare polium us intersectionem imaginammam, quamquα praebere non possunt rami eurvarum, qui delineantur. Quae quum ita sint ad statuendum, utrum eurvae reapse se interlecent, duo sunt oxaminan- ω ἰ primum utrum adsint abscissae, quibus ordinatae re et uales respondeant , d inde utrum ordinatae istae aequales sint reales. Si ambae conditiones istae conjun-Mntur, tuto pronunciemus, interseeare se curvast si uero posita prima condiatione deficiat altera, intersectio aes non habemus, nisi imaginarias. S. Ad primam conditionem obtinendam satis est, tu du.bus aequationibus in determinatis spectare F tamquam unam eamdemque 3uantitatem, tum ejecta eadem y devenire ad aequationem determinatam, quae Iolam κ contineat. Etenim aecepta abscissa aequali radi ei hujus aequation s ordinatae duae duarum cur
varum sine dubio aequabuntur. Valores imaginarii abscissae κ non poliunt sus fisere, nisi intersectiones imaginarias, quare omittendi sunt. Valores reales praebent saepe intersectiones reales, at non semper, quia saepe duae ordinarae πιqaλles provenitant rmaginariae. Ut a dubitatione liberemur, oportet substituere in duabus aequationibus in determinatis valorem α; tum invenire duarum 9 v lores, demum inspicere, utrum ill , qui aequantur, reales sint, an imaginarii. 9. Sed quum haec methodus plerumque regulis analyticis prorsus destitu tur, & quum supponat resolutionem aequationum, quam per intersectionem curvarum inquirimus, danda est opera, ut alia ratione certo cognoscamus, quibusn m in casibus nequeant, quibvinam possint ordinatae aequales esse imasenariae. Hinc ob rem socos partiemur in diversas elasses,& de singulis ordinatim agemus. Sint primum Ioel duo primi gradus, quorum aequationes sint ΑΝ--B3 Cmo l. In his adverto, fieri non posse ut ordinatae duae, ubi aera ΝΗ- by -- c o , quantur, sint imaginariae, quia quicumque sit vitor re lis abscissae N, positus in utraque aequatione, praebet unicum valorem realem. inare ad obtinenda pusiata, ubi loci se interseeant , satis erit, expellere 3. quod hae methodo obtinetur. Dedueatur secunda aequatio multiplicata per B a prima ducta in ut proveniat Ab - Ba. x--Cb -Be o, sive
κ Uri f. Si fractionis numerator nullus sit. intersectio laitio abscisia
264쪽
rum respondet: si trullus sit denomitator, intersemo in infinitum respondet: si
nullus sit & numerator, Sc denominator, loci duo coincidunt propterea. ubique erunt aequales ordinatae. Quapropter methodus construendi aequationes primi gradus per duas lineas rectas, aut per duos locos primi gradus , nulli obis noxia est dissieultati. Io. Transeo ad duos loeos alterum primi gradus, alterum secundi. Ut bt viorem essiciam calculum, assumo speetes q datas per x, & eontantes. In ultimis Q ,ε species κ linearem solum tenet dimensionem; in primis P, ρ potest ascendere ad potestatem quadrati eam. aequatio ad lineam rectim fit
I. Q AF v. Equatio ad sectionem eonicam sit II. ρ - εἴ ina et mo . Quieumque sit valor κ, qvi in prima aequatione su
stituatur, valor unicus 3t non potest non prodire realis; igitur aceidere non potest, ut eidem x reali respondeant i a duobus locis duae ominatae imaginariae quales. Ut calculus perficiatur, multiplicetur persi aequatio prima III. Qs--AI 'mo Ex secunda ducta in A deme tertiam multiplicatam peto IV. As --Aq - . Q. ymo. Duo casus oriri possunt. Primum ut A -admo. atque in hoc statim obtinetur aequatio determinata Arρmo, seu ρ α o. in ali calu, ubi locum non habet praemissa aequalitas, aequatio instituatur inter duosv lores qui habens ut ex prima , & ex quarta aequatione, ut resultet sive A --a 'α .. Si aequatio determinata is
