장음표시 사용
291쪽
. . Ivit suum nihil illi orari, Nonnemo primori s oeulis sermulam
i eam comparandam ede cum expressione cotaus comoscat statun sinum tiri non indurat, construetionem effa imiamilem . sed per sauri stypit leum edo constru Im. oia ex eo qu'quo porta ras colligere, dura si lecas fi rei uisior vilat
num, ita eam disponamua α cpmparanda est eum sequenti
294쪽
io. Quinam, Se ultinum hypotesim, in qua non minus a, quam ι 'Magativa est, priori similem breriter expedio. Formula in hac provenit hujusmodi
sinus Iogarithini subtripli easdem determinationes praebet, ae in hypothesi sup riori, cum hoc tantum discrimine, quod I b. a. provenit negativus. Quare iamdem hyperbola ad partea tauum negativorumapuli turbin ααρ- sti ducta in assymmotum normali NHia eniatur CR pili du bus proportio libus intra CN, CP, ADtur assymptota iis au GE,A ι aqui aequabit radicem e. Hac m odo expressionea in m , quae n. iiii fex resolutione radic tertii gradus, non sollam utuὶtatem habent in quaesti nibus arit isticis, sed etiam in Mometricia, qtiae tonstructionem accipiunt vel destri di cireuux, diris uet ama ια tres varies aequales ,- descripta. hyperbola ae uilatera , lareat a. laxit duo datas. a bis misi oportio litaria
i. Ultoblema primunt . Inter tias datu Invenire euas medias proporis 'I acer 'linx ex duabusiuediis proportionalibus inter .vocetur N. G2
ditio probleuiatis statim aequationem offert nem --z: - b
X m a b , vae est aequatio tertii gradus. Ut hane resolvas in duas indetermia natas seeundi gradus, pone κκ aν, ex qua provenit κ9 ποῦ ab , quae duae . quationes una ad parabolam, alix ad hyperbolam ita construuntur. Ad ang tuM rectum angulo enim recto utemur, nisi elegantia prohibeat in constitua tur AC, Ad Fig. t 7. Abscinde in prima A C. M a, atque haesari metro ad axem A Q. delia et ursis bola A TΜ. Sua in Hism AB ra ε, de clanio p ralielogrammo A COR inter assymptota A L. A G deseribe hyperbolam Motranseuntem per panctum D. Curvae duae descriptae se in 'M. mPas tuteri gant. Normales rectis AC, AB agantur M P, MQ, Rem 6 P, seu dabit eri α ex mediis proportionalibus later A C. ABaan immo A
295쪽
euametro ad axem AP . Duarum parabolarum interssio M praebebit A P primam, A et secundam ex duabus mediis proportionalibus Inter A RAB. Ad initeniendas tres aequationes, quas adhibuimus, non est necesse deviare ad aequationem determinatam. Nam vocatu mediis κ, F est ad: λ:-::ις ergo statim habemus as . X b Amyιν, s. Si libeat adhibere circulum, hane sequere methodum. Duas aequitiones ad parabolas simul iunge in hunc modum 99 - a9--κα- sive
F o V 4 aeqv tio ad circulum, qui ia hunc modum tonstruitur. Sume CDH - , D Eer 1 fitai ad anguli 'inlunt in D, junge CE, quo radis destrihe eii culum E A B. Parallelam dirme ioA Bdiae E Ρ , erunt E Ρανἰ MPmst: Quare fi vertetice E parametro mώ, ad axem . EP describra parabolam. intersectio Μ parabolae, & circuli dabit EP primam,
MP secundam ex mediis proportionalibus inter a , b. Quoniam an uno tantum puncta Aurv. s. lainat, una runtum est realis solqtio proolematis. q. Prob ema' aeuauum a Direai recta in Mimilis A BC dueere si Neam AC, transeuntem. pert4mum punctum D ita, ut- ex vertice Bedemi
ergo κ' ab , qua formula, ut ex superiore problemate patet, docet, R esse primam ex mediis duabus proportionalibus inter a , b. Hoc idem sine spe ei ebus poterat facile demonstrari. Agantur D P E parallelae. Constat A Qα BP- α APMB . Itaque alo CN, AP esse odas med as proportionales inter DN,
