장음표시 사용
322쪽
transformationem obtinere, ut aequationis terminui dat dato assiciatur messiciente, quod non o ponendum est . Nam facta substitui: ne eliminatisque divisoribus, pone coemetem dati termini' aequalia. datae quantitati, Se resoluta sequatione determina valorem n. Sed si resolὐenda. O v/xi pδ' , valor.n provenit imae artus, & operatio Iurbabitur. Ad exemplum unicum propono aequationem ' Facta substitutione, Ara 2-st, ejectisque divulatibus, oritur P an an '-- an -n 'mo. Si velis secundum terrilis itum habere coefficient
terminis aliis. aequationis in aliam, cujus radices sint reciprocae eo vertit primos aequationis terminos in ultimos, & viceversa . inare' si Muati tareat penultimo termino in aliam transmutabitur, quae carebit secundo . Su,
titutio adhibenda est κα*- , in qua Apro libito potest determinari init aequatio
η 3κ -' ΑΝ - 2 o. Uteas substitutione inveniti
- - amo. Multiplica per , divide per et, Si inverso teL
minorum ordine, omnia signa in contraria converte , ut nanciscaris
s A F 'quae caret secundo termino, quum proposita earetat penultimo. Rare a Dactionibus libera erit, si A accipiatur num erus par. qui fit divi ubilis per a. . Omnes istae translarmationes utilitatem habent in rednctione aequati num. Nam saepe aequatio , cujus reductio dissicultatem habet maximam & la. Prem poscit improbum, ii opportune translarmetur, negotio facili red'ucitur. Reduci aequationes Micimus, quum resolvuntur in duaτ, aut plures gradus inse
rioris. Ita reducetur aequatio κ- . - β. x a b κ' a b. eL - e in O, sitavatur in duas seeundi gradus nempe I ax - ee m o, ML -bκ- e cras. Vonstat autem aequationem semper esse divisibilem per. singulas earunt, in rei olvitur. Seg quoniam reductio aequationum & maximi momςpti est maximae dissiduitatis, nisi hodi aperiendae sunt, quibus,quisi fieri sistest, votieon potes emciamur. Ac primum loquamur da reductione per factores simplices r
Ad hane t em meminisse oportet, ultimum terminum aequationi et esse . productum ex secundis terminis omnium si orum simplicium ex quibus, aeq-
323쪽
tio componitur. Quare s aequatio diviserem habet linearem, hie constabit ex incognita addito, demptove divisore aliquo ultimi termini. Quapropter si omes divi Iores ratiopales ultimi termini iaceniantur, Sctentetur aequationis divisio per incognitam additis, demptisve hisce divisoribus, palam fiet, utrum aequatio habeat, nec ne divisorem simplicem, adeoque radieem rationalem , ac propterea hac ratione resolvi possit. Ad exemplum ponatur aequatio 3
Video, ultimum terminum alios diviserri rationales habere non posse praeter I, 3, qui ou. tam lignum quam est praefigandum. Per quatuor itaqus --res tentari potest. divisio α-r, ω - 3, κ-Di, κ--3 . Per duos ultimos fiastra tentatur divisio; per duos primos divisi. completur. & utraque civili ne iacta remanet κ - ergo aequatio coalescit ea tribus factoribus μ-I, -I', &itrea habet radices rationales mi, π I, π 1, qu rum duae sunt aequales. Verumtamea si nullus sit factor simplex , qui conflet ex in annita addito, demptove aliquo rationali divisore ultimi termini, evident est, aequationem nulla praeditam esse radice commensurabili . Adverte, quo eXpediatior fiat methodus, aequationeae fore divisibilem per factorem linearem, quoties hujus secundus terminus mutato signo pro in gnita substitutus, praebet tuminos omnes ex contrarietate sighorum sese elidentes. 9. Adversus hane mathodum sese os bri dissieultas, quae primo intuitu via detur m x ma. Si aequationis radix, seu secundus uti oris terminus non sit numerus integer, sed fractust qua rationa tentando inveniri poterit, quum uixi tei minus per infinitas fractiones dividi possit Sed hane dissicultatem tollemus , si deinoostreinua, in AEquxtione, in qua nulla sit fractio, non potis valorem in cognitae esse fractionem. Hoc ostendam in aequatione secundi gradus, ex qua progrediar ad superiores. Sit aequatio 'κκ-Haκ--bmo in qua a b non lint ir