quam pervenimus, sit primi gradux, κ praealta erit uno tantum valore reali, geunum tantum habebitur punctum intersect onis. Si vero aequatio sit seeundi gradus, resolvenda est, & inveniendae radices duae. Si hae reales sint , duas designa. hiant interlectiones reales; si radiees sint imaginariae, nullae erunt intersectiones nisi imaginariae. Quamobrem rutissima est methodus construendi aequationem se. cundi gradus per lineam rectam, & circulum, aut quamcumque aliam secti
Tl. idem pronunciare non possumus de duobus locis secundi gradus. Priumum loci sint ejusmodi, ut in eorum aequationibuL adsit terminus nouau. tem si, & aequationex ita exprimantur P- As' ra o Ex prima multiplicata per a d e trahe secundam ductam in A , ueρ a y mo statim prodeat aequatio determinata a P - Αρ mo, quae ad summum erit secundi gradus. Si hujus aequationis radicest sint imaginariae, nullae existunt intersectiones nisi imaginariae. Sed si radices reales sint, non potes in de deducere, existere intersectio nes reales. Etenim substituta pro κ ejus radimin altera ex aequationibus primitivis, aequatio determinata continens yy est secundi gradus; igitur valor κ potest esse A realis. & imaginarius. Si realis est, intersectio realis, habebitur , sed si imaginar us e it, intersectio nulla. nisi im ginaria. Hoc usu venit in primo exemplo proposito. Idem dieas velim, si itia
duabus aequationibus in determinatis adsit etiam term nus. 3t, sed ita. ut eu nescente Sy ipse quoque evanescat. quia eadem ratio locum habet. Quapropter admodum caute opus est uti methodo construendi aequationes secundi gradus per intersectionem duorum circulorum, aut duarum quarumcumque sectionum conicarum' nam accidere posset, ut aequatio ornata inet duabus radicibus realibus, tametu curvae usurpatae nusquam se secareat,aa. M.
265쪽
Ia. Aecello ad duos locos, in quorum sequationibus praeter terminum yyemnat ita terminus 3, ut destructo sis ipse non destruatur. Porro aquationes sint I. PH-Qy-HA ν' αε 9 α ι Ex prima multiplicata per a demo secuadam muru riplicatam per A, ut oriatur III. a P - Αρ-Ha -A .9 m o. Quum in hac s primam dimensionem toneat , fieri nequit, ut, substituto quolibet valore reali κ, ιν evadat imaginaria. Hinc videtur tuto colligi posse, ordinatM aequale non posse esse imaginarias, atque adeo intersectionem semper esse realem. Sed ab assen u nimis tortasse praeiscipiti cohibeamus, & calculum producamus . Divisa aquatione tertia per a Q-A ε , oritur V
- 13. E mire potest, ut Ap - a P sit divisibilis per ad A I sactaquo
divisione ponamus, quotientem esse In hoc casu aequatio tertia, Scsexta p aesitae erunt communi multiplicatore ad- Aq, quare ambae Verae iunt, s aQ-A zzo, quae est aequatio gradus primi praebens semper valorem re Iem quantitatis κ. verum huic valori respondebit ne una, aut duae intersecti nes reales P Ualor iste collocetur in aequatione prima, aut secunda, di rei olv tur aequatio secundi gradus. Si valores I prodeant reales, intersect ones reales
erunt; si vero valores 9 prodeant imaginarii, nulla intersectio realis, sed am- hae imaginariae. Facta divisione in aequatione tertia, & sexta, proveniunt duae VII. Μκ- N--ymo i in quibus, quicumque si valor π, VIII. P -- --A Mκ--AN. y m o l invenitur 9 semper realis ; igitur intersectio realis existit. Utentes duabus ultimis aequationibus excludamus S, ut mriatur P - A Mκ--A N. - MM N mo, quae est aequatio secundi gradus. Itaque si hac resoluta reales inveniantur duo κ valores , habebuntur duae intersectiones reales I at si valores x prodeant imaginarii, nulla intersectio re
- 14. Ita evenit, si antequam ejietam 3, aequationem qu rtam, & sextam dividimus per a Q.- Αρ. Verum n divisione non facta eliminemus S , nasce
qu tio quarti gradus. Patet ex dictis num. 33, non omnem radicem realem h jus aequationis sumere interiemonem realem. Haec aequatio quidem divisibilis erit per μὰ - λε , atque valor realis x ex hae natus poterit lassicere ordinatass, atque adeo interlectiones imaginarias. Hac de caussa in secundo exemplo Proponto nullae luat reales interlectiones. 11.
