장음표시 사용
314쪽
aequationem, in qua κ potest singulos hos valores obtinere a, b, e, d, e . Ex hac sequentes tiroprietates deduca tur. Primus terminus nihil est, nisi incognita et ta ad potestatem expressam a radicum numero ; unde sequitur tot esse radices, quot sunt unitates componentes maximum exponens incognitae. Secundus ter minus continet incognitam elevatam ad potestatem unitate minorem , habetque pro coemetiente omnes secundos terminos factorum simul sumptos, sive summa in omnium radicum mutato signo. in tertio termino exponens item unitate mi, nuitur, ejusque coeniciens eii tum ma productorum , quae fiunt ex binis seeun-d:s termin s factorum, seu ex binis radicibus. I a. quarto potestas incognitae gradatim minuitur, 3c eoefficiens est aggregatum factorum, quae coalescunt externis secundis terminis factorum, sive mutato signo ex ternis radicibit, . atque ita deinceps usque ad victum terminum, qui est productum ex oninibus seiacundis terminis factoriam, sive τὰ di eum, si harnm fgna mutentur . In tertio, quinto, cemisque terminis imparibus non est necesse mutare signa radicum, quia quum numerus earum, quae in sese ducuntur, par fit, vel mutetur, vel iis nem retineatur lignum, larium idem, eodemque signo affictum exurgetia Proprietates istae maxime lecundae sunt, & facem praelarunt in multis inqu sitio nibus. 3. Ut harum pri,prietatum fiat usas, necesse est ordinare aequationem m. pectu incognitae, ita ut terminus primus habeat pro coefficiente solam unitatem, R reliqui gradatim collocentur omnes ad unam aequationis partem . Sic, quis terminus desit, non eit omittendus , sed numerandus facto e meienta o. Si secandus terminus desit, oportet ut secundi termini factorum, sive r dices omaes simul sumptae propter contrarietatem signo um sese destruant , Se fiant mo. Si ultimus terminus desit, una ex radicibus, aut ex secundis term lis Ius factorum erit m o. Renatus Cartesiiss regul in deducit ab expositis propri ratibus, per quam cognoscitur, quotnam sint in aequatione positivae radires. quot negativae. Nam tot sunt radices pastivae, quot in terminis, qui consequuntur, adiunt mutationes signo tam iniri - , aut - in . Tot sunt radi estan gativae, quot vicibus signum idem in duobus successivis terminis reperitur. Ita in aequatione κ'--3κ - 4 m o, quia una est successio signorum, δe una mutatio, una erit radix negativa, nempe Ν - 4, una positiva hoc tam in z. Haec regula apprime cum veritate consentit, fi reales suerint omnes aequationis radice . Verum si sat aliquae imaginariae, fallax est, A nullius ulus. Propo. simus exemplum. In aequatione κ - 1κ-- m o ex permutatione signorum collu
315쪽
3 2 quae additur, est negativa. Provenit aequatio α - - κ -κ--ΣImo, in qua, quum numquam signum mutetur, radices omnes deberent esse negativae . itaque quoties adsunt radiccs imaginariae, deficit regula cartesiana; utrum autem adissint necne, plerumque nobis ignotum est . . Iam vero iupponamus, aequationis radices omnes aequales esse,& singulos factores α - - a, existente eorum n,nero ram. Facile est cognitu, primum terminum m X ς secundum terminum i κ' 'multiplicatum per ma, quia factorum secundi termini omnes -a,3ceorum numarus xm, tertium terminum
assu κ' multiplieatum per a a toties sumptum, quot res angula ab , ae, od&ς. conponi potiunt ex quantitatibus &e. quarum numerus est m, quia termini secundi factoram omnes m a; quartum terminum alie x , y lq coemeleas a' toties aeeipiendum έ quot producta potest praebere numerus m qua titatum, si ternae inter sese multiplicentur; atqus ita da terminis aliis . . QIstio igitur ad hoe redacta est, ut cognostamus, quot eombinationes fieri UD sunt ex numam in quantitatum, si binae, si ternae , si quaternae accipiantur, Riqua ita deinceps. Nam supponentes numeros harum combia tionum exprimi per A, O,' a quaesitum valorem esse