Mi. Si fieri potest valor κ sit hactio- ; ergo iam substitutione habebimus
debet esse numeriis integer; ergo - a me debet esse n, aut multipla n. sit. yn; ergo - mfn a; sed hic ast numerus integer; ergo -ast integer, qaod
est contra hypothesim . Simili modo in aequatione tertii gradus α'- - adH-ώκ emo, ubi nulla est stactio, sit κα -οῦ ergo
est nanisma Intuer; ergo necessario--b erit Rultipla na. Sitfn; ergo
324쪽
igitur -- a multi pia n. sit gn; ergo gu-a; igitur - est numerus integer contra hypothesim . Quisque videt , progressum hune de monstrandi eodem modo extendi ad aequationes quarti, quinti, & superioris gradus. Constat 1gitur radicem aequationis, in qua nulla sit fractio, Dactionem esse non pota Quae quum ita sint, hoc uniee evincit dissicultas, di Helle esse invenire fies orta rationales aequationum, in quibus continentur iractiones. Verum istae per me. thodos paullo ante traditas transformantur in aequationes omni fractioae caren. tes. Ad rem nostram redeamus. - ς
aggredietur. Ses s plures fuerint, ut aliquando contingit, multiplicium cale lorum labor aeo Improbus, ac molestus ev dit, ut quemlibet analyllam valeatia opera, ut methodi patefiant. quibus inu es cogn2scentur. & ealsuli solum in quam paucis anni tuantur. Si formula A. cuius incognita eri dic, habeat tactorem linearem advertendum est sacta monumerum: an que in aequatio A convertitur, fore divisibilem per b a. Uta formisa ω - κ --π- ro, quae habet factorem simplicem κ a . si ponatur
E' hac alli madversione colliga, in aequatione habente pro iactoreκ-- . si fiat κ o, debere esse a divisorem ultimi termini , quod supra monitimus r si fiat κ ἔ, numerum in quem mutatur aequatio habere divisorum a ' demum dia hat Μ m -a, numerum, qui resultat, habere divisorem Ouinia quidem numeri I --a, a, - - a, ita sunt affecti, ut primus secvndm se tuadus tertium unitate superet, proclive est cognita , nullum ex divisoribus quos praebet sup insitio Ν-o posse esse quaesimam numerum n, nisi aliquis ex divisoribus quos tussicit luppositio κ ἔ, superet a unitate, δι nisi aliqujs ex itieriterium adhi. 'beas, multas divisiones inuti ira effugies, dum inquiris radices commensurabiles. v. inter diviserra ultimi termini, seu qui oriuntur ex suppositione καo ni res.suerint, qua hisce conditionibus praediti sint, pone κ m a . R obserua aulaam evisores orti ex hac suppositions excedant unitate illos, qui oriunt ἰr x suppositiooe N I; qui enim hanc conditioaem non habent, sunt excludendi. Ceterum memoria.retinendum, singulis divisoribus praefigi posse non minus Gata. Ut theoria haec usui fiat familiaria, aliquot axemplis: illustranda est. inquiro radices commensurabiles aequationis x - 1κκ raκ - σα o. Iaci. I -
o; ra suppositione N I , sormula fit 3, in suppositioue κ α - i fit numeros scribo in columna B. In hac operatione negliguntur . Numerori ruta , qui in 'enti sunt, divisores omnes scribo sub in nus post alium . nempe numera odivisores sunt I, 1 La , cs. atque ita de alim. Viaeris , utram in divit 1 a ribus
325쪽
ribus suppositionis καo sit aliquis, eui si addatur unitas, inveniatur indiviseri bus sit sitionis κii,& si unitas detrahatur. inveniatur in divisoribus suinpositionis x α - a. Invenio duos, nempe 3, & -3. Hos scribo in D simul cum divisoribus aliarum suppositionum, qui implent conditiones requisitas QPr