266쪽
. Is. Verumtamen nisi Ap i divisibilis per a - A , aequatio teristia, α texta, quicumque sit κ valor realis , praebebit ordinatae 9 valorem re lem, & propterea veram & realem intersectionem Igitur aequationis nonae quae est gradus quarti, quaelibet radix realis suppeditabit veram duarum eurva' rum interseαionam, & quaelibet radix imaginaria indicat, nullam adesse in te sera Ionem realem, sed omnes imaginarias: item contra curvarum intersectiones praebebunt radices reales aequationis nonae, reliquix existentibus imaginariis. Sint non contineret κ, sed seret quantitas constans, nota, non habe locum calum divitoris comunis duarum aequationum, & posse nos tuto affirm
re radices reales πquationis: determinatae, quae oritur. praebere cuIvarum. inter sectiones reales, & vice versa ..16. Postquam certum eriterium traditum est , per quod tuto in pleri seueealibus pronunciare possumus, tot esse intersectiones curvarum, quot sunt radices aequationis Meterminatae, demonstrandum est, in methodo capite superiorianoO;s uiurpata ad construendas aequationes tertii, &. quarti gradus nullum esso paralogismi periculum. aequationem tertii gradus κ' -- ab A af o reisu
vimus in duas ope sub Ilitutionis xx may. ex qua nascitur9κ--bκ. fmo. an Διs duabus aequa tu nibus quantitates multiplicantes by nullum. hibent divit, rem cum munc , qui contineat κ; igitur curvae iliis respondentes secabunt sese ra Lot puiaci S , quot sunt aequationis propositae. radices. reales. Eadem ratio v let ia ae luatione praedita secundo. termino κ'--ax'--abn - ab o, quae is solvitur per substitutionem x. - -κ a F.,
in , pς, picuum est, non habere locum ea sum divisoris communis,& cui libet reali π realem si respondere, Se numerum intersectionum aequalem esse nam mero radicum reali cum aequationis propositae.