NC BQm AP. Sunt itaque in continua propositione N D, CN, AP.Praeterea B M G N C: M E m A Pe: ME: AP. MCΣ' PD ' ergo sent pari. ter continue proportionales CN. AP, DP .sgitur NC, AP sunt mediaem portionales inter data DN, DP. Quare soluto superiori problemate hoe qumque solutionem accipit, Sc per hujus solationem duae creatae proportionales inis
s. Ad hujusce problematis solutionem ita sine speciosa analysi possunt I et duo determinari. ob lingvium rectani B E C hris E M'α MC. B M MB N. mo Quare si vertim B, axe BC, parametro BN describatur parabola; in hac eumva situm erit punctum E. Similiter ouum si EM: DN:: MC BN:NC BMhabebimus E M. BM BN. N D quae est proprietas hyperbolae inter aliympi ea ς' ergo si inter aliymptota BA, BC describatur hyperbola transiens per l, Hum D, punctum si erit pariter in hac curva. Quare aliud esse non potest, quam punctum intersectionis parabolae, & hyperbolae. o. Sed elegantior tortasse erit sequens lolutio. Iuncta BD deseribatur sise per ip am se a teli culur BED. la hujus peritima jacebit punctum E re gulum rectum BEC. Deinde inter assymptota BA, BC deteribatur hypeiholauissima per punctum D. Quoatam hujus hyperbolae proprietas est, ut ubique
296쪽
E in hyperbola Jaeere debet. Ergo in intersectione hv- Ur Iae, A cireuli: igitur si ab intersectione jungatur E D, quae utrinque pia cat', haec erit linea quaesita. Elegimus potius hyperbolam quam parabolam quia Moerbola inIervit solvendo problemati, tametsi angulus A BC rectus non rit: imo eadem solutio valebit, etiamsi angulus BEC rectus ede non de- orat, in quilibet datus, dummodo supra os ejusmodi segmentum constituatur quod ditum angulum capiat. Quod si AE: DC debeat ede in qualibet rati θη. ata, dyuim in Cap. Num. q. hoe pariter ab hyperbola praeitari: quar cujus, A circuli interbectio solutionem problematis su iet. . Problema tertium. Datum areum in tres aequales partes dividere.' Areus
datus M Pm s me. 3 cujus chorda M N, divisus sit in punctis P, Q, ut chordae M p, PC QN inter is aequales sint. Age radios CV, CP, CN.- λ P Z par ileiam C Q. Quoniam angulus MYψ α CYR PQGCM P, triangula duo CM P, MYP erunt similia: ergo MYm M p eodem modo demonstratur NRi N. Praeterea CM . M P - M PY Tic
297쪽
exqea lure oritur e structio, abstinde F Sm1 π,mist Bor dis ζειας, -- ahae lusistent nostrae aequationis radices duas positivas, unam negytivam. o. Si Melles usurpare in construct Oae circulum datum, nihil faciendum est 'aliud, quam describere elirpsim, aujus axes sint ad ines AD, BE. Mi radi circuli dati ad RL; tum semper usurpatis proportionalibus eodem modo pervgatur constractio; ordinatae. quas intersectiones praebebunt ho* κrgat quidem aequationis nostrae radiees; sed ad has radices erunt in ratione d is rectae R Ladradium circuli dati. Cui problemati inserviant tres .radicea inventae paulis illa
Io. Verum arcum datum in tres partes ita elegantius dividemus. Sit arcus datus ΜPON in tres aequales partes divisus in punnis P, Q,s .oὶ ut chordae M P, PQ, N aequales sol. A pinctis P, dimittantur nortrales P S , T in chordam M N . Fectae MN , ST bilaraam diὐidantur ab eodrin pu Ho D. vocetur DV m a. Ds X, SP αν, erit S Tm PQα MPm an
, quae aquatiis est ad hyperbolam, cujus semiaxis primu seeundus m quae ita mastruitur divide MN iά tres par.