ter duos hoste nullus apparet. Rejectis igitur ceteris omnibua, unice peras 3 divisio tentanda est. Si optas cognoscere, utrum ambo factores, an unus tantum sit utilis, pone κma. Formula fit in , in quo continetur factor s, qui superat unitate quatuor, Sc - 2, qui superat unitate 2. Haec itaqu*. suppositio neutrum exeludit. Pone x sormula fit io, in quo numero continetur quidem divisor i, qui deficit unitate a a: at non continetur s , vi unitate est minor quam Excluditur ergo tamquam inutilis factor κ 3.3c solum tentanda divisio per κ--3. Facta vero divisione remanet κ'-sκ-- T. AEquatio igitur proposita in duas resolvitur κ--3 mo , P 3κ 2 ohabet radicem rationalem κ α - 3. ,
13. Exemplum alterum praebeat aequatio α' Σα - , C
Exordior a sumositionibus, quae eontinentur in columna A , R dint numeroseolumnae B. Horum numerorum divi res omnes eontinentur in C, ubi adve tendam est o habere tamquam divisores numeros omnes. Sex sunt numeri, qui implent conditiones requintas, qui notati sunt in D simul eum divisoribus f Derioribus, Se inferioribus .a quibus differunt unitate. Aliqui fine dubioe lautiales sint oportet. Quare ponamus και, & formula evadit 1 . Primus, se n. dus, quintus ac sextas anmerus non exeluduntur, quia in 24 inveniuntur di via . R es L. 4, - , ο οῦ at secundus. & quartus excluduntur, quia in a* iuveniuntur divisores, O, s. Si poneres π α - a , sermula evaderet omnes quum omnes divisores contineat numerum nullum potest e ludere. Si res N ῖ, - 3, nullus ex quatuor exeluderetur. Reapse aeq.aclo' est 'divisibilis per quatuor factores κ 3, κ - 4. & habet 'uatuor. radices rationales π l, κ a. m m 3, κα-4. Quotiescumque ilarmula per aliquam suppositionem evadet mo advertendum est, in ea suppositio, 'radicem aequationis contineri . 'Ita quoniam proposita aequatio ' in dupli*i ii inpositione est dit mo , nempe καx, α - a, radices aequationea .sunt I',
r3. Ad exemplum testiuae proponatur aequatio m ' ' . .
326쪽
ouae notatae sunt in A., inveniatur Did fixe formula. Hoc autem indicat columna B. N meroriunetinventiintur div res omnes, ut fa-- 3 Σ - ω s l est in D noto omnsa divisores m idiae lineae, quibus in linea superiore est divisor major unitate . in inserior 'minor. Sunt autem quatuor. Praeter hos ceteri exclusi remanent. Ut ad pa ciores redigantur, pone Nm . Sc sermula fiet m. Ut primus di Wii or' valeret, deberet ρο habere pro divisore ci; quod quum non accidat, Nimus nummus e eludatur. Ut valeret secundus, . deberet so esse divisibilis per sἰ quod 'quam . fieri non possit, etiam seeundus excluditur. in reliqui valean ν, necesse est, ut m sit divisibilia per & 8: dividi autem potest per utrumque . D vide sitaque aequationem per edios factore1 S, κ-6.. Divifici completur, & traque peracta remanet formulam'-κ'--Μ acteo. sapare aequatio propoliti rei oιqitur in tres duas lineares; & unam gradus tertiis & hkbet duas radices. commenturabiles. nimarum X s,Am 6. ι . Postquam rationem docuimus inveniendi fictores simplices rationales a quationum cujuslibet gradus, si adsint, postillabit nonnemo , 'ut etiam Actores rationales secundi graias inveniam; nam quum aequationum secundi grad. is res lutio sit in mun-- maximam haec theoria praebebir utilitatem. ponamus eae iactorem ration lem sarmulae datae; seu . quod fidem est eius ei uidem formulae divisorem exactum .. Si fiat mo, pateas est in aequationanimi remanere praeter ulti num.terminum, & in divisore remanere tam tummod -- a. Igitur pecelle est a esse unqm ex diri foribus ultimi termini. S. si imm εω divitot evaden i qui est divisor numeri, in quem conqeleti titu formuli iά e dem suppositi ope. Igitur hujus numeri divisores omnes inveniantur,. a iisdem affectis tam signo - , quam dematur unitas. in numeria, qui