s. Ad inveniendum quot combinationes , seu producta ab , ae, ad M lassiciat numerus m literaram. a, b, e &e., si binae sumantur, advertamus, etiformatis omnibus productis, numeram litterarum, quae in ipsis scriptae sunt, duplum esse numeri produciorum. Advertamus deinde . quamlibet ex literisa, b, c eijsdem vicibus repoti, Sc quum per alias omnes litteras debeat milt, plicari , non per se ipsam, non posse is,li nisi vicibus m - i; igitur numerus literarum scribendarum ad formanda producta erit m m. m I ; sed n meras literariun stuplus est numeri productorum. ergo productorum numqrus it m im ' -- atque hie est valor A, sive messicientis tertii termini se
O. Quod spectat ad messiciens termini quarti, idest ad numerum produstorum abe, aba, ab c 3cc., si literae ternae sumantur, manifestum est, numerum hunc esse tertiam partem numeri therarum, quae scriptae re riuatur, formatis productis omnibus. Observemus praeterea, singulas literas itidem vicibus Tepeti, & haram vicium numerum eum esse, qui exprimit quot producta praebeant omnes aliae literae, illa una euepta, si binatim fumantur. Etenim patet, quam-Jibet literam ex. ea. a conjungendam esse eum product s omnibus be, bd, ed&c. binarum aliarum literarum. Numerus igitur vicium, quo repetitur quaelibet ex literis a ,s,e, d&α idem esi ac numerus productorum, quae praebentura literis numero in se a biratim acceptis ς tqui constat, productorum num
rum .esse m- I ergo hic quoqus cst numerus, quo quaelibet litera repetitur; igitur quum numerus literarum sit mam Irumerus literarum script rum - - ---' ergo numerus productorum, quae dant literae terna- tim
316쪽
tim sumptae, quando hujus est pars tertia, erit m Atque hic est valor B. seu coessiciens termini quarti . . Coeifieiens quinti termini C, idest numerus productorum, quae quaternae literae efficiunt, similiter idvenietur
metus i ste debet esse pars quarta litterarum scriptarum in hisee productis , Aquaelibet litera iisdem vicibus repetitur, & conjungitur eum omnibus produms
trium literarum, quarum numerus m-I. Patet enim, horum m4 actorum numerum esse
; igitur quum literae sint numero mpti,dum quu
reliquorum torminorum invenies, progressu satis manifesto. S. Quae quunt ita snt olor binomii κ--a elati ad potestatem m detegu
tic. Si haberetur binomium N - a, eadem formala valeret, dummodo a specta. tur tamquam negativa; quare si mutanda essent in illis terminis ubi adimensionem obtinet imparem, hoc est in secundo, quarto, ceterisque termidi paribus. s. His explieatis nihil stellius est, quam uti praeedente semesa ad ei
vandum binomium ad potestatem datam. Namque in valore κ a liabstitues dus erit pro κ primus binomii terminus, pro a seeundus, pro vi potetias d-ta. Eleτandum fit binomium 3σe - bd ad potestatem quintam. Pone 3ες -
317쪽
Io. Formia inventa, quae tamquam canoniea spectari debet , utilitatem habet in elevandis ad potestatem datam polyminiis . d c 1 vix ar:trimatiis. Fiat κ aequalis primo trinomii termino, Se a reliquorum duorum summae. F cta substitutione sese offerunt sola binoia ad datas potestateτ e8htenda, quae is inmuta canorum tractantur. si trabeatur qΔdrinomuidi, into κ aequali primo quadrinomii termino, & s reliquis terminis, laetaque sumtutione lese offerent iolum trinomia Lad datam potestates elevanda. ita elevatio pol Domit eu-Juslibet ad potestatem datam reducetur ad polyaomium simplicius, quod effere dum erit aa datas potet lates. ai. Afferamus exemplum in trinomio e-aώ- c elevando ad potestatem quartam. Erit m m 4, A m e, a m ab - e. Qui valores substituti in sormula
Quare his termini, collectis habebis me statem quaesitam. Ia. Quoniam radices omnes exprimi possunt 'per potestates fractas, Se si ctiones per potestates negativas, quia
videtur nostra formula canonica sese extendere ad extractionem r dicum, & ad evolvendas fractiones in series, si in ipsa pro m substituatur ia primo calue , in secundo - r. Sed quoniam modus hic probandi per inductionem no
inullis minus placet. danda est opera, ut demonstremus, valere formulam ea n nicam etiam in exponentibus fractis. Sc negativis. Primum quoad numeros se ctos, Mo, veram esse aequationem A Tam I , in qua nostra sermula contia I stur. Si aequationem. A dividas per κ' , 3: ponas m proveniet aequatio B, cujus veritas probanda est. Ad quod praestandum sussicit ostendere, eamdem quantitatem oriri, si aequationis B pars utraque elevetur ad integras potest tem n, seu p ta aequatione C veram esse aequationem D. Quando r. n suae numeri integri eleventur ex sormula canonica duo binomia ad suas potestates, δι proveniet aequatio E, cujus veritas est, patefacienda. Hanc ob rem ex v Iore s inveniendi sunt st, s , 1s &c., tum multi putanda s π,s per