13. Sed ob oculos politis aequationibus duabus demamus primam multiplieatam pecus a secunda ut formulam, generalem obtineamus. NX ID
Nos constructionem adornamus tribuentes. speciei m duos valores diversos & eonstruentes duas sectiones eoni eas, quas exhi beat aequationes. Reteata specie m ad unum valorem indicandum, alterum v semus m n, ut aequatio sit 3 -- κ. --bκ- -no emo. Ab hac deme sup
267쪽
x multiplisetur pers, ut fiat F mo. Haec uni ex duabus seperioribus addatur , & nascetur
ultima at multiplicetur per γ - ms, in altera, nempe Ν -Dmo, per sta Iam si locum habere non potest communis divisor; igitur numerus intersectionum
aequalis erit numero radi eum realium aequationis propositae. Hoc modo per ira ditum criteriam remanet probatum, tot esse in aequatione Proposita radices re Ies, quot reales habentur in curvis intersectionis.1 8. Ceterum eadem veritas in hunc quoque modum potest demonstrari cQuum in aequatione parabolae ππ- Ο o, cuicumque valori teali 'abseissae M rei pondeat valor unicus ordinatae F, atque hie realis, manifestum est , parab iam conjunctam eum qualibet ex curvis, quae oriuntur determinata pro libito specie m, hanere Ordinatam realem ibi etiam, ubi ordinatae curvarum aequales sunt; igitur parabola reapse aliam sectionem conicam secat; igitur habetur interlectio realis. Quapropter infinitae curvae, quae proveniunt ex diversiil valoriis hus speciei m, dummodo ipsae imaginariae non snt, secant ur reapse a parabola; Igitur in eodem puncto sese invicem steant; ergo per ipsas tuta obtinetur propositae aevationis constructio. 19. Eodem ratiocinio probares, remotam esse ab omni paralogismi perieulo tum constructionem aequationis praeditae secundo termino, quam capite superi ri dedimus num. 27; tum eam, quae radices exhibet ope hyperbolae inter as-wmptota, quam exhibuimus num. 28. Principia, quibus in praesens usi sumus, nee in nobis preserent in posterum, quum altiores aequationes per altiorum cutis varum interIectionem conitruendas curabimus .
De resolutione analytica aequationum tertii , α quarti gradus.
r. T TTilissima est methodus a nobis hactenus tradita resolvendi aequationes tertii, & quarti gradus per intersectionem sectionum conicarum, quam licet veteres geometrae in problematum solutione non raro usurpaverint, tamen latent aereptam referre duobus Renatis Slusio, atque Cartesio. Verum haec magis geometrica est, quam analytiea, magisque inservit resolvendis quaestionibus geometricis, quam arissimetieis. Quapropter non est praetermittenda resolutio aequationum tertii, & quarti gradus, quam invenerunt Scipio Ferreus, & L dovicus de Ferrariis, quum per illam aequationum radices formula algebraica exprimantur. Noa sum nescius, aliquando aequationes tertii, & quarti gradus polle deprimi ad gradus inseriores adhibitis opportunis methodis, de quibus in Pικι satia non loquimur; loquemur deinceps in libro tertio, ubi agemus de in
270쪽
.Quapropter tres radices eubieae unitatis sunt I,
nem x r in o. cuius aequationis duplex est radix realis, nempe I.& -r
cta isio omuli a o, cujus radices duae ambae imaginariae sunt x - . - quatuor igitur sunt radices quartae una talis . neniape - I. . His praemissis venia ad resolutionem aequationum tertii gradus . Guas semper spectis bo carentes secundo termino, quia ad hanc formam semper reuum possunt. Sit itaque aequatio generalis κ=-- 3aκ- , mo, in qua a. bpos. sunt esse quantitates datae quaecumque positivae, & negati . Ponon mes nquam elevo ad potestatem tertiam, ut sit '
m 3mn .m-μη -n Probinomio -n substituo ei aequalem κ, & omnes terminos transiero,ad unam partem , ut sit - NY - m- o. cujus radix una est κ in m -- n. In hac aequatione unica conditio requiritur, nimirum, ut secundus terminus desit, quod temper licet Odtinere. Conter aequationem inventam cum proposita,& habedis mn a;
' i ---- - Eodem prorsus ealculo determinabis
quationibus euiuscumque gradus, quae ad gradum inferiorem perduei possunt rure methodus, quam modo tradimus, aequationibus illis erit applicanz ouae nulla ratione deprimi possitnt. rt M , quaehri h masinariarum multiplicatione ost 4- realium sint imaginariae. Hoe enit in duabus radicibus cubicis, & bi quadraticis unitatis , quae imaginariae reliquis una, aut duabus realibus. Necessarium est, ut hoc i- D. , Rhit. . r di ea tertias, & quartas, illas quoque uuae imaginariae sunt, analytica sorinula exprimamus. Hanc ob rem statuo primum
I. varia autem divisione provenit aequatio 1ecundi gradus πω - -κ-DI