prodibanto sontineatur oportet numerus bH- a. Simili modo facta, di Wilan evadet qui dividet Minerum, id quem in s E a. lappositione formi mutat M. Dumnia tui ergo, Mivisores harus numeri, ab iisque mutas detrahatura. In num i , qui . i*ven in iston, existet numerus - --- . . ioniam a eli me H ad insutica inter b--a, - bina, sequitur, in tribus seriebus, quae continen v numeros ε--a, a, - b--a, em latuum numeros esse. Considerandos . qui sunt in arithmetica progressione. Ex numerjs tribu arithmetice propolis inalibus, qui respondet suppositioni κα- accipiendus est tamquam a; qui ve- , o responaeti *ppositioni re m a accipiendὴλ tamquam b-- a. Superior abi λα' trahatur A renisaebit .h. Substitue hos valores id tνipomio m e --κ a Sc -- iactarem, per quem tentanda est dirisio, qua si compleatur, habebit unoebationis i inqσ. rationalis secundi gradus, qui quaerebaturia tis. Verum si plures babeantur numeri arithmetice proponio naso responden- ' in suppositionibus καa, κmo, κ--t,no divi num multiplicit; anath deterreat, aliae sippofitioris sineadae eruat, - δ, κ 3, veh
327쪽
mma, κ - g, per quas inutiles numeri excludaratur . Pone caussa exempli Ν - , π 3, trinomium evadet 4 -9-3b Hs, Per quod erit divis bilis fominia, s in ipla quoque fiat substitutio. Igitur ex divi loribus hujus arumeri tam positiva quam negative acceptis facienda en detractio 4, ς.3e 1nvenientur humeri, in quibus - 2 -Da, - 3b - a 4ebent contineri . Hi autem quum sint termini progressionis, a, a, - b--a, - ab Ha, 3b-- die. , evidens est, illas tantum progressiones utiles esse polle, quae in novis suppositionibus habeat terminus, qui consequuntur. Ceteras omata tamquam inutiles
Id. Exemplum.primum praebeat aequatio quinti gradus
- in . ' numerorum invenio divis
res omnes, quos, pono. in C. in D pone suppositionum quadrata. Ex singulis divi-sbribus lumptis tam sistitiWe, quam negative fac demas haec quadrat , R provenient numeri , qui scripti sunt in E. Vide quot series arithmeticas possint habere in tribus lineis, quae respondent tribus lappositionibus . Quinque dumtaxat sunt ros scribo in F. Seeundum scribe hi trinomio pro a , primum dempto secun . o pro ι, & habebis quinque trinomia, per quae tentanda est aequationa di
' Verum ut a tot molestis divisionibus liberemur, fiat nova sup) stlot a. Formula evadit iis . maiis numeri omnes divisores selibantui in C. . Ab his tam praefigendo signum --, quam - , detrahatur quadratum suppositio nis 4. & numeri qui proveniunt scribaatur in E. Ut prima series arithmetiea
valere possit, in his debet reperiri II reperitur,' ergo non remanet exclusa. Ut valeat altera, deberet apparere --7; non apparet; ergo excluditur. Exelua aitur tertia, quia non adeli -ar, quarta, & quinta non excluduntur, qui adiunt numeri ---3, per quos producuntur progressiones arithmetica . Ut Miiquas eacludam ex tribus, quae etelique sunt, utor nova suppositione παπ Per quam 1brmula eonvertitur in numerum x 4 , cujus divisores omnesp hisenio,& eo loco in C. Ab his sumptis eum positive, tum nemiue demo quadratum suppositionis ς, A proveniunt numeri, qui a rent in E. In his , ut prima,& u: tima series valeant, debet inesse H-a, - 4; non adsunt ergo series illae . excluduntur. Ut Meat quarta, debet iael se aa; adest pergo series haec, qarion uore i teat ara est, ita et a -3, & b M o 3 3; valores post-
328쪽
ti in triamio dant κ - 3 κ - 3 . Tentetur divisio , qua peracta proveniex' sκ- . AEquatio itaque quisti gradus in duas resolvitur rationales, aruteram laeundi, aIteram tertii gradus, emps κ --3κ - 3 m o, ω --aκ- πια I8. Secundum exemplum praebeat aequatio