--- atque ita de aliis, ut habeantur valores omnia
um terminorum componentium aequationis E partem alteram. Ualores illi i venit , & alii aliis opportune lapissiti aequationem F sufficient. Si fiat autem
318쪽
terminorum reductio ita seeunda aequationis parte, premmie - so G, quae αεὶ dem est ae aequatio Igitur aequatio B, atque adeo aequatio A probata r' manet. Itaque sermula canonica rite applicatui qmnibux potestatibus positivis vel integrae sint, vel fractae I3. Accedens. ad exponentes negati vos aio, valere aequationem A s A a),' vel ν sit numerus integer, vel fractus L Si hanc aequationem dividas petae tum ponax - π, invenies. aequationem. Quiam autem 1 -
aequatio Q eadem erit ac, B.. Evolvatur binomium x--χ per Brmulam esenonicam, A orietur aequatio D; quae apprime cum veritate consentiet, si denominator primae partis cmn. parte altera multiplicatux exhibeat unitatem. Facta autem hac multi statione proverit formula E. i. qua, si reducto fiat, nihil aliud remanet nisi unitas, ceteri . terminis sese ex contrarietate qgnorum de Iliuentibu . Quamobrem satis. demonstratum est, formulam canonicism ub qu, valere qaicumque .sinti exponentes integri vel stam , positivi rei negat: vi. monsti adum quidem supzrest. eamdem formulam valere, si exponentes sint i, in meti irrationales; sed hoc praestare non licet sine calculi integralis auxilio. Ha c. autem est celeberrima formula neutoniana, per quam & potestates: obtinentur ..3c radios fractionetque nullo negotio ini series convertuntur .. As hanc vero pro
bandam ufi sutrius methodo Clatraud riri doctissimi, quae nobis maxime vita est elegiss, x exacta
De transformatisne aequationum , & earumdem, reducti one:
. per factores. rationale . , - . I. Uoniam methodi transsormandae aequat nix cujuslibet gradus eaedem sineae illae . quas Cap. 8 lib. a. tradidimus ad trais1brmances aeqtrationem tertii, & quarti gradux, iecimo eo me mucis attingam Dilendens. quomodo. & ad quem usum superioribus: aequationibus apo icari possint. Tra stor triantur aequationes auctis, ve, minutix earum ridicibus qua ni ta Eoata . Hoc praeliabis si ponas per h ne enim substitutionem augebs, si in fie. negativa, minues, sit sit possitiva. Usus praecipuus hujus transformationis in eo positus. est, ut arceatur ab aequatione secundus terminus, opportune determin ta quantitate m , quae quant tas, debet esse' aequalis coemetenti lecundi termini divit r exponentem primi signo murato. Hoc autem ita generatim ostendo. Sit quatio π -- ax
ὁ Σπν. Pone x SH-m, factaque substitutione uiopimeto. Ut deleatur lacuneus, sit opor
319쪽
quartum, quintum &c. terminum , resolvendo aequationem secundi, tertii, qua ii 'ri gradus. Verum ad removendum quartum, sextum, ceterosque terminos ih sedibus paribus collocatos, obtinebis semper valorem realem m, quia m da.. est in aequatione gradus imparis, quae temper praedita est Ialtem una radice reali. At in tertio, quinto, ceterisque terminis imparibus,m data erit in quatione pari, quae aliquando nullam habebit radicem realem, sed omnes ima ginarias. Ad tollendum torminum ultimum, necesse est resolvere aequationem ejasdem gradus, imo eamdem cum propolita. Inservit etiam haec transiormatio ad obtinendum, ut terminus dato coemeienti assiciatur. Facta enim substitutisque satis erit, ponere coemeiens dati termini aequale datae quantitati, A perre. Bluti em aequationis, quae oritur, valorem m determinare. i. s. Transtirmatur aequatio, si alia inveniatur, cujus radices ad radices pr tofitae sint i a data ratione. Hoe obtinetur per substitutionem κ m . Praeci.
Puus usus hujusce transformationis elueet in eliminandis stactionibus ab se quatione. Quoniam visus iste maximi momenti est, uno aut altero exemplo vis detur illustrandus. Sit aequatio Ν ---Lmo. Pone e m - v ra 34 n