tes aequales MR, RA, AN . Centro A eum primo semiaxe A R m Am ,
δέ cum secundo - .destribum hyrrbola. ius istisectu, P cumcirculo do bit M P tertiam partem areus M N; ex puncto P due PO parallelam MN, di punctum Q. determinabit alias duas tertias partes PQ ,nN. I . Alio modo hin lalntio enuntiari potest. Per punAum D age DA ab malem MN. Foco M, vertice R. directrice DB deicti be hyperbolam , quae secabit circulum in P ita, ut arcus . M P sit tertia par. a is MPQ. Quod ita ce annatur. Iunge M P. Me directrici normalem PB, quam produc in Q. Ex proprietate hyperbolae M R. RD:rM P: p B; sed MR est duνα RD: ergo M P dupla PB; sed PQ est etiam dupla PB:. ergo MPm PQ, cui Ntiam est aequalis QN. Hyperbola ita descripta laveatitur habere centrum in A, & oppositum verticem in N. ' ID HNerbola iseat circulum non solum in puncto P, sed etiam in aliis duobus pulictis a P. 3 P. Quid istae intersemones indirent videndum est. Pu Hum P trisecat arcum datum M PN. Punaum a P tri secat arcum coalestente H inrema,crcvintermitia, & arcu dato. Nam ductis Ma P, a P, Q parallelam N, M aQN, En omnes ex analyseos construmone aliues dedent ἰ ese
298쪽
uat integram circumscientiam simul cum areu dato M p N; ergo singuli erhus areisus sunt tertia para circumsereatiae simit, B: amis dati. Similiter - esum P inservit dividendis trifariam duabus circumferentiis simul eum arta d, uo. Etenim aequales lam chordae M P, s aQ, secunda est parallela MN δ ero . inus semicircumserentia majores MN R, 3 PMad, in MN aequalis erant; sed illi simul sumpti dant duas circumserentias, & aris cum datum M N;'ergo singuli sunt rartia pari donim es minentiarum se aris Icus dari. Ad dirutaminas raraseireumserentias & areum datum, instavis punctum P, quatuor circumseret tiarat areum datum. missurina P, quinquo circumteremias
M arcum datum Minctam εν, -- Mai: inreps. Similiter punctum a Pintre varies aequato partitur circumserrimam dempto arcu datos punctiun P duas citcut rarentias empto artu dato, punctum P tres circumlarentias de to dato arcu, a que ita deincem. Qui re apritet, a quationeis ejusque eonstructionem inservire dia dendis in tres e rimae atra Meuias infulitis. nimirum illis omni is , qui termi nos habent in Gnctis Μ, N qui thfiini sunt mimeto . Dare ,roblema esset graia 1 enniti, aut tralaendentis, ni fi tria puniae, a P, 3 Ρsuecesuve redirent eadem.
299쪽
M eirculum. Constructio itaque visa nascitur. Fiant duo paralles imminet 'AΚ omnino myralia DB, atque inter assymptota CBΚ, ABH destribant in er,ilae opponia: transeuntes per puncta G, I. Deinde cenim radis vecribaturocireulus. Ex p intersecticulis hyoerbolae, & circuli ex. c . M atat ordinarai ME . Ex A per E dqcatue A ED, arit E F-e . Si circulus secet utrimque ramam hype lae, quatuor istutinarairecimet misma. In , .liaea mc posita erit intra anasum B , in attram intra angulum DC M. in aliis intra angulum A BL. Primae duae quaecumque siti linea semper possibiles sunt. reliquae avadunt saepissime imaginariae, quoties virealius a secat ramam transeuntem per . . mcinultu tangit. hype inviam . duae coeunt in unam, ia duo erunt valores a rao nemiis , qui missumes .est intra male..ti imaginariam. λpua a I '
tuor esse solutiones reales P en, - - reales, duas imoaaria'
17. Problema ouintum . Simer da
300쪽
Triangulum CBE est sinite BDE; ergo CE: CB::BE. DB, sive analuti
sed propter triangulum CDB isosceles
ex qua prodit aequatio tertii gradus κ - αελ - a N '- a ET P. I s. Ad ,conii Maendam aeuirationem utar una eademqhe parabola in drabia
metro a, describatur eadem pronus sarabola, quae transibit per punctum M re ALe-L4 emnu eoordinatae ., u aequationis ΡΗ -- EAE narabolae istae duae secabent sese in punctis I, 1 I, 3I. quare trea erunt radia
c cadet extra parabolam jam deserisiam IV t e Κ lax.
Parabolae istae duae secabent sese in punctis qu re mu ra
satria, M aliquantum a; tertia positiva lariter Ma , omnM autem LM
en ad GR ue: II . Ad detegendum triangulum, quod lassicit radix altera