In B serius numeros, is quos eonvertitur somni a hi sim.gulis suppositionibus. Horum numerorum divisores collo ceatur in C. Cόntinet D qu1drata su olitionum. A fi pulis divisoribus negative, & poseive acceptis decis qwaratum suppositionis, 3e qui . umeri exurgitat seribo in E. Observo an habere possint eombinationes numerorum aritht vice μωροα onailum. - quorum unus fit in prima linea, alter ia secunda, tertius in rertia , atque irat deinceps. Invenio duas quas seribo ia F. Superfluum est, efficere novas suppo stiones, ut gna excludatur: nam suum sermula sit quarti gradus . s g iudex uno factore secundi gradus rationali, g udes etiam atrem. Et prima letae coru
ligimus a ms, Io-s m s : ergo nascitur trinomium re --sκ-- P. M. secunda sequitur arax, brax-i α ι, unde secundum trinom um IH - .Reλpse si unum per salterum multiplicetur , redit sit mula proposita . Q uarc . quatio resolvitur in duas rationales secundi gradum. 19. Supposuimus hactehus primum aequationis termi sum omni eoefficientia carere, si unitatem exeipias. Quod si alio affectus sit coeffieiente, liceoit per hoc dividere aequationem, tum eamdem tra uormare in aliam tractionum e pertem, deinde ad inveniendos factores rationales uti regulis exponi: s . Sed si molesta est haec transformatio, principia traditae huic quoque casui applicari poses t. Incipiamus a divisoribu& unius dimensionis. Formulα datae fit iactor m N s. Si ponas κ successa ve aequalem a , I, o, -- F, -a; hic iactor madet m a, a, - n a, - m--a, quae uat in arit metica progressone, is qua haec advertenda sunt . Omnium terminorum differentia m est coefficiens mei et re in factore. Eadem clim rentia m debet esse divisor coefficientis prun1 Umidi sermulae propositae. Quantitax a res adeo suppositioni κατο est iaet tis secundus terminus. Demum termini progredion s .ithmeticae erunt divit res formulae propositae, si in ipsa pro ae successive iubstituatue A, I, - A. His anima domis, quenim quaerendi ianv divi liues lineare , ia ritu lumna in pone suppositiones in seeunsa columna nurneros, in quos propos in formula co vertitur hi singulis sippositionibus. Horum namerorum s eois divi lares, omnαω
329쪽
fieiens primi termini propositae est 4, qui b1bet tres divisores, nempe I, 2, . Si eligam I, nequidquam res tentatur, nullus enim obtinetur iactor secundae dimentionis satisfaciens. Assumamus a, Se in D scribantur quadrata suypositi num multiplicata per x. Hi numeri detracti a singulis divisoribus positis in Caeceptis tum positive, tum negative obtineo numeros notatos in E. His seduis Io examinatis unam dumtaxat invenio progressionem arithmeticam, quim seriis bo in F. Hujus numerus medius -Il respondens suppositioni o ponatur in trinomio pro a. Ut habeam b demo , - II ex - habeo b m 8; ergo tri-nomium fit a x-8κ- II, per quod si dividatur formula, exurgit quotiens
α . Si quaerantur iactores formulae, quae quintum gradum non superent. si existant. semper invenientur per methodos extrusitas. Nam si sermulae istae e rent factoribus gradus primi, & secundi, nullum habere possunt factorem gradus tertii .. Sed si formula ad sex, aut amplius dimensiones ascendat, poteritis,pe resolvi in factores trium, aut plurium dimensionum. Methodus inveniendi nujusmodi factores innititur iisdem principis s. Sed quum caleuius longus sati fiat, ac molestus, neque magnam habeat utilitatem, ad utiliora progrediemur. .a . Quae tradita sunt hactenus, pertinent ad aequationes numericas, qu rum fa ct res rationales determinantur. Nunc de aequationibus liter alibus. Aeprimum aequatio praeter x includat istum a , atque ita, ut in singulis terminis summa exponentium Μ, & a sit eadem . in his res est nullius ne stolii . Natria pone ama, tum aequationis numericae, qu' provenir, inveni fa Aores ration les. Si sint lineares secundum terminum multiplica per a , si sint secundi gradus, multiplici secundum terminum per tertium per a a,& habebis saetores qua
