장음표시 사용
271쪽
sgnum radicate radix intelligatur, harum primae respondet, inveniemus
Novem modis hujustemodi valores combinari possunt. Ut inutiles rejciamus, eos conjungemus dumtaxat, qui simul multiplicati praebent ---, cui vidimus uare m n. Hoc criterio utut palo aequatioms propositae radices provenient , iusmodi. -
o. Ut hoc clarius intelligas, sae advertas, novem radices, quae resultanteT novem combinationibus valorum m , Sc n, convenire aequationi grλdus noni, quae quum sit resolubilis in tres gradus tertii, ieci reo fit, ut tres ex novem combinationibus praebeant radices nostrae aequationis tertii gradus. Ubi reio: tionem tradidimus aequationum secundi gradus aliquid simile monuimus eveniure. Ex tribus vero combinationibus illas elegimus, in qu bus valores m,n fiam ut multiplicati exhibent productum m a, quia propositae terminus 3aπres. pondet termino generalis -3mnx; unde sequitur, mu m a, & valores huic conditioni satisfacientes eos esse, ex quibus propositae aequationis radices co letcunt.
7. illud quoque vel maxime interest advertere, quod prima ex tribus inve tis radicibus semper realis est; reliquae autem duae sunt imaginariae si- a ,3 ι - P sit reali, sunt autem ambae reales, si aut
272쪽
pondentes punctis intersectionis parabolae, & hyperbolae erunt propositae aequationis radi s quare si tres fuerint intersectiones, tres erunt radices reales , si uniea interseetio, una eriti solummodo radix realis; reliquae duae imaginariae. Pon. .s b, -- Aa b j Π f ε .
ti ordinata hyperbolae ergo ordinata parabolae aequalis est ordinaia a fiae hyperbolae, & punctum a V eommunis est utrique curvae. Praeterea demonstra vin s supra, ubi de constructione aequationum tertii gradus, punctum a M in iacta hypotesi esse punctum, in quo curvae lese contingunt quare in hoc casa punctum a M duos dabit valores κ aequales, & reales, unum inaequalem punctum M. Si ponas a' - , erit etiam o a sequare parabola lambit ramum 4 Ao f . hyperbolae in duobus punct. s. habebuntur igitur ia hoc casu tres latersectiones,& tres radices realea. Demum si statuas , Orit . a ramus6 a a fIaM non secabitur a par bola, quare unica erit intersemo in M, 3c unica ra. dix realis r quod erat demonstrandum. ς. Eamdem veritatem demonstratum per serierum methodum oportet con vertere in seriem valores m,n. Pone facilitatis caussa - p, - .s , quequantitas erit negativa si , erit m 3c n . Si utaris methodo, quam tradidimus in libro primo, ad convertendas in series e dices cubicas, invenies
273쪽
ε δε δις. In duabus histe seriebus sae advertas terminos
nentes affectos esse sols diversis. reliquos iisdem. Quare in omni casa fisarum lumin m accipias, habebis
s M., quae vel ε sit positiva, vel
Quantum spectat ad partem primam ---haee, ut docet numerua superior, semper realis est. Quantum pertinet ad alteram, dempta secunda serie ex prima, &d, vila differentia per l, invenies
a s 3 i 11 a stermini carentes o expulsi sunt, & illi omnes remanent, in quibus apparet. Ergo *. imaginaria erit, prout ducta in V -3 est re-
alis, vel imaginaria; atqui 3 est imaginaria, si sit positiva, est realis, si e sit negativa; ergo existente e positiva g est imaginaria , existente ε negativa realia est: Quapropter etiam secunda radix
est realis, si si negativa, hoe est si-; est imaginaria, si ε sit positiva, hoc est si '. Idem eademque
methodo demonstrabis de tertia radice, quae exprimitur per
usus sum eum intersectione coni earum sectionum, tum seriebus, quia pro calu, ubi tres sat aequationis cubicae radices reales, nulla detecta est methodus, per qu3m sine imaginariis radicum valores exhibeantur ; atque hic est casus, qui v satur irredueibilis, quique nou leve negotium fecit veteribus analyliII. 11. Ope aequationum tertii gradus, quas modo resolutas exhibui. resolven dὸ ggredior aequationes gladus quarti . Assumo sormulam generalem carentems cundo termino, ad quxin formam aequationes omnes reduci possunt; nempe
mo. Species b, e, d possunt esse & postivae , ianegativae, imo etiam mo, sed a, quae supplet homogeneitatem terminorum sem Diuilirco by orale
274쪽
per positiva sumenda est. Praeparo formulam hae ratione
completum , cuius radix extrahi potest. Ut in parte altera quantitas, quam a mmultiplicat , ut pariter quadratum completum L oportet, ut quadratuin quinintitatis - . quae est meruientix dimidium, se aequale ultimo termino nimia
itaque m per aequationem tertii gradus, quae resolutae lassicit unam saltem radicem realem. ra Supponentes determinatum valorem m, extrahamus radiees in aequati ne quarti gradus jam praeparata. Inveniemus N '- - a I a m. κ . . L;
ergo M a m --- o; quae formula involvens signorum ambiauita
tem , eomplectitur duo trinomia secundi gradus, in quae aequatiσ quarti est, solubilis. Resolutis porro duobus trino iS inveniemuR quatuor radices aequati nis quarti gradusia1 . Methodus haee ofieri mihi rationem uellem, & elegantem demonstrastis. di, aequationes omnes quarti gradus resolvi posse in duo trinomia realia, tametos earum radice quatuor omnes sint imaginariae. Oa hanc rem adverto, trin mia duo inventa realia esse , si quantitas m sit politiva, involvere imaginaria, si m sit negativa. Tres sunt valores m, quos exhibet resolutio aequationis. c bieae L Itaque ad habenda duo trinomia realia sufficit, ut unus ex tribus valo- ,ribus m sit realia, Se positivus. Ajo autem unum ex valoribus m semper effehujusmodi. Quod ut probem, redeo ad aequationem tertii gradus. a qua dependent valores isti. Haec aequatio ordinata, ut mos est, praedita est ultimo termino assecto semper signo - , quia a supponitur positiva, Sc suadratum ecsemper est positivum, licet e fuerit negativa; atqai omnis aequatio cubica, cujus ultimus terminus sit negativus, habet radicem unam realem & positivam, ut
275쪽
mox probabo I ergo una saltem ex radicibus nostrae aequationis erit positiva.
atque adeo in omni casu obtinemus valorem m positivum. x s. Probemus modo, aequationem omnem tertii gradus, cujus terminus uutimus est negativus, praeditam esse saltem una radice positiva. Radices tres ae- uationis cubicae aut omnes sunt reales, aut una realis , R duae imaginariae. n primo casu assirmo, radices tres reales non posse esse omnes negativas, fioegativus sit ultimus terminus aequationis. Sint enim, si fieri potest, negativae omnes, nimirum χ α - Α ' κ B, Να - C; ergo habrbimus irrubiis nomisatis A, '-B, κ--C, quae smul multiplicata praebent formulam temtii gradus ς atqui binomiorum multiplicatio praebet ultimum terminum-PA BC,.qui politivus est, nequo aequare potest quantitatem negativam; ergo si ultim terminus negativus est, fieri non potest, ut tres radices omnes sint negativae, sed erunt vel omnes positivae, vel una postiva, 8c duae negativae.
Iem positivam else. Si enim potest esse negativa, lit m --A ; ergo .formul tertii gradus erit divisibilis per binomium m A: Dcta autem divisione proinveai et sormula secundi gradus hujus formae in hac, quum duae radices sint imaginariae, quantitas C sit oportet positiva, quia aequatios tundi tradus, cui ultimus terminus sit negativus, nequit habere radices imaginarias. Atqui aequatio haec secundi gradus ducta in binomium m - A. quae de-het formulam tertii gradus restituere, praebet ultimum term: num - AC, qui est positivus, nec ditest quantitatem negativam aevare; ergo fieri non potest , ut radix realis nostrae aequationis sit negativa. Q. E. D.