stos. Sit data aequatio Μ-- l7 μ - Iaa Ponet ara I, lit ex urgat aequatio numerica κ)- - , -I X-I1mo. Haee, ut lex regulis traditis rognosces, habet factorem simplicem π - 3 ,' ergo proposita habebit saetorem
quae praedita est fictore duarum dimensionum a re sκ-3ἰ igitur proposita erit praedita factore 2κ--sa -3aa. α s. Quamquam in aequationibus illis, qnae praeter x duas literas a, b, eon. tinent, utens iisdem regulis. potes obtinere Lictores fimplices, & duarum di meain sonum, tamen aliquot ara incia analytica, quae quasi non vocata sese osseiunt, . te voti compotem expeditius efiicient. Inquiramus primum, utrnm formu.a h beat factores, qui non contineant nisi duas literas ex. ca. x, a. Quoniam bin iactore locum non habet, nihil conferet divisioni, 'ergo divisio aeque perfici poterat, tametsi sit b m o. Deleantur itaque termini omnes, in quos ingreditur ι; quae residua est sermula, eumdem factorem habebit: idem igitur erit divisortum quantitatis residuae, tum integrae, seu, quod idem est, eorum terminorum, qui deleti sunt. Quapropter si inveniatur harum quantitatum communis divisor maximus, obtinebitur factor quaesitus ex dilabus literis coalestens, cujuscumquasi dimensionis.
330쪽
. 16. Ut'theoria aliquo exemplo fiat clarior, sit aequatio axa'se' -- ga κ a b o, eujus inquiritur factor contans ex solis isti .ris κ, a. Sepone terminos, in quibus adest nempe abbκ--a'b'; remaneat
sduae, inveni divisorem communem, qui est κ- - a' hic erit sector proposii He. Similiter sit aequatὶδ κ)- ax' 'oaaκΤ- ab α -- abbω. 1 a 4ω - a'κ- χ ab κ . sepone terminos, ubi adest b, hoe est se mulam A. - a b κ'--abbα -- α' - ιοΤbκ ha b & reliqua . est B. xy-4aω' 62κ au . Duarum formularum A, B inveniendus est divisor commuais. Formulam A divide per & sepone terminos, ubi in huc locum habet, hoc est C. a b ω - Σὰ'4κ--xa'b, 3c remanet D. an)-Paa κω- . Idem divisor debet esse eommunis etiam sermulis Ce D. H.rum BD mularum divisor est κω - χάax- et aa. Inquito, utrum dividat etiam forin Iam A. Divisio pei fieitur ergo. ω' 1aκ--ia a. est factor aequationia Propo.
T. Nunc vero spectemus formulam ex tribus litteris κ. a, b constantem, quae Rut nudum habeat laetorem ex duibus tantum literis compositum , Ut, si b4bcat ab eodem fuerit liberata. Quaeramus ejus factores un:us dirum nis, . tribus lueris. Factorem hujusmodi exprimo per m π--n a- P b Si succeiiive fiant a , Μ, b-o, factor in tres mutatur m -ρb, ποῦ'-ρbs m 'Hua. In his terminus quilibet his reperitur; nam si spectu primum, termi-ΠM appa et etiam in tertia, & ρέ in seeunda. Ita de alias Praetcrea earum lumina dat duplum divisoris integri . Nemo unus non videt, tr s tormul am H ρb, va - ρι, nix --na dividere sermulam datam, si in i pia iuccessi-Vς 6λM AE, N, b o. Quare ad inveniendos divisores simplices formatae propins IM, iὸς successise a, x. b o, Sc adnota tres formulas , quae 'exurgunt i tribus iuppositionibus, quae duabus tantum literis constabunt. Harum Omniumilis invenias divi lores omnes simpliem duabus literis .constantes . Ex nu eligeirς , quibus infit conditio supra posita. ut quilibet unius terminus in aliis duo- . - b eperiatur. Si hujusmodi invenies divisores, dimidium eorum summae fa est xςm simplicem sormulae pr8positae exhibebit . Si ad inveniendos tres divisseres eu rum litorarum, qui impleant eonditiones requisitas, necesse est, in aliquo utri-uiqvς termini signa mutare, id omnino riciendum esse .constat, quia quae qu a litas aliam dividit . dividet etiam mutatis signis