scilicet m m o, quod evenit, quotiescumque cino, quia in ultimo termino pr venit fractio - , cuius ignotus est valor. Sed in hoc casu aequatio resolvitur ad
276쪽
xq. Quoniam demonstratum est, omnes aequationes quarti gradur resol ipsi. se in duo trinomia realia gradus secundi; evidens est, omnes radices imaginariis ruarti gradus exprimi posse per imaginarias radices secundi gradus. Nam poner ices imaginarias quarti gradus m κ' tum bis eleva ad potestatem quadraticania ita, ut radices expellantur. Orietur larmula quarti Madus, quae resolvi potest in duo trinomia secundi gradus realia. Horum autem trinomiorum retolutio praebeburadices hujus formae ρ - -- a , existentibus ρ, quantitatibus realibus. 2O. Unum, aut alterum exemplum proponamus,' ac primam in radice qua tk qirantitatis - I. Fac Μ α - x ς eleva bis ad quadratum , ut habeas z- - x, sive I mo. Trinomia realia in quae haec aequatio reislvitur, sunt haec Xκ eorumque quatuor radices prodeunt L . - , quae non continent, nisi radices im
ginarias gradus secundi. xx. Exemplum alterum sit in UI - 1, quae, quum si radix secundata radicis secundae, aequivalet quartae. Pone Nm - - , eleva ad secundam
potestatem n m I a seu translatis terminis η - a m Q - 1 ; iterum quadra , ur oriatur κ - Σκ I - I, vel N - Σκ x m o. Ut haec resoruvatur in trinomia realia, oportet ea sumere, quae spectant ad hypothesim e m o. Fam autem bra x, dii, factores reales oriuntur ' Π κ μ 2 a da -- a m α, quibus resolutis sese offerunt qua r radices , quae non continent , nisi radices
imaginarias secundi, nimirum et . - . :
ginaria peri/- i saepe maximam affert utilitatem. 22. Unicum problema arithmeticum per methodos hic traditas resolvamus Invenire tres numeros in continua arithmetica proportione, quorum differenti data sit, simul eum .lido ab eorum multiplicatione produlio . Data differentiam d, datum solidum m s; medius numerus ras, erit minimus my d ,& in ximus msH-d; ergo eorum productum 1 -ddy m s. seu sed d9 -s - οω
277쪽
--. Ponesi 28, d m 3, 27 Invenies S
ι si gl 3i 3 i 3 ι 3. Numeri ergo quaesiti erant I, a, 3. Reliquae solutiones in casu hoc imaginariae sunt. Demum ponamus s m , &d m 3, fiet
Quapropter numeri quasti erunt - , - , - . Reliquae duae radices licet non 3 3 3 sat rationales, tamen sunt in hoc casu reales. Sunt autem
blemati erunt huiusin i - -- , , s 3
Per sinus, & cosinus circulares, & hyperbolicos construuntur
sermulae, quae inventae sunt m resolutione aequationum tertii gradus, A logia, quae maxima intercedit inter eireulum, & hyperbolam aequilat
ram, commovit Vineentium Riccatum, ut in opusculorum tomo primo OR. quarto, parte secunda & spectaret, & in usum non contemnendum trad seret linus, & cosinus hyperbolicos non minus quam circulares, qui jamdiu in gnometria locum occupant. Principia calculi sinuum,&cosinuum circularium qibro superiori a nobis sunt explieata; nune tradenda ea quae pertinent ad bDPφmolicos, postquam Wperbolae proprietates patefactae sunt; tum theoria omnia vitςIita promovenda, os applicanda constructioni formularum, quae oriuntur eXDiuili oti by c
280쪽
resolutione aequationum tertii gradus. ordo jubet, nos discedere aliquantum methodo, qui utitur proprietatibus areae hyperbolicae . de quibus iii Aacundo solum itonis verba faciemus. Quare his nondum cognitis dabimus raram, ut in hunc modum suppleamus. i. Fuperbola aequilare AE. EN Fig. I. habeat centrum C, semiarem pili um EA, unum ex assymptotis CH, quod facit eum axe angulum semit rectum. Ex vertice R demittatur in assymptotum perpendicularis A K, sumpto. que pro primo termino CK, pro secundo qualibet CG, formetur series lineis arum, quae sint in continua proportionς geometrica CK, CG, CH, CP&α, quas ut usum Eommunwm loquendi servemus, vorabimus numeros. Detrita formetur semes quantitatum, quae si ist in continua arithmetici 'proportion. ς haec teries habeat primum terminum secvndus autem sit quantitas qualiabet mi , ut sit o , a , Hujus termini AElcantur numerorum log rithmi ; quare o erit togarithmus CK, is logarithmus CG , a togisithmus GH. atque ita deinceps. Ex stente numera CG logamhmo mn, qutique videt, m
sese log rithmum proportionalis post CK, CG, & -- esse lopa
rithmum primae ex mediis proportionalibus numero m I inter, CK, CG, maeneralios a G. erit togaritharus ex,mediis propoalonal, a ni mero, m.- x inter easdem CK, CG. Praeterea sit - logarithmus CG, loea
si da cilcri s ioserit,inus quartae proportionalis post CK, CGi